Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 116
Текст из файла (страница 116)
Операторное тождество 1 ] Г (~+ ] ) 1+рг49) можно переписать, полагая Х = х, Х + ]г = у, в следующем виде: Г* (х) Гз (у) = — (Г* (х) — Г* (у)]. (17.2.4) Соотношение (17.2.4) выражает теорему об умножении резольвентных операторов. При х = у путем предельного перехода 37ч 580 ГЛ. 1Ь НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ получаем г дг дх Продолжая этот процесс, найдем выражение для любой степени резольвентного оператора Г*(х) 1 д" 1Г* Го" =— (о 1)( дхо-1 (17.2.5) Таким образом, формула (17.2.4) указывает на то, что система резольвентных операторов, порождаемых любым оператором К, образует поле, причем операция возведения в степень недопустима в том смысле, что результат ее выводит за пределы поля. Для наследственной теории упругости особое значение имеют резольвентные ядра, порождаемые ядром Абеля: Ф 0 т)а 7а' 7а Г„(1:+ а) 1) О, (17.2.6) К* = О, 1( О, — 1 < а < О.
Ядро Абеля, очевидно, удовлетворяет условию затухающей па- мяти. В определении (17.2.6) величина Г(1+ а) представляет собою гамма-функцию указанного аргумента. Напомним ее опре- деление и основные свойства Г(х) = ~ з"-'э '71г, Г(1+ х) = хГ(х), Г(1) =1. о Через гамма-функции выражается так называемый интеграл Эйлера или бета-функция 1 В(р, д) =) зэ 1 (1 — 'з)о-11Ь = Г (р.+ д) о Используя эту формулу, мы легко получим следующее правило умножения операторов Абеля: 1 7з = Ха+а+1. уа — уш-1+та. (17.2.7) о 3'Й Если и ( 0 и и ) †,то индекс оператора "а становится по1+ а' ложительным и особенность исчезает. Для этого нужно воспользоваться общим определением умножения операторов, которое было дано в з 17.1, и ввести новую переменную интегрирования з=(з — т)/(1 — т).
Отсюда следует, в частности, правило возведения оператора Абеля в произвольную степень 581 3 17Л. РЕЗОЛЬВЕНТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Построим класс резольвентных операторов, порождаемых оператором Абеля. Будем называть их дробно-экспоненциальными операторами Эа(р) и определять следующим образом: 1 + Р Э ( Р ) ~ а Разлагая в ряд фигурирующую в левой части равенства дробь, мы получим выражение для Эа(Р) в виде ряда (17.1.8), на этот раз знакопостоянного. С учетом (17.2.7) мы можем написать явное выражение для ядра оператора Эа (~))1 бп1ж1Ра) Эа(~ 2) =1.й~ Г((„+О(,+а))- При а<0 и при малых 1 первый член ряда оказывается преобладающим, поэтому Э.
(б, с) = 7„(г). Этот член определяет главную часть особенности. При р) 0 члены ряда, соответствующие положительным степеням 1, неограниченно растут вместе с 1, поэтому Э„(б, -)=- (5~0). Таким образом, при р ) 0 дробно-экспоненциальное ядро не удовлетворяет условию затухающей памяти. Вопрос о поведении Э-функции при р(0 будет рассмотрен позже; здесь элементарные соображения уже недостаточны. Заметим, что при и=О 7„=-1, Э,(р, т)= ехр рг. Хорошо известно, что если ядром интегрального уравнения служит экспоненциальная функция, то резольвента будет также экспоненциальной функцией. Теорема умножения (17.2.4) легко проверяется непосредственно, так же, как формула (17.2.5).
Дробно-экспоненциальные функции и интегралы от них протабулированы, зти таблицы описаны и частично приведены в книге Работнова (1977). Следует заметить, что дробно-экспопенциальные функции оказались чрезвычайно удобными для описания линейной наследственности в горных породах, полимерах и армированных пластиках. Принимая ядро ползучести в виде одной дробно-экспоненциальной функции К* = ЕЭа( — р) удается, как правило, достаточно хорошо описать данные по ползучести, возврату и релаксации.
Показатель я прп этом обычно оказывается близким к — 0,7, хотя это не может служить общим правилом. 582 ГЛ. ГЛ НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ $17.3. Применение преобразования Лапласа Напомним, что изображением по Лапласу функции 7(1) называется функция 7'(р) параметра р, определенная следующим образом: 7(р) = 1'1(~) — д (17.3.1) о Параметр р может принимать любые комплексные значения. Заметим, что для определения 7(р) необходимо знать функцию ~(1) только для положительных значений аргумента, для отрицательных значений ее мон1но доопределить произвольным образом, например, положив 7(1)= — О при 1(О.
Функция, тождественно равная нулю при отрицательных значениях аргумента, называется функцией, принадлежащей к классу Хевисайда. Зная изображение 7(р), можно восстановить оригинал или функцию 7'(1) по формуле Меллина а+» ю 7 (1) = — „. ) 7(р) еюдр. (17.3.2) Здесь прямая Пер =а выбирается таким образом, чтобы все особые точки функции ~(р) располагались слева от атой прямой. Для отрицательных значений 1 интеграл (17.3.2) равен нулю, поэтому формула Меллина автоматически дает функцию, принадлежащую к классу Хевисайда.
Мы не приводим здесь необходимых условий для того, чтобы преобразование Лапласа (17.3.1) существовало, и для того, чтобы функция 7(р) служила изображением некоторой функции ((1). Эти условия выполняются для всех тех случаев, с которыми нам придется иметь дело. Напомним теорему о свертке. Если 1(1) =~и(С вЂ” т) й(т) й =) К( )" И вЂ” т)йт то Пр) =У(р)~(р). (17.3.3) Отсюда легко получаются известные формулы преобразования Лапласа от интеграла и, следовательно, от производной, если ~(1)=~й(т)йт, ~(р)= — ,') (р). о Применяя преобразование Лапласа к интегральному уравнению (17.1.4) и используя теорему о свертке, получим й=(1+)К)й.
З ГЬЗ. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 583 Точно так же, вычисляя интеграл Лапласа от равенства (17.1.6), найдем и =(1 — АГ) и. Отсюда следует (17.3.4) Соотношение (17.3.4) совершенно сходно по форме с (17.1.7), ио, в отличие от него, представляет собою не символическое, а обычное алгебраическое равенство. В задачах наследственной теории упругости ряд авторов применяет технику преобразования Лапласа, здесь мы будем следовать другой системе изложения, а именно, примем за основу изложенную в 3 17.2 теорию резольвеитных операторов.
Однако преобразование Лапласа нам понадобится для выяснения асимптотических свойств введенных выше дробно-зкспоненциальных функций. Вычислим сначала преобразования Лапласа функции Х„. Вспоминая определение гамма-функции, находим 1 аа (Р) — ~+, Принимая в формуле (17.3.4) Х= — ф1„, Г = — рЭ, находим Э Ф,Р)= (17.3.5) Подставляя в формулу Меллина, приходим к следующему интегральному представлению для функции Э (р, 1): а+о (17.3.6) а-ьо Для того чтобы получить интегральное представление для интеграла от Э -функции нли для произведения Эа 1, нужно разделить подынтегральное выражение на р.
Получим (17.3.7) а — 1 Известно (см. Деч), что асимптотическое поведение интеграла Меллина, определяемого формулой (17.3.2), описывается следующим образом. Пусть функция 7(р) имеет простые полюсы с неотрицательной действительной частью и р, — тот полюс. у которого действительная часть наибольшая. Следовательно, в окрестности полюса Р, функция 7(Р) может быть представлена 584 ГЛ. !7. НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ следующим образом: 1(р) =,, + А Р— Рд Тогда при больших значениях 1 главный член в асимптотическом разложении функции ((1) будет ~ (г) .4е'о'.
Если действительные части полюсов отрицательны, функция Яг) стремится к нулю при 1-, если полюс с наибольшей действительной частью находится в начале координат, функция )($) стремится к постоянному значению, равному А. Если функция 7(р) неоднозначна, то рассматривается та ветвь функции, которая однозначна в плоскости, разрезанной вдоль отрицательной 1 полуоси. При р) 0 из формулы (17.3.5) следует, что ра = Р '+ поэтому 1 Э„(р, 1) А ехр (1р'н" ). Мы убедились еще раз в том, что дробно-экспоненциальная функция при р) 0 неограниченно возрастает с увеличением г. Более того, теперь мы знаем, что эта функция растет как обычная экспонента.
При р (0 положим 5 = ~(~~е1', р, = ге". Вследствие того, что рассматривается полуплоскость с выброшенной отрицательной 1+В полуосью — я < 1р < л. Подставляя в уравнение рз — )) = О, находим При и ( О найденное значение 1р больше, чем я, поэтому рассматриваемая ветвь функции полюсов не имеет и Э,(р, 1)- 0 ч при р(0 и 1- . Что касается изображения функции Эа(У) 1, оно имеет единственный полюс р =О, вычет для этого полюса А = — Щ, поэтому Э (р).1 — — — (р(0, 1-+ сс). Установленные свойства элементарно проверяются для обычных экспоненциальных функций. 4 17.4. Функции от операторов Формула (17.1.8) определяет некоторую функцию от оператора К*, ааданную в виде ряда.
Этот ряд был получен в результате разложения левой части соотношения (17А.7). Аналогичным образом может быть определена произвольная функция 3 47,4. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ 585 от оператора. Пусть 7(х) есть произвольная функция комплексной переменной х, аналитическая в окрестности точки х = О. Представим ее в виде ряда 7'(х) — 7'(О) + ( (О) х+ — 7' (О) х + ... По определению этот ряд имеет отличный от нуля радиус сходимости т. Функция 7'(К*) оператора Вольтерра определяется следующим образом: 7(К*) =7(0)+ 7'(0)К*+ У (0)К*э+ ... (17.4.1) Вольтерра доказал следующую теорему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
