Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Этот эллипс Рис. 15.143 Рис. 15,14,2 изображен на рис. 15Л4Л, цифры, стоящие около четырех точек эллипса, обозначают соответствующие значения в. Жирными линиями от в = я/6 до 5л/6 и от 7я/6 до 11я/6 обозначены те области, для которых характеристики действительны и уравнения ГЛ. ЗЗ. ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ 524 гиперболические. В отмеченных четырех точках характеристики совпадают и система уравнений становится параболической, оставшиеся небольшие участки соответствуют области эллиптич- ности.
Функцию 6(р), определенную формулой (15.8ЛО), удобнее представить как функцию параметра а, а именно, 1 ( уз — 4соз о) 2 / з1вв (15Л4.3) ч / з1н (ю+ я/6] Фисз = у г з1в (н — я/6)' (15Л4.4) В частности, если напряженное состояние представляет собою простое растяжение, то н =я/3, как зто видно из рис. 15.14Л, и (дсз= У2, сз= 55'44'. Предположим, что полоса просто растягивается напряжением с, и рд — одна из характеристик, отделяющих верхнюю жесткую область от пластической нижней. Нева. висимо от общей теории покажем, что характеристика рд служит также характеристикой для поля скоростей.
Выберем локальные оси координат, как показано на рис. 15.14.2; напряжения в этих осях будут определяться по формулам (15.8.3), а именно, оы =-(1 — соз2~р), а,з= — (1+ соз2$), а„, = — з1п2ф (15.14.5) Здесь мы посчитали угол ф неизвестным, наша задача состоит в том, чтобы показать, что линия рд есть на самом деле характеристика и ф= я/2 — оь Условие пластичности Мизеса запишется в координатах х, следующим образом: оы + и„— оыо„+ — (о„+ о„) = Зй .
з 3/з Вследствие ассоциированного закона течения е„= Х(2пн — о„), з„= Х(2о„— он), 2з„= т„= Ы„. Но вдоль характеристик скорость деформации должна равняться нулю. Подставляя (15.14.5) в условие 2о„— оп =О, мы найдем, что угол ф действительно дополняет угол а до прямого, т. е. ф = =35'16'. В отличие от случая плоской деформации, на границе может претерпевать разрыв не только тангенциальная составляющая, но и нормальная к характеристике составляющая. Теперь Интегралы вдоль характеристик записываются теперь в форме (15.8.11). Из соотношения (15.14.2) следует, что характеристики не ортогональны.
По формуле (15.8.9) можно вычислить угол ~а, который составляют характеристики с первым главным на- правлением З 14.14. ПЛОСКОЕ ЫАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ сумма главных удлинений в пластической области уже не равна нулю, следовательно, происходит изменение толщины пластинки. Формулы (15.14.1). показывают, что при плоском напряженном состоянии величины главных напряжений ограничены величиной 2/4, в отличие от плоской деформации, где они могут быть сколь угодно велики, лишь бы их разность оставалась постоянной.
В задаче о трубе под действием внутреннего давления, рассмотренной в з 15.13, наружный радиус Ь можно было брать сколь угодно большим, всегда можно приложить настолько большое давление д, чтобы труба полностью перешла в пластическое состояние. Аналогичным образом в задаче о растяжении полосы с двумя круговыми выре- 1 вами протяженность пластической зоны определялась лишь возможным углом (, определяющим ту точку, из которой выходит крайняя характеристика. При плоском напряженном состоянии дело обстоит иначе. К контуру от- '9=— верстия в пластине можно приложить лишь таа 'ф:; кое давление, которое не превышает 2й, так как на контуре О, = — д, а о, по модулю не болыпе чем 2й, как мы уже выяснили. Соответственно пластическая область, имеющая форму кольца, простирается лишь на конечное расстояние.
Аналогичная ситуация возникает при решении задачи о растяжении полосы с симметричными круговыми вырезами (рис. 15Л3.1). Эту задачу мы и рассмотрим. Полагая с,=с„с, =О„ подставим (15.14.1) в уравнение равновесия. Получим ( ~г3 + С16 4о) 11ю + 2 — = О. При г= а 4е = я/3, как следует из рис. 15.14Л. Интегрируя уравнение при данном граничном условии, найдем )/3 1а зз 1 я — ~ — ~ = з1п4зехр( — =+ 4оУЗ). (15Л4.6) С возрастанием г величина 4о убывает, при 4о = я/6 мы достигаем точки параболичности на изображающем эллипсе, характеристики сливаются при г = 2,07а. Если ширина полосы больше чем та, которая необходима для встречи гиперболических областей, идущих от противоположных вырезов. Хилл предложил соединять концы областей гиперболических характеристик прямой, соответствующей параболической точке эллипса Мизеса 411 =я/6, для которой с,= 2й, о,=й (рис.
15.14.3). В наших опытах на титановом сплаве, поведение которого очень близко к поведению идеального упругопластического материала, мы никогда не 526 ГЛ.15.ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ получали этих параболических перемычек. Типичная картина приведена на фотографии рис. 1514.4; здесь в результате специальной техники выявлены пластические области, на фотографии они Ркс. 15.14.4 серые. Как видно, вместо пластической перемычки в середине остается упругий ромб, стороны которого образуют углы с осью стержня порядка 55', что и следует из теории. 3 1515. Предельное равновесие пластин В предельном состоянии пластины, подверженной действию изгибающей нагрузки, срединная плоскость служит плоскостью разрыва напряжений.
По ту и другую сторону от этой плоскости реализуется плоское напряженное состояние такое, что о„с(г) =сопз1, гя(0, й) и а 5( — г)= — о 5(г). Умножая о„, на г и интегрируя по толщине оболочки, мы получим тензор изгибающих моментов +й М з =. ~ а„в(г) гс(г., -й (15.15 1) Поскольку величины о 5 кусочно постоянны, моменты будут удовлетворять условию пластичности, которое совершенно подобно условию пластичности для напряжений. Тензор моментов можно привести к главным осям, и предельное состояние пластины будет изображаться либо эллипсом Мизеса, либо шестиугольником Пен-Венана. Поскольку при изучении плоского напряженного состояния мы пользовались первым условием, здесь мы рассмотрим одну простейшую задачу при помощи условия Треска.
5 15.15. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ПЛАСТИН 527 Графическое представление этого уравиееия для моментов не отличается от соответствующего представления для напряжений (рис. 15Л5Л). Уравнение равновесия для моментов в декартовых координатах будет, очевидно, иметь вид (12.5.8); для получения этого уравнения в полярной системе координат для полярно- симметричного распределения моментов мы сделаем независимый вывод, отправляясь от начала возможных перемещений. При полярно-симметричном изибе прогиб (или скорость прогиба) пластины есть во(г), // кривизна радиального сечения равна 51'1о/Й", кривизна сечения в плоскости, 1 ам перпендикулярной радиусу, есть — „— „° Последний результат можно получить путем непосредственного геометрического рассмотрения, а можно сослаться еа формулы (8.8.2) для радиальной и окружной деформации в случае полярной симметрии.
Напишем теперь функционал Мг — + М р — — + о1о г Ыг. Р 1 з1з агз ~ г ог Рис. 15Л5Л Приравнивая нулю вариацию этого функционала и преобразовывая результат интегрирования по частям, мы получим естественные граничные условия, которые здесь не выписываются, и дифференциальное уравнение з ам, — (гМ„) — — ~+ дг = О. ог Интегрируя один раз, получим и + ~) ог 51г = О. им„м,— и, 1 г г г,) (15Л5.2) 1 Г Величина — „) дг авг = 0 представляет собою поперечную силу, приходящуюся на единицу длины окружности радиусом г. Теперь мы вюжем непосредственно решать задачи о предельном равновесии круглых симметрично загруженных пластин. а. Пластина загружена распределенной нагрузкой д и оперта по контуру.
Положим М,=М„М1=М,. В центре М,=М, и напряженное состояние изображается точкой А на рис. 15.15Л. На контуре при г = а М, = О, следовательно, состояние пластины изображается точкой В диаграммы. Предполагая, что состояние пластины в целом соответствует стороне АВ шестиугольника, положим в (15.15.2) М,=М„в„в= 1/,дг. Подставляя в уравнение ГЛ.
НЬ ИДБАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ 528 (15.15.2) и интегрируя, получим М» ™т чг ° з Из граничного условия М,(а) = О находится предельная нагрузка 6М Ч = —. а б. Пластина заерузсена сосредого»генкой силой Р и оперга по контуру. В этом случае точка г= О оказывается особой точкой и выполнение условия М„=Ма в центре не обязательно. Полагая М,=М, и интегрируя уравнение (15А5.2) при (»=Р/(2яг), мы находим р М =М вЂ” —.
т 2л' Итак, момент М, сохраняет постоянное значение, которое должно быть равным нулю вследствие граничного условия М,(а) = О. Отсюда находим предельное значение нагрузки Р Р = 2лМ,. Напряженное состояние во всей пластине изображается точкой В диаграммы. Заметим, что вследствие ассоциированного закона течения в этом случае форма искривления рг пластины остается неопределенной, тогда как под действием распределенной нагрузки вдоль стороны АВ скорость прогиба плаг 5 стины такова, что момент М„= М, не производит работу, следовательно, сРиг/дгл = О и плоская поверхность пластины превращается в коническую.
Для задач, отличных от полярно-симмет- ричных, точные решения отсутствуют. ОднаРнс. 15А5.2 ко верхняя оценка, основанная на рассмотрении кинематически возможных форм движения, получается довольно просто при помощи некоторого единообразного приема, в особенности пригодного для пластин, полигональных в плане.
Предположим, что полнгональная пластина свободно оперта по контуру и нагружена в точке С сосредоточенной силой Р (рис. 15А5.2). Одна из возможных схем потери несущей способности будет следующая. По линиям, соединяющим точку приложения силы с вершинами контура, происходят изломы, плоская срединная поверхность превращается в поверхность пирамиды, ребра которойобразованыуказанными ли~иями,аграни остаются плоскими. Обозначим прогиб в точке приложения силы через б, длины ребер излома 1., двугранные углы между гранями примыкающими к соответствующим ребрам, 55,. Изги- $15.1з. пРедельное состояние 3АкРученнОГО стерлсня 529 бающий момент на единицу длины линии излома есть М„ поэтому Рб(2;М,1;г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
