Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 119
Текст из файла (страница 119)
пеРиодические нАГРузки 595 В зависимости от пРогРаммы нагРУжениЯ величины Агг и Во могут принимать любые аначения, поэтому необходимое и достаточное условие положительности работы состоит в знакоположительности, фигурирующей под интегралом квадратичной формы: а11 А;А )О. (17.7.9) Полученное неравенство составляет содержание теоремы Брейера и Оната. В одномерном случае это неравенство приводится к условию положительности косинус-преобразования Фурье функции релаксации, С') О. Нетрудно показать, что это условие эквивалентно условию положительности синус-преобразования ядра релаксации, Г' ) О.
$ 17.8. Периодические нагрузки Возвращаясь к одномерным задачам, рассмотрим поведение наследственно-упругого тела под действием периодического возмущения, например периодического деформирования. Положим е = ер ехР 1188. (17.8.1) Если принять в соотношении наследственности нижний предел интеграла равным минус бесконечности, то вследствие условия замкнутого цикла напряжение будет также периодической функцией времени.
Поэтому здесь нам будет удобно выбирать нижний предел именно так. Если интегрирование ведется не от — , а от нуля, то выражение для о будет содержать апериодический добавок, стремящийся к нулю по мере возрастания времени Итак, положим о = о, ехр (1 (гот+ гр)]. (17.8.2) Подставляя выражения с н е в закон наследственной упругости, записанный, например, в виде (17.5.2), получим с ~ *ро( рр рг=о..[ *р~ р — 1 го — 1 *р~р ) Заменим переменную интегрирования, положив à — т =8, и представим ехровт как сумму соз гот+гзш гот. Получим с,ехр11(во+ гр)] =Ее,ехр 11ог(1 — Г,+ 1Г.).
Здесь введены следующие обозначения: рр р Г, = ] Г (г) соз азгЬ, Г, = [ Г (г) 81п 188 пз. о о Эти величины отличаются от косинус- и синус-преобразований Фурье только множителями. 38о ГЛ. 11. НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 596 Определим теперь комплексный модуль упругости Е' + сЕ", зависящий от частоты ос. Действительная и мнимая части комплексного модуля выражаются формулами Е'=Е(1 — Г,), Е" =ЕГ,. Теперь соотношение между напряжением и деформацией может быть записано следующим образом: с =(Е'+ 1Е" ) е. (17.8.4) Очевидно, что уравнение (17.8.4) справедливо лишь тогда, когда е(г) задано выражением (17.8.1) и от момента начала воздействия прошло достаточно много времени, так что апериодический добавок к выражению (17.8.2) для напряжения может считаться пренебрежимо малым.
Уравнение (17.8.4) может быть переписано также следующим образом: Ки ао — — е,)/Е'~+ Е"о = со!Е(, сасР = Е— ,—— 1 г„. (17.8.5) При выводе этих соотношений мы могли бы испольаовать закон наследственности, записанный в форме (17.5А). Повторяя бук- вально те же вычисления,мы получим К Е" == Е *,, (17.8.6) (т+ к )'+ кГ Е' — Е 1+ Кс (т+ К,)о+ Ко' А = ) о с(е. о Проделав необходимые элементарные вычисления, которые мы здесь не приводим, получим следующий результат.
Работа будет состоять из двух частей, первая часть — периодическая функция от с, т. е. полностью обратимая работа упругих тел. Но вторая часть оказывается пропорциональной времени ~, следовательно, это та часть работы, которая рассеивается необратимым образом, превращаясь в тепло. Величина необратимой работы в единицу времени называется мощностью диссипации Р; выделяя из интеграла работы множитель при 1, получим Р = — овтоео з1п сР. 2 Вычислим теперь работу, совершаемую напряжением (17.8.2) на деформации (17.8А).
Переходя к действительным функциям, положим, например, е еозшсос, а=осзш(асс+ ср). Работа за время от ~=0 до настоящего момента 1 определяется следующим образом: с з гьз. пвгиодичкскик нАгггзки 597 Отсюда с помощью (17.8.5) получаем 1 з 1 2 П = — юозЕ, = — Е«ез,Г,. 2Е 2 (17.8.7) Необходимое и достаточное условие положительности дисснпации состоит в том, чтобы синус-преобразование ядра ползучестп К или ядра релаксации Г было положительно.
Но по теореме Брейера — Оната, приведенной в з 17.7, выполнение этого условия обеспечивает положительность работы при любом виде деформирования или нагружения; это есть единственное термодинамическое ограничение, налагаемое на ядро наследственности. С помощью комплексного модуля легко решаются задачи о вынужденных колебаниях наследственно-упругих систем.
Пусть, например, колебания системы с одной степенью свободы описываются уравнением о + ю,' (1 — Г*) о = ю,' ехр 1р1. (17.8.8) Будем искать его решение в виде и=аехр(1(рг+~у)). Подставляя это выражение в (17.8.8), выполняя интегрирование прп помощи аамены переменной 1 — т = г и сокращая множитель ехр 1рГ, получаем а( — р'+ юо(1 — Гс+ 1Гв)) = е«оехр( — йр). Отделяя действительную часть от мнимой и вводя обозначения Е' и Е" вместо Г, и Г, соответственно по формулам (17.8.3), по- лучаем =[[~ — +) .«(~) ~п, «~«= ~,. «««ЛЗ« о К' — Е— а Это решение не зависит от начальных условий, значит рассматриваются действительно установившиеся колебания, когда слагаемое в решении, соответствующее свободным колебаниям, затухает практически до нуля.
Для решения задачи о свободных колебаниях необходимо исследовать строго интегро-дифференциальное уравнение (17.8.8), что, в общем, затруднительно. Решение этого уравнения можно представить как линейную комбинацию двух функций, которые играют роль синуса и косинуса, но представляются довольно сложными двойными рядами. Насколько нам известно, никто не пытался построить таким образом фактическое решение, т. е. просуммировать и протабулировать эти ряды. Однако некоторое суждение о характере аатухания свободных колебаний по истечении достаточно большого времени от их начала, т.
е. тогда, когда затухание уже практически не зависит от того, каким образом были возбуждены колебания вначале, можно получить, используя ту же технику. Положим 598 ГЛ. Гь НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ в уравнении (17.8.8) правую часть равной нулю п будем искать решение однородного уравнения в виде и = ехр 7рй Подставляя в (17.8.8) и проделывая те же вычисления, что н в случае вынужденных колебаний, получим Е' 7Е" (17.8.10) Отсюда видно, что р есть комплексное число. Действительное решение уравнения можно записать, например так: и е ы э(п «7Г Отделяя в следующем из (17.8.10) выражении для р действи- тельную и мнимую части, получаем Е Е' Здесь величина !Е~ — абсолютная величина комплексного моду- ля — определяется первой из формул (17.8.5).
й 17.9. Принцип Вольтерра Уже в ранних работах Вольтерра было отмечено, что при решении аадач наследственной теории упругости операции, связанные с решением дифференциальных уравнений, аналогичных обычным уравнениям теории упругости, и операции интегрирования по времени, связанные с вычислением операторов Воль- терра, могут выполняться в произвольном порядке. Отсюда вытекает следующее правило, которое можно назвать принципом Вольтерра. Для решения задачи наследственной теории упругости нужно построить решение задачи обычной теории упругости и в окончательном результате заменить упругие постоянные операторами, расшифровав полученные комбинации операторов по известным правилам.
Этот принцип применим при соблюдении определенных условий, которые будут выяснены далее, расшифровка операторных комбинаций также требует некоторых пояснений. В сороковые — пятидесятые годы, когда наследственная теория упругости получила новое развитие в работах американских авторов, для решения задач получил широкое распространение метод, основанный на применении преобразования Лапласа. Для этого метода был сформулирован принцип соответствия, который по существу представляет собою простую перефразировку принципа Вольтерра.
Применяя к основным соотношениям закона наследственной теории упругости (17.7.2) преобразование Лапласа, мы получим на основании теоремы о свертке следующие В гьз. пРинцип ВольтеРРА 599 уравнения: ое = ййбэ+ 2рео. (17.9 1) Здесь черточки над буквами обозначают преобразования Лапласа соответствующих функций. Уравнения (17.9.1) имеют форму обычных уравнений закона Тука. Выполняя преобразования Лапласа над уравнениями равновесия, соотношениями связи между деформациями н перемещениями и граничными условиями, мы получим для изображений систему уравнений, совпадающую с системой уравнений теории упругости. Ее решение ничем не отличается от решения задачи обычной теории упругости; изображения напряжений и перемещений оказываются выраженными явно череа изображения заданных на границе усилий и перемещений и функций наследственности. Теперь последний этап будет ааключаться в том, чтобы перейти от изображений к оригиналам. Эта процедура буквально повторяет ту, которая предписывается принципом Вольтерра, но в других терминах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
