Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Иы не будем здесь доказывать зто свойство, так же как не будем выводить довольно сложное соотношение между Лд~ и Ь11г для тех случаев, когда путь нагружения продолжается в областгь не принадлежащую областям 1 или рй Смысл проведенного для простой модели анализа заключается в следующем, Точка арения на упрочняющийся материал как на совокупность упругих и идеально-пластических злементов, скомбинированных каким-то образом, имеет определенный смысл, позтому некоторые общие принципы, справедливые для модели, естественно допустить и для упрочняющегооя тела. Эти принципы состоят в следующем. а.
Существует некоторый конус такой, что для приращений напряжений, заключенных внутри этого конуса, справедливее соотношения деформационного типа. б. Ыэ справедливости деформационной теории для некоторых нагружений, отличных от пропорционального, следует существование угловой точки на поверхности нагружения. в. Для гладкой части поверхности погружения справедлив ассоциированный закон или принцип градиентальности, состоящий в том, что вектор приращения пластической деформации направлен по нормали к по.
верхности. г. Упрочнение при деформировании в одном направлении сопровождается разупрочнением при деформировании в противоположном направлении. Этот аффект называется эффектом Баушингера. 552 Гл, 1а упгугоплАстичкское упгочняюшккся ткло 3 16.7. Изотропное и трансляционное упрочнение Здесь ге — тензор, составляющие которого служат в пространстве напряжений координатами центра поверхности нагружения, а величина я остается постоянной.
Тензор го обеспечивает то, что поверхность нагружения всегда проходит через точку нагружения, но этого условия недостаточно, необходимы еще дополнительные гипотезы. Простейшее предположение, сделанное Ишлинским, состоит в том, что Р. гм = ееоч (16.7.2) гДе с — постолнный множитель и в качестве фУнкЦии 7(оо) принят второй инвариант девиатора. При одноосном напряжен- Простейшая теория течения, которая формулируется с помощью уравнений (16.3.3) или (16.3.5), была названа теорией изотропного упрочнения.
Действительно, согласно этой теории поверхность нагружения, определяемая уравнением (16.3.1), сохраняет свою форму, т. е. изменяется с сохранением подобия. Если откладывать по осям координат в девятимерном пространстве напряжений компоненты девиатора, то эта поверхность будет сферой, которая увеличи/ вает свой радиус й.
Очевидно, что при изотропном упрочнении эффект Баушингера не наблюдается. Наоборот, равномерное расширение сферы по мере увеличения натзряжения означает, что упрочнение при растяжении, например, влечет за собой точно такое же упрочнение при сжатии (рис.16 7.1,а). А Согласно простейтпей идеалиРис. 16.7.1 задки опытных данных предел текучести при сжатии должен уменьшаться ровно настолько, насколько увеличился предел текучести прл растяжении. Будем говорить в этом случае об идеальном эффекте Баушингера. Очевидно, мы получим идеальный эффект Баушянгера, если допустим, что поверхность нагружения перемещается параллельно самой себе, следуя за точкой нагружения, как показано на рис. 16.7Л, б.
Будем называть соответствующую теорию пластичности теорией трансляционного упрочнения. Если уравнение начальной поверхности нагружения было 7'(оо)= Й', то пРи паРаллельном пеРеносе УРавнение послеДУющей поверхности напружения будет 1 (по — 8, ) = й2. (16.7.1) 3 76л. изотРОпное и тРАнсляпионное упРОчнение 553 ном состоянии (16.7Л) и (16.7.2) приводят к линейной связи между напряжением и деформацией; таким образом, эти уравнения описывают пластичность с линейным упрочнением. Независимо от Ишлинского и почти одновременно с ним Прагер предложил аналогичную гипотезу, назвав ее гипотезой кинематического упрочнения, потому что она может быть проиллюстрирована на простой кинематической модели. Для наглядности обратимся к двумерному случаю, когда поверхности нагружения соответствует контур нагружения.
Представим себе, что изготовлена рамка с вырезом, имеющим форму контура нагружения; эта рамка может свободно перемещаться по плоскости напряжений, причем специальные направляющие обеспечивают поступательное перемещение, предотвращая поворот. В плоскости движется палец, воспроизводящий путь нагружения. Если между пальцем и вырезом рамки нет трения, то при перемещении пальца в произвольном направлении, составляющем острый угол с направлением внешней нормали к контуру выреза, рамка переместится по направлению нормали. Таким образом, перемещение центра рамки будет направлено так же, как приращение пластической деформации, величина этого переме-' щения как раз такая, какая нухсна для того, чтобы контур нагружения все время проходил через точку нагружения. А теперь нужно представить себе, что аналогичная кинематическая модель построена в девятимерном пространстве. Заметим, что при рассмотрении отдельных частных задач теории пластичности вместо всего пространства напряжений можно рассматривать подпространства с меньшим числом измерений.
Но здесь приходится проявлять известную осторожность. Так, например, при плоском напряженном состоянии пластическая деформация будет трехмерной и использование двумерной кинематической модели типа Прагера может привести к неверным результатам, как отметил Будянский в дискуссии по статье Прагера. Эти трудности не возникают, если воспользоваться вариантом гипотезы трансляционного упрочнения, который был предложен Циглером. Согласно этой гипотезе тензор г» определяется следующими дифференциальными уравнениями: 66 = н(ое — г„) с естественным начальным условием го=О, при ~=0, т. е. до начала пластической деформации.
Теперь при ОН=О соответст- ВУЮЩЕЕ зч таКжЕ РаВНО НУЛЮ И КИНЕМатИЧЕСКаЯ МОДЕЛЬ СОХРаняется в любом подпространстве пространства напряжений. Остановимся, наконец, на варианте теории трансляционного упрочнения, принадлежащем Новожилову и Кадашевичу. Эти авторы предполагают, что тензоры ге и еР. связаны соотношениями типа соотношений деформационной теории пластичности, 554 Гл. !«. упРугоплАстическое упРОчня1ошееся телО а именно, гя = 26"е';. (16.7.3) Здесь 6« — функция инвариантов тензора ге или е!!';. При рассмотрении конкретных примеров авторы считали, что 6" зависит только от второго инварианта девиатора тензора ге и в уравнении (16.7.3) фигурируют компоненты девиаторов. При интерпретации этого уравнения тензор г1, рассматривают как тензор «внутренних» самоуравновешенных напряжений, точнее— как некоторую интегральную меру этих напряжений, возникающих в кристаллических зернах.
$16.8. Кусочно линейные поверхности нагружения Существенная нелинейность соотношений (16.7.3) позволяет описать поведение реального материала значительно лучше, чем это делается с помощью других гипотез. Теперь мы можем вернуться к той простейшей теории пластичности, с рассмотрения которой мы начали 3 16.1. При изучении границ применимости деформационной теории и при анализе простейшей модели мы встретились с такой ситуацией, когда начальная поверхность нагружения была гладкой, а последующие поверхности становятся сингулярными, коническая точка появляется в точке нагружения и следует за нею по пути нагружения. Сейчас речь будет идти об особенностях другого рода.
Начальная поверхность нагружения может состоять из частей нескольких гладких поверхностей, образующих при пересечении ребра. Простейший пример, рассмотренный в $16.1, это призма Сен-Венана, ограниченная шестью гранями. Зта призма в процессе деформации может расширяться с сохранением подобия; в этом случае следует говорить об изотропном упрочнении, а может переноситься параллельно без изменения размеров в случае трансляционного упрочнения. При выводе формул (16:1.2), когда было заранее оговорено, что точка нагружения остается все время на одной и той же грани призмы, разницу между изотропным и трансляционным упрочнением при активном нагружении обнаружить нельзя и элементарные рассуждения, положенные в основу при выводе этих формул, не были связаны с какими-либо предположениями о поведении поверхности нагружения.
Сейчас, вставая на ту илн иную точку зрения, мы можем получить более общие соотношения, пригодные для тех случаев, когда точна нагружения переходит с одной грани призмы на другую или остается на ребре, образованном пересечением двух граней. Сделаем, например, предположение о том, чтоупрочнение изотропно. Нам будет удобно видоизменить обозначения по сравнению с з 16.1, а именно, обозначить главные напряже- ф 88,8. кусОчнО линейные повеРхности нАГРужения 555 ния об, о„и об.
Предположим, что мы находимся на грани призмы, соответствующей условию об — о„= й. Тогда ) = о, — о„, — = 1, — ~ = — 1, — = О. Подставляя в (16.3.2), получим д( д1 доз ' да, ' доС е1 = НЦ) (оз — о„), ег = — Н()) (об — оч), еб~ = О. (16.81) Эти соотношения можно проинтегрировать, и мы получим е~ = й (об — оч), ег„ = — й (об — о„), е", = О. (16.8.2) Формулы (16.8.2) отличаются от (161.2) только тем, что в них не добавлена упругая деформация и незначительно изменены обозначения. Очевидно, что конечные соотношения (16.8.2) справедливы не только для пропорционального нагружения, но в гораздо более широких пределах изменения угла, под Ю' которым направлен вектор нагружения о.
В этом состоит серьезное преимущество теории пластического течения с кусочно линейной поверхностью нагружения. Предположим теперь, что мы вышли на другую грань призмы, например на ту, которая соответствует условию об — об = й. Тогда, интегрируя соотношения, совершенно аналогичные тем, которые были выписаны для первой грани, получим ебб= й (об — о~) + е~б, е'„' = е'„', ег~ = — й (оэ — ОС). (16.8.3) Здесь штрихами отмечены величины пластической деформации, накопленные на той части пути нагружения, которая соответствовала первой комбинации, а именно, )=о,— о„; они вычисляются по формулам (16,8.1). Особого рассмотрения требует тот случай, когда точка нагружения остается на ребре поверхности нагружения. Предположим, например, что о~ = о„Ф о„тогда одновременно выполняются два условия: об — об =~2й и а„— об =~2й, причем величина й увеличивается в процессе нагружения. На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
