Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Предположим, что ось х, направлена по касательной к характеристике $, тогда угол 1р равен нулю и из (15.8.7) мы получаем зш21Р +"1'1 — т" на линии $. Аналогично зш21р=-11 — т" на линии ц. Из этих двух соотношений следует, что соз 21р = т'. (15.8.8) Знак минус в этом соотношении исключен, так как в противном случае знаменатель в формуле (15.8.7) обратился бы в нуль. Поэтому в каждой точке характеристики 7 составляют углы ~1) с первым главным направлением, как показано на рис.
15.8.1. Из (15.8.8) следует (15.8.9) 1+ т" Вместо того чтобы искать соотношения вдоль характеристик стандартным способом, приравнивая нулю соответствующий определитель, мы придем к цели более ворот- Рве. 15.8.1 ким путем, отправляясь непосредственно от уравнений (15.8.4). Умножим первое из них на зш2$, второе на — соз 21) и сложим.
Получим 81п 21ррз — (соз 21Р— т') рл — 2т1рз = О. Направим теперь ось х, по касательной к линии $. Вследствие (15.8.8) коэффициент при втором члене исчезнет, зш21Г мы заменим на 71 — т" и, разделив на 2т, получим следующее дифференциальное соотношение, выполняющееся в любой точке характеристики 5: — 'у 1 — т' др — 511р = 0 на линии $. 2т Аналогичным образом находим — )/ 1 — т" 5)р + <Ьр = 0 на линии В.
2т Эти соотношения интегрируются. Положим (15.8.10) 6(р) = Теперь интегралы вдоль характеристик ааписываются следующим ГЛ. Пь ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ 504 образом 6(р) — ф=сопзт на линии (15.8.11) 6(р)+~р=сопзт на линии ц. Перейдем теперь к рассмотрению поля скоростей. Условие пластичности (15.8.2) может быть записано в стандартной форме так: Р(а„о,) = т — т(р) = О.
Вследствие ассоциированного закона пластичности мы находим скорости деформации для главных направлений в следующем виде: е,=Л(1 — т'), ез —— — Л(1+т'). (15.8Л2) При атом скорость сдвига равна нулю. Если материал изотропен, то из ассоциированного закона течения следует, что главные оси тензоров о„и зв всегда совпадают. Выберем локальные осн декартовой прямоугольной системы координат х, и хм направленные по главным осям тензора о м обозначим и, и и, компоненты скорости по этим осям, тогда е, = и. о з,= и,, Из соотношений (15.8Л2) следует тождество (1+ т') е, + (1 — т') е, = О.
Заменяя е, и е, их выражениями и записывая условие равенства нулю скорости сдвига, получим следующую систему: (1+ т') оь1+ (1 — т') о,, з = О, дс 2+ оз — О. (15.8ЛЗ) Вследствие (15.8.9) первое уравнение (15,8.13) можно ааменить следующим: соз'~> пс, + з1п'1~ Л,,=О. Прибавим к этому уравнению второе уравнение (15.8ЛЗ), умноженное на з(п~рсоз~, и сложим. Замечая, что д1 ~л соз ~Р + ~,з е(п д'а где дг, — элемент касательной к характеристике $, представим результат следующим образом: — (и соз~р+ о згп~р) — О.
д (15.8Л4) Но заключенное в скобки выражение представляет собою составляющую скорости по направлению характеристики $, которую мы обозначим через ом Совершенно аналогичный результат получается для скорости по направлению характеристики ц, и„. Таким образом,мы получаем Ниг = О на касательной к линии $, Ии„ О на касательной к линии ц. Этот результат истолковывается очень просто: при пластическом 505 5 15.5. ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ течении элементы, принадлежащие характеристикам, не меняют длины. Следует подчеркнуть, что в уравнении (15.8 14) 11г1 представляет собою дифференциал локальной декартовой системы координат, а не дифференциал дуги характеристики. Поэтому при дифференцировании угол 1(1 считается постоянным.
Соотношения, выраженные через производные по характеристическим параметрам, можно получить у 1 следующим образом. Обозначим через 5' и п единичные векторы: касательный к линии $ --~ уу5 и нормальный к ней; представим вектор и следующим образом: о = и 5 + 51„5н. Здесь и5 и и„з соответственно — проекции $~ вектора н на касательную к линии $ и на нормаль к ней. Заметим, что Нт = и й)1, Рис. 15.8.2 5(п = — 5 Й~, как это легко установить из рис. 15.8.2. Продифференцировав вектор п по дуге характеристики,найдем — 5 з+ С другой стороны, дифференцируя тот же вектор, заданный в неподвижной локальной системе координат у, получаем д, д., ди„, — = — т + — и. ду$ дуг ду$ Проделывая те же выкладки для второго семейства характеристик, мы заменим соотношения (15.8.15) следующими дифференциальными соотношениями, содержащими производные по характеристическим параметрам: д Р, д11 доз 'д1У д" " д5 ' дз "ч дц (15.8 16) з 15.9.
Плоская деформация Если скорость деформации в направлении оси х, з, = О, то условия пластичности Мизеса и Треска — Сен-Венана приведут к одному и тому же результату. Действительно, условие Мизеса в главных напряжениях записывается следующим образом: (о„— О,)з+ (о,— а,)'+ (о,— о,)5 = 2оз. (15.9.1) ГЛ. Пь ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ 506 Вследствие ассоциированного закона пластичности имеем е, = А (2о, — о, — о,) = О, поэтому 1 а, = — (а, + а,). Подставляя в (15.9.1), получим следующее условие пластичности, связывающее главные напряжения в плоскости а„а,: 2 о — о ==о. )/3 Если принять условие пластичности Треска — Сен-Венана, то равенство нулю скорости е, означает, что в это условие не входит напряжение а„напряжение а, есть наибольшее, напряжение о, — наименьшее и условие пластичности принимает вид а, — а, = ат. Переходя к обозначениям 3 15.8, убеждаемся, что как в том, так и в другом случае условие пластичности (15.8.2) принимает самую простую форму, а именно, т= й.
Постоянная й называется пластической постоянной, она составляет 1/2 предела текучести при критерии Треска — Сен-Венана и от/УЗ = 0,56ат для критерия Мизеса. Очевидно, что эта разница никак не сказывается на ходе решения задачи. По формуле (15.8.9) 1яи= А1. Это значит, что характеристики ортогональны н пересекают траектории главных напряжений под углом ~я/4. Но на площадках, равнонаклонных к главным осям, достигают максимального значения касательные напряжения. Следовательно, характеристики — это траектории главных касательных напряжений. Вследствие (15.8.14) вдоль характеристик удлинения равны нулю, поэтому вся деформация представляет собою чистый сдвиг в осях 3, 5).
Конечно, последнее замечание относится к бесконечно малой деформации, связанной с мгновенным распределением скоростей деформации. По формуле (15.8 10) мы находим, что Поэтому интегралы (15.8 11) принимают вид — — ф = сопзФ на линии $, (15.9.2) — + ф = сопеФ на линии 5). 2ь Интегралы уравнений теории пластичности (15.9.2) были полу- чены Хенки в 1923 г. и носят его имя. 507 5 ! 5.5. ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ Формулы (15.9.2) подсказывают естественный выбор координатных параметров характеристических линий — +ф=$ — — ф=ч.
Р Р 2х ' 2х Как будет показано дальше, существуют вырожденные случаи, когда величины $ и ц не могут приниматься за криволинейные координаты точки в плоскости х„, но пока мы зги случаи рассматривать не будем. Дифференциальные уравнения характеристик в плоскости мы получим, записав Нх дх — '=Файф на линии $, — з=с18ф на линии 5). дх дх Вследствие (15.8.9) при т'=0 а=я/4. Поскольку угол сз наклона характеристик к линиям главных напряжений отличается от угла ф на постоянную величину я/4, мы заменили в соотношениях (15.9.2) угол ф на угол ф.
Таким образом, мы получаем дх дх дх дх —.' -19 р — ' = О, — '+ с18 р — ' = О. дс д5 ' дч дч Введем новые переменные по формулам Х~ = Х~ СОЗ ф — Хзв1нф, Хз =Х~ З1нф+Хй Сов ф. Подставляя пх в (15.9.3), получим следующую систему: дх, 5 дх1 — + — х =0 — — — х,=О. дь 2 1 ' дч 2 (15.9.4) Уравнения для скоростей (15.8.16) имеют точно такую же форму. Действительно, для ортогональной сетки характеристик и.1 и„, и„„= — и1 и уравнения принимают вид — Є— О, — "+ — из= О.
(15.9. 5) Уравнения (15.9.5) носят название уравнений Гейрингер. Исключая из (15.9.4) или (15.9.5) любую из переменных, мы нахоДим, что ках1ДаЯ из величин хо хм пм Р„ УДовлетвоРЯет телеграфному уравнению — + — г' = О. д1 д1дч 4 (15.9.6) С помощью найденных уравнений может быть решена следующая основная задача или задача Коши для уравнений теории пластичности. На участке дуги АВ контура тела, находящегося в условиях плоской деформации, заданы усилия (рис. 15.9.1). Положим в формулах (15.8.3) ф = ф+ я/4, опп примут следующий 508 гл. пь идкальнля плАстичность вид: а„= р — т з1п 22р, ат = р+ тзш 21р, о„= т сов 22р.
(15.9.7) Поскольку на дуге АВ контура в каждой точке выполнено условие а„,и2 — — Т„, а о 2 выражаются через две величины, р и 2з, то каждой точке контура М можно сопоставить точку т в плоскости характеристик $, 2), а отрезку АВ в плос- А ности х„ будет соответствовать отрезок аЬ в плоскости характеристик, как пока- р вано на рис. 15.9.2. Для каждой точки из 1 я граничной кривой аЬ в плоскости характеристик по формулам (15.9.4) можно вычислить величины х1 и х2.
Далее производится интегрированве линейной системы (15.9.4) в плоскости характернРвс. 15йт1 стик. Решение определено в треугольнике аЬс, образованном дугой аЬ и крайними характеристиками, проведенными через точки а, Ь. Простейшая численная схема будет состоять в том, что треугольник в плоскости $, 21 разбивается ортогональной сеткой координатных линий, а дифференциальные уравнения заменяются разностными 1 (х2)т,п (хз)т-1,п 9 (х1)т-1,п т 1 (Х1)т,п — (Х1)т,п-1 + 9 (Хп)т,п-1~Я Здесь индексы т нумеруют вертикальные ряды точек, индексы п — горизонтальные. По этим формулам последовательно вычисляются х в точках ряда, ближайшего к линии аЬ, затем следующего ближайшего ряда и так далее до точки с.
а г Для каждого угла в плоскости $, 2), таким образом, находятся величины х и по формулам (15.9.4), координаты точек в физической плоскости. Нанося Л соответствующие точки в плоскости х, мы получаем криволинейные характеристики; каждой точке ~1 в физической плоскости соответствует точка д в р плоскости характеристик, координаты которой $ и 21 определяют величины р и 29, а следовательно, компоненты тензора напряжений о 2 для точки Ч. Совершенно аналогичным способом рассчитывается поле скоростей, если на линии АВ заданы компоненты скорости. Как мы убедились, решение задачи Коши определяет единственным образом поле напряжений в криволинейном треуголь- $ пь!О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
