Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 115
Текст из файла (страница 115)
В каждом сечении условие (16Л2.1) будет выполняться при одном и том же значении 1, поэтому упругое состояние в координатах х, 2 будет соответствовать точкам полосы на рис. 16.12.5. Верхняя граница полосы представляет собою фронт разгрузки из упругого состояния в пластическое. Этот фронт движется со скоростью упругой волны, следовательно, разгрузка может происходить только по закону Вука. Действительно, в з 2ЛО было показано, что разрывы напрял1ений и скоростей на фронте, движущемся со скоростью е, связаны условием (о] = (и]рс.
С другой стороны, разрыв скорости и разрыв деформации свя- заны очевидным кпнематическим соотношением 1и] = [е]с. 574 Гл. 36, упРугопллстическое упРОчняюшееся телО Исключая нз этих двух условий '~о~, находим ! 2 [е] — =рс =Е. Этим и доказывается, что при распространении волны от точки М происходит упругая разгрузка в точку Р. Дальше все происходит так же, как и без запаздывания. Образуется область постоянных значений тра, а далее идут пластические волны, соответствующие динамической диаграмме.
Явление упругой разгрузки после прохождения волны упругого перенапряжения, как можно назвать упругое состояние с напряжением, превышающим предел текучести о„было обнаружено экспериментально. ГЛАВА 17 НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 17Л. Линейная наследственность Принцип наследственности, сформулированный Больцмапом и получивший значительное математическое развитие в работах Вольтерра, состоит в следующем.
Предположим, что некоторый физический или механический процесс определяется воздействием, т. е. заданием некоторой функции и(т), тж( —, »). Реакция рассматриваемого тела или системы определяется некоторой функцией и(~). В общем случае величина функции и(») в настоящий момент времени 1 определяется не только значением воздействия в данный момент», но всей историей изменения функции о в указанном выше промежутке времени. Говорят, что и есть функционал от и и записывают его символически следующим образом: с и = — У (о).
(17 1.1) Функционал У называется линейньш, если У (г, + о,) = У (о,)+ У'(о,), У (со) = сУ (о), где с — константа. Связь между напряжениями и деформациями в тердом теле не обязательно должна иметь характер упругой связи или вид соотношений теории пластичности. Закон связи вида (17.1.1) определяет то, что называется вязкоупругостью пли вязлопластичностью; при специальном выборе линейного функционала У можно получить уравнения так называемой линейной вязкоупругостн.
Термин «вязкоупругость» обязан своим происхождением тому обстоятельству, что при некоторых частных предположениях относительно вида функционала соотношение (17.1.1) можно записать в виде дифференциального соотношения, связывающего линейным образом производные различных порядков от и и и по времени. Линейная связь между о л е есть закон Гука, линейная связь между о и е есть закон вязкости Ньютона. Получающееся линейное соотоношение между производными от о и от е в известном смысле обобщает эти простейшие модели; поэтому тело, описываемое с помощью этого соотношения, называют вязкоупругим.
В последнее время этот термин получил распространение в применении к телам, поведение которых не может быть описано 576 ГЛ. 1Х НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ при помощи дифференциальных уравнений конечного порядка. Мы предпочитаем в данном случае принадлежащий Вольтерра термин «наследственная упругость», как более точно и более образно передающий существо дела. Однако в этом параграфе и в ближайших следующих собственно наследственная теория упругости излагаться не будет, мы рассмотрим общие формы наследственных зависимостей между любыми физическими величинами. Достаточно общее выражение лпнейного функционала (17.1.1) будет следующее: и(1) =- Р(1) + А ) К (1, т) Р(т) О»т.
Ю '(17.1.2) Внесем в (17.1.2), заменив в етом уравнении 1 на 1+в. Получим 1+и и (1+ о») = Р(1+ е») + Х ~ Х (1 + а», т) и(т)»)т. Ю Заменим теперь переменную интегрирования т на т+ е», получим и (1+ ю) = и(1 + «7) + Л ) К (С + о», т + 1») и(т + а») «Кт. Учитывая периодичность о(1), найдем, что последнее уравнение совпадает с (17.1.2) в том и только в том случае, когда К(7+ е», т+ 1») =К(1, т). Функция К(7, т) называется ядром наследственности. Параметр А может быть принят равным единице, однако з дальнепшем нам будет удобно сравнивать зависимости типа (171.2) с одинаковыми ядрами К при разлячных Х. Ядро наследственности характеризует степень «забывания» к моменту времени Г о тех воздействиях, которые были совершены в момент времени т. По»тому, если свойства материала со временем не меняются, то естественно предположить, что мера «памяти» и «забывания» зависит от разности г — т.
Зто интуитивно очевидное предположение было сформулировано Вольтерра в виде условия замкнутого цикла, которое состоит в следующем. Если о(7) — периодическая функция, то необходимое и достаточное условие того, чтобы и и(1) была также периодической, состоит в том, что ядро К зависит от разности 8 — т К(7, т)=К(~ — Т). (17 1.3) Предположим, что н(1) — периодическая функция с периодом ис о(Г+ о») = и(7). 577 6 1Х1. ЛНДДЕИНАЯ НАСЛЕДСТВЕННОСТЬ Дифференцируя по параметру од и полагая од =О, получим дК дК вЂ” + — = О. дс дт Общий интеграл этого уравнения в частных производных первого порядка есть произвольная функция от разности с — т; этим и доказывается равенство (17Л.З). В уравнении (17.1.2) нижний предел интегрирования принят равным — оо.
В действительности, всякая история начинается с некоторого конечного момента времени — времени создания материала илп изготовления изделия, или первого нагружения. Поэтому мы будем записывать интегральное соотношение (17Л.2) с разностным ядром следующим образом: и = э+ Х) К(с — т) э(т) сдт. о (17.1.4) Представим (17.1Л) следующим образом: о 1 и = э + ) К (1 — т) э (с) 11т + ~ К (1 — т) э (т) со с.
Применим к первому интегралу теорему о среднем. Получим о о ~ Х(1 — т) э(с) Ыс = э(11) ) К(à — с) с)т, Гден( — Т, О). -т -т Ясли интеграл ) К(с — т) с(т = 7'(с, Т) -т Умножение на оператор К* означает вычисление фигурирующего 37 Ю. Н. Расотвов стремится к нулю при неограниченном возрастании Т, с, то ядро удовлетворяет условию затухающей памяти, и замена нижнего предела, равного —, на значение его, равное нулю, повволяет применять уравнения (17.1.4) вместо (17.1.1). Заметим, что при атом нижний предел был взят конечным, равным — Т.
Таким образом, принцип затухающей памяти утверждает не столько возможность замены нижнего предела — нулем, сколько несущественность выбора начального момента отсчета времени т= =О. Очевидно, что при периодической функции э(с) функция и(с) не будет периодической, но отклонение от периодичности или апериодический добавок к функции и(1) стремится к нулю с возрастанием с. Вместо полной записи (17Л.4) мы будем пользоваться сокращенной записью и =(1+ )„Ко) Р.
578 ГЛ. 1Ь НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТ11 в (17.1.4) интеграла. Для операторов Кэ можно ввести операцию умножения следующим образом. Произведением двух операторов А*Ма называется оператор, ядро которого определяется формулой ) Е, (~ — з) М (з — т) С7г. Делая простую замену переменных, убеждаемся, что умножение операторов коммутативно: Ь*М* = М*Ь*. Очевидно, что таким же способом можно определить умножение неразностных операторов, но в этом случае умножение не коммутативно. В приложениях для так называемых стареющих материалов вводятся и неразностные ядра. Некоммутативность умножения сильно осложняет в этом случае решение конкретных задач.
На уравнение (171.5) можно смотреть как на интегральное уравнение Вольтерра второго рода, определяющее функцию и(1) при заданной и(1). Как известно, решение интегрального уравнения записывается так: (17.1.6) и = (1 — ЛГз (Л) ) и. Здесь Гз(Л) — резольвентный оператор, ядро которого определяется рядом Неймана. Этот ряд можно получить чисто формально. Решая (17.1.5) относительно Р так, как если бы это было алгебраическое уравнение, и сравнивая с (17.1.6), получим , = 1 — ЛГ*(Л).
(17 1.7) Если бы в левой части вместо ЛК* стояло число, меньшее единицы по модулю, мы могли бы разложить дробь в ряд, представляющий собою геометрическую прогрессию. Сделаем зто с операторной дробью, понимая возведение в степень оператора так, как было определено умножение операторов. Получим Кз ЛКез + ЛТКэз + (17.1.8) Это операторное тождество вполне эквивалентно известному ряду Неймана для резольвенты. В теории интегральных уравнений доказывается сходнмость ряда Неймана для любых ограниченных ядер К. Здесь мы заметим, не приводя доказательства, что ряд Неймана сходится, если итерированные ядра становятся ограниченными, начиная с некоторого номера.
В частности, если ядро имеет особенность вида (1 — т) ", 0(и<1, то ряд Неймана сходится. 579 з 1?л. Резольвентнын 01теРАтогы й 17.2. Резольвентные операторы В задачах наследственной теории упругости приходится вводить несколько операторов Вольтерра и выполнять некоторые операции, состоящие в решении интегральных уравнений, ядра которых представляют некоторые комбинации исходных ядер и их резольвент. Правило умножения операторов и соотношения (17.1.7) позволяют записать и выполнить промежуточные операции преобразований по правилам алгебры, однако заключительный этап будет состоять в решении интегрального уравнения.
Ряд Неймана при этом скорее указывает на принципиальную возможность решения интегрального уравнения, чем служит эффективным средством для такого решения. На практике положение облегчается тем фактом, что ядра наследственности, характеризующие свойства материала, выбираются в результате обработки опытных данных, а опытные данные лежат внутри некоторой полосы разброса. Поэтому, как правило, оказывается возможным искать операторы наследственности внутри некоторого класса, достаточно широкого для удовлетворительного воспроизведения опытных данных, с одной стороны, допускающего явное выполнение обращения (17 1.7), с другой.
Выберем некоторый оператор К*, который будем называть порождающим оператором. Тогда оператор Г*(Х) будем называть резольвентным оператором. порождаемым оператором К*. Из (17.1.7) следует такое явное выражение для реэольвентного оператора Г*(Х): Г (Х)=, ~,*„. (17.2.1) Рассмотрим теперь следующее интегральное уравнение: и = (1+ ]гГ*(Х) ) о. (17.2.2) Находя отсюда по правилам обычной алгебры функцию и, получим (17.2.3) и =(1 — рГ*(Х+ и) ) и. Мы убедились, что если ядро принадлежит к резольвентному типу, то его резольвента будет опять-таки резольвентным ядром, порождаемым также оператором К*, но при другом значении параметра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
