Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Чтобы найти двугранный угол ш., проведем через точку приложения силы С прямую АВ, перпендикулярную линии СС, (рис. 15.15.3), и продолжим примыкающие к вершине С, стороны конг тура пластинки до пересечения с тг 1 рг этой прямой в точках А и В. Левая бг т 'жг грань поворачивается около прямой ВС„правая — около прямой АС„ р АСВ казано на том же чертеже во второй проекции, на этой проекции виден угол ар,. Он равен б/АС+6/ВС. Но Рвс. 1535,3 АС = 1, 1я рр., ВС = 1, 1я рр,. Вычисляя бг, и подставляя в неравенство для несущей способности Р, получим Р - М ~(с161р, + С1ятЬ,).
(15А5. 3) Рассмотрим несколько простых примеров: а Прямоугольная пластина со сторонами а, Ь, нагруженная в центре, Для вее с1хцр = Ь/а, с13А)р = а/Ь. Следовательно, по формуле (15.15.3) Р<4(Ь + — )М. б, Пластина в форме правильного п-угольника, нагруженная в центре, и/ 2р гт Ц = ф = 2 (1- — „~, сга Р = 13 — „. Предельная нагрузка дается формулой Р ( 2п 13 — М~. При п — р- оо мы получаем з пределе Р = 2нМ,. А это есть найдевное выше точное значение предельной нагрузки для круглой властвпы. й 15.16.
Предельное состояние закрученного стержня Полагая все компоненты тензора напряжений равными нулю, кроме двух О,а —— та, мы получим напряженное состояние, которое в упругом теле соответствовало антиплоской деформации или кручению. Условие 34 Ю Н. Расо*ног ГЛ. 15. ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ пластичности в атом случае приведется к условию постоянства касательного напряжения т1+ т2 (15 Л6.1) Константа й, как мы уже видели, по-разному выражается через предел текучести при растяжении в зависимости от того, пользуемся ли мы условием пластичности Мизеса или Сен-Венана. Мы удовлетворим уравнению (15Л6.1), приняв т,= — йв1ЛО, т2=йсовО.
(15Л6.2) На рис. 15Л6Л видно, что вектор т, имеющий постоянную величину, перпендикулярен лучу, составляющему угол 8 с осью х,. Подставим выражения (15.16.2) в уравнения равновесия тх,х= = О. Получим (15.16.3) О, сов О + О, в1п 0 = О. Уравнение (15ЛО.З) — зто линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка. Для интегрирования его применяется метод характеристик, т.
е. составляются Рис. 15 16.2 Рис. 15.16.1 дифференциальные уравнения характеристик обычным способом, хх Ых сов8 21СО 8 ' Отсюда следует х2+х,тяО = с(0), О =сопв1. Таким образом, характеристики прямолинейны. Так как в точке контура вектор т должен быть направлен по касательной к контуру, то характеристики представляют собою, прямые, нормальные к контуру. Очевидно, что для односвязных сечений поле напряжений оказывается разрывным.
При кручении стержня кругового сечения характеристики будут радиусами и центр сечения будет особой точкой, в которой направление вектора т не определено. Если контур сечения имеет выступающий угол, как показано на рис. 15Л6.2, злементарные геометрические сообра- З ы.ж. пгкдильнок состоянии злкгтчкнного стнвжня 561 жения убеждают нас в том, что из угла будет выходить линия разрыва, на которой пересекаются характеристики, выходящие с двух сторон угла. В окрестности угловой точки касательная к линии разрыва представляет собою биссектрису угла, образованного касательными к сторонам угла. На рис. 15.16.3 показано построение пластического поля напряжений в стержне прямоугольного сечения. Линии разрыва делят прямоугольник на две трапеции и два треугольника, в каждом из этих элементов вектор касательного напряжения сохраняет постоянное направление, указанное на рисунке.
Вводя функцию напряжений, как это было сделано в теории упругого кручения, т. е. полагая т, =г'„т, = — Рл, мы получим для функции г' следующее дифференциальное уравнение: ~а +ра йз Это — уравнение поверхности равного ска- Рвс. 15.16.3 та. Граничное условие для функции г, также как в з 9.7, оказывается таким: г'=сопз1на контуре; для односвязного сечения можно принять г" = О.
Функция г изображается, таким образом, построенной на контуре линейчатой поверхностью, прямолинейные образующие которой нормальны к линии контура и имеют постоянный наклон Й к плоскости поперечного сечения. Для круга это будет поверхность конуса, для прямоугольника — поверхность в виде крыши, ребра которой проектируются на плоскость как линии разрыва. И здесь, как в теории плоского напряженного состояния, линии разрыва напряжений следует рассматривать как выродившиеся упругие области. Величина предельного момента, так же как и для упругого стержня, выражается формулой М = 2 ~ Г Ых, Ых„ т. е. измеряется удвоенным объемом, ограниченным плоскостью сечения и надстроенной над нею поверхностью равного ската Й.
ГЛАВА 16 УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ УПРОЧНЯЮЩЕЕСЯ ТЕЛО $16 1. Деформациоиная теория пластичности Естественно предположить, что и при слон<нем напряженном состоянии зависимость (16.1.1) сохраняет силу. Считая, что полная деформация представляет собою сумму упругой и пластической деформации, и замечая, что 1 (Р е<~ сЗР~ т з (о< о3)~ е„= 0 и пластическая объемная деформация отсутствует, мы получаем следующие зависимости между напряжениями и де- формациями: 1 1 /~,-~,'< е = я [а,— т(из+ оз)) + 3 <р[ 2 )< 1 е3= —, [о,— т(оз+ о<)[, 1 1 ~ о< оз (16.1.2) При этом должно быть о, ) а, ~ о,.
Уравнения (16.1.2) представляют собою конечные соотношения между напряжениями и деформациями, хотя в основу было положено предположение о том, что пластичность представляет собою именно течение материала. Первичный опытный факт, выражаемый уравнением (16.11), можно истолковать и таким образом, что пластическое течение представляет собою чистый сдвиг, но величина дефор- Как мы видели, согласно теории пластического течения, основанной на условии пластичности Треска — Сен-Венана с ассоциированным законом течения, пластическая деформация представляет собою простой сдвиг в плоскости, определяемой осями наибольшего и наименьшего главных напряжений. Если деформации малы, то скорость деформации равна производной от деформации по времени. С другой стороны, если упрочняющийся материал оказывается в состоянии чистого сдвига, то величина пластического сдвига представляет собою совершенно определенную функцию от касательного напряжения т.= р(т) (16 1.1) 9 16А.
ДЕФОРМАЦИОНЫАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ 533 мации не произвольна, как зто было в теории идеальной пластичности, а зависит от действующего напряжения. Уравнение (16ЛЛ) справедливо тогда, когда т не убывает, более точная запись его будет следующая. Если т изменяется произвольным образом во времени $ от $ = 0 до $ = г, то '(Р=зпр~р1т($)1, Фж(6, 11. Это значит, что при разгрузке пластическая деформация сохраняется. Здесь мы не предусмотрели возможность появления вторичных пластических деформаций при приложении больших касательных напряжений противоположного знака. Учет соответствующих аффектов требует введения дополнительных гипотез.
Чрезвычайно простые уравнения (16.1.2) записаны в главных напряжениях. Если направления главных осей заранее неизвестны, уравнения нужно записать в произвольных осях. При этом вся простота исчезает, результирующие уравнения становятся сложными до чрезвычайности. Более того, если главные оси известны, мы должны знать заранее, по какой оси будет действовать наибольшее напряжение о„яо какой — наименьшее оь Но может случиться, что в процессе нагружения соответствующее неравенство нарушается, следовательно, меняется та плоскость, в которой происходит сдвиг. Таким образом, изложенная теория имеет лишь ограниченную область применения. Так называемая деформационная теория пластичности представляет по существу распространение на пластическое тело того закона связи между напряжениями и деформациями, который устанавливается нелинейной теорией упругости.
Пластический потенциал, который заменяет здесь уйругий потенциал, для изотропного тела есть функция инвариантов тензора деформаций. Обычно при этом применяются следующие гипотезы: 1. Объемная деформация подчиняется закону линейной упругости о = ЗКе. (16.1.3) 2. Упругопластический потенциал П завист только от второго инварианта тензора деформаций, например от октаэдрического сдвига ь' = П(тО) Из второй гипотезы следует, что оц 26. (т,) ец (16Л.4) Здесь оц и ец — девиаторы соответствующих тензоров, С,((,)— функция октаэдрического сдвига, появляющаяся при дифференцировании потенциала П((,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
