Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Очевидно, что диаграмма аависимости О от д будет до чрезвычайности напоминать диаграмму деформирования упругопластического материала с упрочнением. Рассматриваемая модель соответствует телу с начальной изотропией, соотношения (16.5.2) пе зависят от того, в какой плоскости производится изгиб или как была выбрана ось хь Теперь нам легко вернуться к общему случаю, когда изгиб происходит около произвольной оси и па трубу действуют пропорционально возрастающие моменты М, и Мз Соответствующие кривизны будут щ и хь при пропорциональном нагруженни, очевидно, х,: хз = М1: Мь Переходя к соответствующим безразмерным величинам, мы можем написать: Р =С.чь Ое= С.чэ (16.5.3) Рис. 16.5.2 ЕΠ— соз () ( — 30) — 4) з(п 5 50, йС = — 61п 6 ( — й()) + О соз (1 66.
АО и'Ч 60 п0 м непосредственной окрестности точки С 3 имеет тот же порядок, что 66, 35а При этом, если О = ч~+О~~ < пз или д~ = дг+д~(1 С, =и; при С гм (и, 4) С, = 20+ юп 20 и 0 = агсз)п(1/д), Мы получили полный аналог деформационной теории пластичности; уравнения (!6.5.3) описывают как упругое поведение трубы, так и ее упругопластическое поведение. Очевидно, что пластический модуль С. представляет собою отношение О/д, он может быть выражен кан ;а через величину С, так и через величину о, которые играют роль соответствующих октаэдрических +у составляющих напряжения и деформации.
а Но соотношения деформационного типа (16.5.3) справедливы не только для пропорционального нагружения. Предположим, например, что мы довели пропорциональное нагружение путем изгиба в плоскости хь хэ до некоторого значения О) я, которому соответствует пластическая зона с границей, определяемой углом 0. После этого будем одновременно изменять и Оь и Ог, но так, чтобы при этом не происходила разгрузка.
Теперь новой нейтральной осью будет прямая пп', составляющая угол а с осью хь как показано на рис. 16.5.1. Рассмотрим крайний случай, когда точка В остается на месте, а точка А движется в направлении, указанном стрелкой. Когда левый конец пластической области придет з точку А', прямая пп' окажется параллельной хорде А'В. Изгибающий момент относительно оси пп' определится по фюрмулам (16.5.2), в которых угол 0 следует заменить через 0 — 6. Такиы образом,мы получаем а = СЦ0 — 6) -.
(), Е, = Е(0 — 6) 61.3. (16.5.4) Уравнения (16.5.4) представляют собою параметрические уравнения предельного пути нагружения, выходящего из точки О, для которого соотношения деформационной теории пластичности (16.5.3) еще остаются справедливыми. Заменив () на — (), мы получим симметричную кривую, соответствующую тому случаю, когда точка А остается на месте, а движется точка В. Проводя касательные к линиям (16.5.4), мы получим угол П, ограниченный прямыми, составляющими углы ~а с осью х| (рис. 16.5.2). Для приращений параметров О, и Оь которые изображаются векторами, лежащими внутри этого угла, уравнения деформационного типа сохраняют силу.
Определим угол а. Для этого продйфференцируем соотношения (16.5.4). По- лучим 540 Гл. !6. упРуГОплхстичеспое упРОчняюшекся телО поэтому (1 Е' '2 Здесь — = — — = — дс1ае. >)О и() ич 6О «Е )ч Ю 66 Но Щад представляет собою касательный модуль на кривой деформнрования С!. Теперь мы можем нависать: йа = — а>д с!а Е ЛЕ, ЛО, = а,с 66.
Наклон предельных путей, проходящих через точку (), определяется следующим образом: (а а = — 2 = -Ь вЂ” ' (а Е. Ы7 2 а >1>',~ 6 (16.5.5) В результате простых вычислений находим, что а = и/2 при 0 = 0 и 0 = = л!2, его минимальное значение, равное 76'28', достигается при 0 = 57'30'. Выясним теперь условия разгруакн в упругую область после пропорционального нагружения. Очевидно, что упругая разгрузка также может произойти не только в результате уменьшения безразмерного момента (>ь трубка возвратится в унругое состояние, если сечения повернутся каждое относительно оси, не пересекающей пластическую область.
Пусть эта ось разгрузки составляет угол ф с осью зь Должно быть ф ( О. Область 7 на рис. 16.5.2, заключенная между лучами, составляющими угол 20, будет той областью, в которую следует направить вектор о() для упругой разгрузки. Таким образом, контур, играющий роль поверхности натру>кения, который вначале был окружностью () = и, приобретает угловую точку. Чтобы выяснить форму этого контура вдали от точки (>, поступим следующим образом. Обозначим через О и (> изменения безразмерных изгибающих моментов вследствие разгрузки, так что (7, = Е+Е'„О, =О+О,'. (16.5.6) Поскольку при разгрузке материал деформируется упруго, О, п (7 представляют собою составляющие момента, направленного по осп разгрузки, Поэтому можно принять () = — пюсозф, (~ = — люз1пф.
1 2 В точке, определяемой полярным углом ф, изменение напряжения вследствие разгрузки будет о' = — е>п,зш ОР— ф). Если фиксировать значение ф и менять параметр ю, то разгрузка будет происходить вдоль прямой, проходящей через точку О. 51ы выяснили, что разгрузка будет упругой тогда, когда ф ( О. Складывая то напряжение, которое было до момента начала разгрузки, с напряжением о', мы получим о=от[1 — ю61п(ф — ф)], ф>0, 1'21п ф = ст ~ —.Š— 2(п (ф — р)1, ф < Е.
(16.5.7) Граница контура нагружения получится из условия, что напряжение достигнет предела текучести при сжатии. Если это произойдет в той части 6 166 интеРпРетАЦип В пРОстРАнстВВ ДеФОРмАЦии 549 сечения, которая была в пластическом состоянии, мы должны обратиться к первой формуле (16.5.7). Ванбольшая абсолютная величина и достигается при 2р — Ф = я/2, тогда с = с,(1 — ю). Полагая а = — о„получаем Ф = 2 н по формулам (16.5.6) Э~ = Д вЂ” 2 сози, О,= — 2яз(пФ.
(16.5.8) Это — уравнение окружности с радиусом 2я и центром в точке (17, О). Выясним теперь возможность появления пластической деформации при разгрузке в той области, которая оставалась при первом нагружепии упругой. Условие достижения экстремального значения величиной а, определяемой второй формулой (16.5.7) и рассматриваемой как функция 2Р, будет — (Р— О) =О. соз 2Р ыпО Условие того, что это экстремальное яанряженне равно пределу текучести при сжатии — — юз(п(2р — О) = — 1. з!и 0 и, Возводя эти равенства в квадрат и складывая, мы исключим угол 2) и получим следующее соотношение между Ф, Ф, 8: 1 2 соэ Ф вЂ” + Ф вЂ” 2Ф вЂ”. Мп'О з(вΠ— . Это соотношение эквивалентно следующему: (- — ) я ~2 4)2 — 0+2(в О) + Эц = и ° (1659) Рис.
1653 Мы получили уравнение окружности радиусом и с центром в точке (ч — л(э(п О, О). Таким образом, контур нагружеиия ограничен двумя прямыми и дугами одной окружности (16.5.8) при О ( 43'30' и двух окружностей (16.5.8) и (16.5.9) прн О ) 43 30'. На рис. 16.5.3 эти контуры изображены для некоторых значений О. Следует обратить внимание на то, что по мере уменьшения О, т. е. продвижении угловой точки вправо, точка пересечения поверхности нагружгння с осью (), движется влево. Этот результат можно сформулировать следующим образом: увеличение предела текучести при изгибе в одном направлении сопровождается уменьшением предела текучести при изгибе в противоположном направлении.
8 16.6. Интерпретация соотношений пластичности в пространстве деформаций В упругой области, а следовательно, внутри поверхности нагружения изменения деформаций связаны с изменениями напряжений законом Рука, поэтому в девятямерном изображающем пространстве деформаций поверхности нагруження 8 можно поставить в соответствие поверхность деформаций 2.
Обращаясь к модели $16.5, замечаем, что в плоскости дь дг начальная граница пластичности изображается окружностью дз+ дз =1, точка И О) соответствует точке (д, О), где д = 1/е)пО. Отсюда видно преимущество наглядности такого представления. В плоскости ф, Д2 все пластические состояния были заключены между близко лежащими концентрическими окружностями с радиусами 4~ = я и 4) = 4, поэтому мы даже не 55() Гл. !з.
упРуГОпластическое упРОчияюп(ееся телО б» тать, что С. задано как функция Д = =~/ Ч~+()з. Тогда Ад = — т+0 — ~ — ) М. Л4 и г1 а. ' ~() '(В,/ Рис. 16.6Д /1 ~ Чтобы найти — ~ — ), продифферепцируем по Д величину е = т/ы.. Но- ~') ~в лучик пе 1 Но — = —, поэтому Й(/ 6 ' Внося зто выражение в формулу для Ьдь получим Аналогично Ачз 0 Ачз+~С 6 ~ з (чг ~г+~з з)' В окрестности точки (е, 0) следует принять ф = ф, Дз 0; таким образом, Ь() Ад 6 Отношение приращений деформаций Ае Ае равно 6 А1) 6, АОз' (16.6Н) строила соответствующих графиков, ограничившись схематическим изображением на рис.
16.5.2. В плоскости дь ез пластические состояния занимают всю область, внешнюю по отношению к единичному кругу. ~з ~з Нрн упругой разгрузке — з = — з, но пРедельные пРЯмые УпРУгой Раз- Ас, М,' грузки составляют угол 6 с осью (/, в плоскости чь чз, такой же угол составляют с осью д~ предельные прямые в плоскости д,, дь Но здесь этот результат допускает очень простую геометрическую интерпретацию. На рис. 16.6.1 можно видеть, что поскольку отрезок ОАГ равен 1/зш 6, предельные прямые упругой разгрузки касаготся начальной окружности текучести.
Выясним теперь, что соответствует области 11 применимости деформационной теории в этом новом представлении. НолагаЯ ед = ч)г, бУдем счи- 6 16.6. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ДЕФОРМАЦИЙ 55 ьО Подставляя отношение — из (16т16), получим А() Лд = + 166. Лд Таким образом, область 11 представляет собою внешний угол, образованный касательными к окружности начальной текучести, Как видно, изображение в пространстве деформаций в данном случае отличается простотой и симметричностью.
Заметим, что по крайней мере для изотропного материала неравенства (16.2.2) и (16,2.3), вытекающие из постулата Друкера, могут быть переписаны следующим образом: (16.6.2) йе ..дел. ) О. (16.6.3) Это следует из того, что на приращении пластической деформации, не сопровождающейся изменением объема, совершает работу только девиаторная часть тензора напряжения, а о 1 — о*. = 2р (ег — е*..), йоы = 2(ь йегь Из (16.2.2) вытекает, что вектор о направлен по нормали к поверхности деформирования, если она гладкая. Применительно к описанной двумерной модели можно показать справедливость ассоциированного закона. Если мы выйдем из угловой точки в упругую область и достигнем контура нагружения изнутри либо там, где он прямолинеен, либо где образован дугой окружности, то в первый момен~ вектор приращения пластической деформации будет направлен по нормали к контуру в соответствии с требованием, вытекающим из постулата Друкера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
