Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Количественное описание этих эффектов взаимного упрочнения пока отсутствует. Следует иметь в виду, что атомные плоскости не перемещаются одна относительно другой как целое, для этого нужно было бы слишком большое напряжение. Фактически движутся дислокации, при выходе одной дислокации на поверхность кристалла, т. е. при ее исчезновении, две части кристалла, расположенные с двух сторон от плоскости движения дислокации, оказываются смещенными на величину вектора Бюргерса Ь. Простейшая схема, принятая Батдорфом и Будянским, состоит в том, что для каждого зерна предполагается существование одной только системы скольжения. В более поздней работе тех же авторов было сделано предположение о существовании нескольких систем скольжения, что до чрезвычайности усложнило анализ и привело в общем к тем же качественным выводам.
Если даже принять схему первой работы Батдорфа и Будянского, т. е. допустить существование одной-единственной системы скольжения, то действительная картина будет достаточно сложной. Для того чтобы пластическая деформация поликристаллического объекта могла произойти на самом деле, необходимо, чтобы соседние зерна не препятствовали этому. Макроскопический эффект пластической деформации тела в целом будет обнаружен, когда в теле появятся цепочки пластически деформированных зерен.
На ранних ступенях пластической деформации большие бло- 599 Гл. 1з, упРугоплАстпческое упРОчня!Ошееся тело ки зерен остаются в упругом состоянии, перемещаясь и поворачиваясь как целое. Поэтому пластическая деформация чрезвычайно неоднородна; лишь с увеличением общей деформации происходит выравнивание локальной деформации. В особенности это относится к материалам с незначительным упрочнением.
В теории скольжения эта сложная картина не воспроизводится, трудности обходятся введением некоторых упрощающих предположений. Зафиксируем по произволудва л взаимно перпендикулярных направления и и р, определяющих предположительную систему скольжения. Если число зерен в объеме тела велико, то всегда найдется некоторое число зерен, для которых нормаль к плоскости возможного скольжения — по предположению единственная — будет находиться внутри М конуса с осью п и телесным углом при верши- не ЙА (рис. 16.9.2). Материал предполагается Рес, 16.9.2 статистически изотропным, поэтому число та- ких зерен пропорционально 1(11 и не зависит от п.
Будем называть их зернами с плоскостью скольжения п, Если число эерен с плоскостью скольжения п достаточно велико, то среди них существуют такие, для которых направление скольжения лежит внутри угла 1(р с биссектрисой (1. Будем называть такие зерна зернами с системой скольжения п(ь Для статистически изотропного материала относительный объем зерен с системой скольжения пр пропорционален е(111(р. В системе скольжения пр действует касательное напряжение т„п соответствующие зерна претерпевают деформацию чистого сдвига у„"з = г (т,з). Здесь была сделана гипотеза о том, что напряженное состояние однородно и не меняется от зерна к зерну. Вторая гипотеза состоит в том, что деформация зерен с системой скольжения пр вызывает такую же общую деформацию тела, пропорциональную относительному объему соответствующих зерен, а именно: адуве = г'(Т„З) ГИ 11р.
Итак, деформация тела в целом представляет собою результат наложения бесконечно большого числа чистых сдвигов для всех возможных систем скольжения пр. Чтобы вычислить эту деформацию, перейдем к составляющим тензора деформации относительно фиксированных осей х, по формулам преобразования компонент тензора второго ранга (з 7.1). Принимая направления п и (1 за направления 1 и 2 новой системы координат, мы должны принять все ев равными нулю, кроме е„=(.р/2. Тогда Нег, = (()11РМ + (),1Р„) 1(е„. й 16.6.
ТЕОРИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ 561 Но Ра =пь рр = ро следовательно, г (п1Р1 + пр~)1) ь' (тзз) 6111 Ф. Интегрируя, получим формулы для пластических деформаций +л/з еом = —, ~ ) (пф; + пр'р1) г (т„р)1116 11р. (16.9 1) Здесь 12 — поверхность единичной сферы. Касательное напряжение т„р вычисляется по обычной формуле т,р = азпфь (16.9.2) При этом использована первая гипотеза, заключающаяся в том, что напряженное состояние однородно и, следовательно, т„р в любом зерне выражается через компоненты тензора ао по обычным формулам.
Если эта гипотеза с известной натяжкой и может быть принята, то предположение о возможности суммирования деформаций, приводящее к формулам (16.9.1), представляет собою далеко идущую идеализацию. Для фактического вычисления деформаций направления и и () задаются с помощью эйлеровых углов, по которым и ведется интегрирование. Основная трудность связана с тем, что функция г" (т) отлична от нуля только при т) т„поэтому интегралы н формулах (16.9.1) распространяются не на всю поверхность сферы, а лишь на некоторую ее область. Согласно теории скольжения начало пластической деформации связано с достижением предела текучести в какой-то из систем скольжения. Но если т „,=т„то всегда найдутся такие верна, для которых это напряжение будет касательным напряжением в системе скольжения. Поэтому начальная поверхность соответствует условию максимального касательного напряжения Треска — Сен-Венана.
Для последующих поверхностей точка нагружения будет конической точкой. Вычисления по формулам (16.9Л) довольно сложны и громоздки. Ч1- кала смог довести до конца рассмотрение простейшего случая, когда обрааец сначала растягнзается, а потом аакручкзается. Не зоспроназодя вы. кладки, мы приведем лишь окончательный результат. Поскольку в опыте участвуют дза напряженяя а и т, его можно представить графически в плосностя, как это сделано на рнс. 16.9.3. Начальная поверхность нагруженкя есть эллипс, уравнение которого а'+ 4т' = соней Прн растяжении точка нагруженкя дзкжется по осн абсцисс, пересекает начальную поверхность, доходит до тачки М н движется дальше по лучу, выходящему на этой точкк.
Оказалось, что касательные, проведенные к начальному эллипсу кз точки М, делят плоскость а, т на четыре области. Если приращения напряжений таковы, что точка нагруженяя попадает в область р, происходит упругая разгрузка. Приращении деформацнй прн 66 Ю.Н, Расотзое 562 Гл. 16. упвуГОплхстпчеснОе упРОчняюшееся телО движении точки натруженна в область П определяются по формулам типа формул деформационной теории, интегралы (16.9.1) пе зависят от пути нагружения, а только от конечных значений а и т.
Для путей нагружения, направленных в области Пу и 1(>, соотношения между деформациями и напряжениями оказываются довольно сложными, законченйый результат получен автором для ортогонального нагружения, показанного стрелкой на рисунке, т. е. для закручивания при постоянной осевой нагрузке. При малых бт было получено (16.9.3) Здесь Е, и Е> — соответственно секущий и касательный модули, определенные по диаграмме растяжения для точки М. Опыт на кручение при постоянной растягивающей силе выявляет разницу мея>ду различными теориями пластичности наиболее контрастным образом. По теории течения с гладкой поверхностью текучести начальный модуль С* = (> — модуль упругости при сдвиге. По деформацпонной теории, соответствующей закону (16.1.4), С = С,(а); это значит, что начальный модуль определяется степенью растяжения перед прило>кением крутящего момента.
Опытные данные покаРпс. 16.9.3 зывают, что при небольшой пластическои деформации начальный модуль догрузки Сь приблизительно равен модулю упругости; при увеличении пластической деформации предварительного растяжения величина С* несколько уменьшается, однако формула (16.9.3) все же дает ааниженный результат. Деформационпая теория приведет к существенно меньшей величине С* и, таким образом, резко противоречит эксперименту, что и неудивительно, рассматриваемое нагружение наиболее далеко от пропорционального.
Качественная картина, представленная на рис. 16.9.3, весьма похожа па ту, которая была найдена нами для модели, рассмотренной в $16.5. Расположение областей на рис. 16.9.3 и 16,63 совершенно одинаково, правда рнс. 16.6.1 относится к плоскости деформаций, а рис, 16.9.3 — к плоскости напряжений, Такое сходство качественных результатов не должно вызывать удивления. Теория Батдорфа — Будянского, так же как и наша модель, представляет тело в виде собрания упругопластических элементов; в теорпи скольжения таким элементом служит зерно, наделенное однои-единственной системой сколь>кения. При активной пластической деформации касательное напряжение и сдвиг в зерне связаны однозначной функциональной аависимостью и соотношения деформационной теории оказываются справедливыми до тех пор, пока во всех элементах продол>кается активная деформация.
При этом с увеличением напряжения пластическая деформация распространяется на новые элементы, но разгрузка нигде не происходит. Такое положение соответствует догрузке внутрь угла 11. При догрузке в области 1П и 1У часть элементов может догружаться, в пластическую деформацию могут втягиваться новые элементы, но некоторые из пластически деформированных зерен разгружаются, возвращаясь в упругое состояние.
Этим определяется сложность анализа для укааанных областей. Существуют и другие варианты скольжения — Бишопа и Хилла, Лина, 1>(алмейстера, Клюшникова, которые здесь рассматриваться не будут, Заметим только, что теория Клюшникова построена для некоторой модельной двумерной среды, поэтому она проще, чем описанная модель Батдорфа— % 1ЕАЕ. СОПОСТАВЛЕНИЕ МОДЕЛЕЙ С РЕАЛЬНОСТЬЮ 563 Будянского.
Даже простейшая модель, рассмотренная в $16.5, приводит к достаточно сложным зазисимостям для общего случая, уравнения, полученные для этой модели, не позволяют сделать даже качественный вывод о характере изменения позерхпости нагружения при более или менее сложных путях нагружения. Теьг более трудно зто сделать для изложенной выше теории скольжения, которая, по-видимому, правильно отражает основной механизм пластической деформации поликристалчического металла. Хотя вводимые гипотезы чрезмерно упрощают действительное положение дела, уравнения все же получаются слишком сложными. Это обстоятельство приводит нас к довольно пессимистическим выводам относительно возможного прогресса теории пластичности, основанной на наглядных механических представлениях.
й $6ЛО. Сопоставление моделей с реальностью н пластичности В послевоенное время значительные усилия ряда исследователей в разных странах были направлены на построение теории упругопластического деформирования при произвольном виде нагружения. В настоящее время можно считать надежно подтвержденными уравнения деформационной теории при пропорциональном нагружении. Для нагружений, близких к пропорциональному, предсказания этой теории также оказываются удовлетворительными, хотя мера необходимой «близости» по существу не определена.
Вопрос о существовании или, наоборот, отсутствии конической точки на поверхности нагружения, если встать на точку зрения теории течения, также остается открытым и вообще вряд ли может быть решен в результате эксперимента. Любая теория пластичности представляет лишь модель явления и проверке могут подлежать только следствия из этой теории, притом с определенной степенью точности, зависящей от характера рассматриваемой задачи. Определение поверхности текучести требует точной фиксации момента перехода от пластической деформации к упругой, тогда как в действительности атот переход совершается постепенно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
