Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 118
Текст из файла (страница 118)
Мы убедились, что в уравнении (17.5.8)' должно быть р < А, при этом не было необходимости в обращении к модели, условие Е <Е, из которого следует первое неравенство, означает только то, что приложенная сила совершает положительную работу, расходуемую на накопление энергии деформации, а частично рассеиваемую в виде тепла. В общем случае (17.5.9) тоже должны быть выполнены некоторые неравенства, которые могут быть не столь очевидны.
Но если построена эквивалентная реологическая модель из стержней, накапливающих энергию, и вязких сопротивлений, рассеивающих ее, то у нас есть полная уверенность в том, что для соответствующего модельного тела законы термодинамики будут выполняться. Второе преимущество модельных представлений состоит в том, что для любой заданной конфигурации системы может быть вычислена внутренняя энергия, представляющая собою энергию упругих пружин, и скорость необратимой диссипации энергии вязкими элементами.
Имея в распоряжении закон наследственной упругости (17.5.1), (17.5.2), мы можем подсчитать полную работу деформнрования, но не можем отделить накопленную энергию от рассеянной. Поэтому, например, Блонд целиком строит изложение теории на модельных представлениях. й 17.6. Экспоиенциальиые операторы Несмотря на то, что уравнение стандартного вязко-упругого тела может быть применено к описанию свойств реальных тел лишь с большой натяжкой, несколько более детальное изучение этого уравнения все же может оказаться интересным. С другой стороны, следует иметь в виду, что старые работы по вязко- упругости (30-е — 40-е гг.) в значительной мере основывались на модели стандартного тела.
В более поздних работах оно также применялось из-за простоты и возможности эффективного решения некоторых задач, которые не удается довести до конца при более сложных определяющих уравнениях. В $17.2 мы ввели интегральный оператор 1„соответствующий обычному инте- $ ГЬЗ. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 591 грированию и порождающий класс резольвентных операторов, ядрами которых служат экспоненциальные функции. Умножим обе части уравнения (17.5.8) на уз. Получим (1 + ЛХо) и = Е (1 + р7о) е. Отсюда, применяя обычные алгебраические действия, найдем 7Ф О=Е 1+(р — Л) 0,( (17.6.1) или, с учетом (17.2.8), о = Е [1 — (Л вЂ” р) Эз ( — Л)) е. (17.6.2) Наоборот, выражая деформацию е через напряжение о, найдем е = — (1+ (Л вЂ” р) Э',( — )А)) о. Переход от (17.6.1) к (17.6.2) можно произвести по формуле (17.2.3).
Если один экспоненциальный член, фигурирующий в уравнении (17.6.2), недостаточно хорошо воспроизводит опытные данные, естественно попытаться добавить еще несколько экспоненциальных членов и выбрать оператор ползучести следующим образом: К*=Х й,Э,'( — 6,). (17.6.3) Если все ~, и )с; положительны, то К = ~й~ и Е <Е. Обращение этого оператора будет выражаться следующим образом: Г* = ~ т,Э,( — 7,).
(17.6.4) Величины т, и 7, можно найти следующим образом. Из соотношения между оператором Ка и резольвентным оператором Г* (17.1.7) следует Кз — Га — К*Ге = О. Подставляя сюда выражения (17.6.3) и (17.6.4) и принимая теорему умножения резольвентных операторов (17.2.4), получаем следующую серию равенств: 1+ л,— *=О, , рс — т. 1 + „)~ ~— = О. (17.6.5) в Отсюда следует, что 7, находятся как корни алгебраического уравнения степени и, после чего т, определяются из системы линейных уравнений. Можно показать, что все 7. действительны и положительны. ГЛ. ГЬ НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 592 Не составляет груда убедиться в том, что интегральное уравнение с ядром (17.6.3) эквивалентно дифференциальному соотношению (17.5.9). Для этого интегральное уравнение (17.5.1)' днфференцируется п раз по времени 1; получившаяся система из и+1 уравнений содержит линейным образом е, О и их производные до порядка п включительно, а также и различных интегралов вида Э,( — р) О.
Исключая эти интегралы, мы приходим к дифференциальному соотношению вида (17.5.9). Обратно, для того чтобы перейти от дифференциального закона к интегральному представлению, можно использовать ту же процедуру, которая была применена к стандартному вяакоупругому телу. рП Нужно умножить соотношение (17.5.9) наХ,, тогда Р и С обь ратятся в полиномы степени и от оператора тю частные двух полиномов следует разложить на простые дроби, каждая из которых расшифровывается как экспоненциальный оператор. При этом необходимо, чтобы корни каждого полинома были различны, действительны и в результате получалось й~ > 0 и 5~ ) О. Заметим, что эти достаточные условия положительности работы не необходимы. Можно представить себе, что некоторые й~ отрицательны и некоторые корни 5, комплексны.
Появляющиеся в последнем случае осциллирующие ядра в принципе допустимы, хотя при представлении с помощью реологических моделей обычного типа они появиться не могут. Но в принципе реологическая модель может быть и динамйческой, она может включать в себя, кроме упругих и вязких элементов, массы, могущие совершать колебания. Для описания свойств реальных материалов модели такого рода, насколько нам известно, не применялись. э 17.7. Наследственно-упругое тело Для дальнейшего сокращения записи введем упругий оператор Е, представляющий собою сумму постоянного слагаемого и оператора Вольтерра, Е = Е(1 — Г*) = —.„.
(17.7Л) Теперь уравнения (17.5Л) и (17.5.2) можно переписать в совсем простом виде е==, а= Ее. Эта запись открывает совершенно естественный путь обобщения уравнений аакона Гука на наследственно-упругое тело. Примем сз = Аббе + 2р е». (17.7.2)' Здесь А и р — упругие операторы, построенные так же, как Э 17.7. НАСЛЕДСТВЕННО-УПРУГОЕ ТЕЛО 593 оператор Е, а именно, л=л(1+л*), р-1(1+ма). Здесь Лэ и Мо — два, вообще говоря, различных оператора, описывающие наследственные свойства изотропной среды. Вместо операторов Л и 1« можно ввести «технические» операторы Е и у, из них можяо скомбинировать операторный модуль сдвига р = Š— Расшифровка этого выражения проста, когда Е и у 2(1+ т) содержат операторные части, принадлежащие к одному и тому же классу резольвентных операторов. Опытные данные показывают, что объемное последействие незначительно и объемную деформацию можно считать упругой.
Поэтому операторный объемный модуль обращается в постоянную. Записывая это уравнение Е Е 1 — 2» ' найдем выражение для операторного коэффициента Пуассона т+ Га 2 (17.7.3) Вычисляя операторный модуль сдвига для материала без объем- ного последействия, найдем (17.7.4) Обращение этой формулы, т. е. получение явного выражения для оператора й, достаточно просто тогда, когда Кэ — резольвентный оператор. В противном случае необходимо решать тем или иным способом интегральное уравнение. Для анизотропного тела вводятся тензор-операторы четвертото ранга, ваменяющие упругие константы в ваконе Рука. Соответственно закон наследственной упругости записывается в одной из следующих форм: по=Еже»ь ее =Пюов (17.7.5) или а Ф пи =Оиызд, е 1 = Х«1»7о»7 (17.7,6) Ф Э Связь между операторами СП»7 и умам с одной стороны, Ееи и Псов с другой, та же, что и связь, установленная формулами (17.5.5), (17.5.6) для одномерного случая.
Положим в операторе Евм слагаемое, содержащее интегральный оператор, равным нулю, получим тензор мгновенных модулей Ее»о С другой стороны, 38 Ю, Н, Разо«но» 594 ГЛ. ГЬ НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ произведение Вся 1 при 1- стремится к постоянному тензору длительных модулей. Заметим, что тензоры мгновенных и длительных модулей необходимым образом симметричны, тогда как симметрия операторных модулей, вообще говоря, не вытекает нз каких-либо механических соображений.
Это становится ясным, если поставить в соответствие наследственно-упругому телу динамическую модель, содержащую вращающиеся массы. Гироскопические силы не связаны с перемещением симметричной матрицей. Однако в большинстве приложений симметрия матрицы операторных модулей или податливостей постулируется, при этом оказываются справедливыми некоторые теоремы взаимности и вариационные принципы. Если конструировать модели из упругих и вязких элементов, зта симметрия получается необходимым образом. Она следует также, если принять некоторые принципы необратимой термодинамики, например принцип Онзагера.
Однако мы предпочитаем избегать подобного рода аргументов. Единственное условие, которому должны удовлетворять тензоры наследственно-упругих операторов, состоит в том, что работа при произвольном пути деформирования должна быть неотрицательна. Выразим напряжение через деформации по первой из формул (17.7.6). Функции Сед,(~ — т) определены только для положительных значений аргумента, нам будет удобно доопределить их для отрицательных значений следующим образом: С(1) = С( — 1). Теперь выражение для работы гу' может быть записано следующим образом: С 1 2И" (1) = ~ ) Спд, (з — т) 1)ем (г) 1(ед1 (т).
(17.7.7) о о Представим функции С,1„через их косинус-преобразования Фурье О Спд,(г — т) = — ) Спы (1о) соз 1о (г — т) Йо. 0 Подставляя их в (17.7.7) и меняя порядок интегрирования, получим Ю И' = — ~ С'„д, [АНАН + В;;Вы) 1йс. (17.7.8) о Здесь Ао и Во — функции времени, определяемые следующим образом: 1 А;; =- ) соз доз г)е11 (г), В„. = — [ здп газ 1)еп (г). 8 кьз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
