Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Но в общем случае произвольного тела пропорциональное изменение внешних сил не обязательно влечет за собою пропорциональное нагружение, для этого необходимо выполнение некоторых условий, которые нам предстоит выяснить. Положим Т = Тббб, г' = г"бсб, здесь Тб и Рб — постоянные векторные поля, заданные соответственно на поверхности тела и в его объеме, сб — параметр нагружения, возрастающий монотонно. Мы удовлетворим дифференциальным уравнениям равновесия и граничным условиям, положив ап =- Об1а.
Объемная деформация связана с гидростатической компонентой тензора напряжений 5 16Л. ПРИМЕНИМОСТЬ ДЕФОРМАЦИОННОИ ТЕОРИИ законом Рука е = — оза+ е'а. 1 зк С другой стороны, из (16.1.4) следует е (.о) м=б~зн 1 ' О .( ') Поэтому еп = бпе'а + е11р = е116 + е' (а — р) 66. (16.4.1) В общем случае зти величины не будут удовлетворять уравнениям совместности. Действительно, если, например, величины е~1 удовлетворяют этим уравнениям, величины (16.4.1) не будут им удовлетворять, поскольку, во-первых, множитель р есть функция координат, во-вторых, добавляется второй член, пропорциональный разности а — 6.
Для того чтобы действительно осуществлялось простое нагружение, достаточными условиями будут следующие: во-первых, материал ' несжимаем, во-вторых, () не зависит от координат. Последнее условие будет выполнено, если 6,(т,) является степенной функцией от т,. Действительно, если уз=от„то 6,= — т, и б=а. При й=1 а=р и требование несжимаемости материала отпадает, но зто тривиальный случай линейно упругого материала. Таким образом, достаточные условия того, чтобы при пропорциональном изменении внешних сил осуществлялось пропорциональное нагружение, состоят в следующем (теорема Ильюшина): 1) зависимость между октаэдрическим напряжением и октаэдрическим сдвигом степенная; 2) материал несжимаем.
Первое условие весьма стеснительно, поскольку зависимость должна быть степенной с одним и тем же показателем степени во всем диапазоне изменения т, и у„а не кусочно степенная аппроксимация истинной зависимости, которая иногда применяется. Реальные материалы имеют линейно упругий участок диаграммы, поэтому для них первое условие заведомо не выполняется. Хотя прп непропорциональном нагруженпи деформационная теория дает результаты, отличные от предсказаний логически более оправданной теории течения, при нагруженни, близком к пропорциональному, она может удовлетворительно согласоваться с опытом.
Само понятие нагружения, близкого к пропорциональному', в достаточной мере неопределенно, если в качестве критерия точности деформационной теории прп пропорциональном нагружении мы приняли согласование ее с простейшей тео- 544 Гл !2 упРугоплхстическое упрочняющееся тело рией течения, то кажется естественным допустить применимость ее в тех случаях, когда не нарушаются некоторые общие принципы, полагаемые в основу теории течения любого вида.
Поэтому Будянскнй поставил задачу выяснения тех условий, при которых уравнения деформационной теории согласуются с постулатом Друкера. Как было показано в з 16.3, уравнения деформационной теории можно записать в виде Вычислим приращение пластической деформации при изменении величин ац /1ес/ = 2 ~6 — — ) с/ас/+ 2 ас/с/(6). (16.4.2) НО 1/С. = "~,!Тв, поэтому Вспоминая, что с/твЯув = Сс — касательный модуль, перепишем, (16.4.2) следующим образом: р 1 /1 1 с 1 /1 11 с/8 ссеР = — ( — — — ) с/ос.
+ — ( — — — ) о" —. 2(6 Св) с 2(6 6) сс в' (16.4.3) в С в Иос/с/ега ) О. (16.4,4) Подставляя сюда (16.4.3), получим р1 /1111 /11У /со "деР" = — ~ — — — ) /1ос./1а" + —, ~ —, — — ) йз ) О. 2 (6 сс) 21 12 2 сбс 6) в в При атом учтено, что ос/Ыоц = зссз. Здесь мы ввели обозначение е' =- Хгс —— 2/втв. 2 Если обратиться к геометрической интерпретации соотношений пластичности в девятимерном пространстве девиаторов напряжений, где напряженное состояние изображается вектором а, то величина г представляет собою длину этого вектора. Заметим, что независимых компонент девиатора всего пять, поэтому некоторые авторы изображают напряженное состояние вектора в пятимерном пространстве, поскольку гидростатическая компонента тензора на пластическое поведение не влияет.
Проверим теперь выполнение неравенства (16.2.3), вытекающего из постулата Друкера. Поскольку пластическая деформация не сопровождается изменением объема, на приращениях Лег/ производит работу только девиаторная часть тензора напряжений и неравенство принимает вид 3 !6.5. ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ УПРОЧНЯЮЩЕГОСЯ ТЕЛА 545 Для реальных материалов диаграмма деформирования всегда направлена выпуклостью кверху и не имеет точек перегиба, по- этомУ 16> С.~ Со ВслеДствие этих неРавенств выРажениЯ, заключенные в скобки, положительны, а поэтому условие (16.4.4) всегда выполняется. Другое следствие из постулата Друкера состоит в том, что вектор Оге либо нормален к поверхности натруженна, если она гладкая, либо находится внутри конуса, образованного нормалями к поверхности, если точка нагружения представляет собою угловую точку.
При формулировке деформационной теории было сделано предположение, что уравнения ее сохраняют силу тогда, когда т, возрастает; при убывании октаэдрического напряжения происходит разгрузка. Таким образом, поверхность нагружения в девиаторном пространстве представляет собою сферу г = сопе$. Это предположение, как оказывается, противоречит постулату Друкера. Действительно, обращаясь к выражению (16.4.3), мы замечаем, что второе слагаемое определяет составляющую вектора гге", нормальную к поверхности сферы. Но первое слагаемое зависпт от дифференциалов гаое, поэтому вектор де" меняет свое направление в зависимости от соотношения мея<ду этими дифференциалами или непосредственно от вектора с)п. Отсюда следует, что точка М, конец вектора О, является угловой точкой поверхности нагружения.
Если эта точка коническая и касательные к поверхности нагружения образуют конус с углом раствора 2р, уравнения деформационной теории справедливы до тех пор, пока вектор дег не выходит за пределы конуса, образованного нормалями к поверхности нагружения, угол раствора этого конуса равен и — 2р. Необходимы специальные дополнительные гипотезы для того, чтобы выяснить связь между приращениями напряжений и деформаций, если последние выходят за пределы двух указанных конусов. При этом, конечно, переход от активной деформации к разгрузке происходит непрерывно. 6 16.5. Двумерная модель упрочняющегося тела Мы не закончили изложения теории Будянского в 1 16.4. Для построения полной модели тела, подчиняющегося уравнениям деформационного типа для некоторых путей нагружения, отличных от пропорционального, необходимы дополнительные гипотезы. Один факт существен, и его следует еще раз подчеркнуть: соотношения деформационной теории могут быть справедливы для непропорциональных нагружений только тогда, когда последующие поверхности нагружения, ограничивающие область упругой разгрузки, имеют угловую точку, перемещающуюся ио пути нагружения вместе с концом вектора я.
Чтобы выяснить некоторые свойства упруго- пластических систем, которые, вероятно, принадлежат и упругопластическо'му телу, рассмотрим некоторую простую модель. В качестве такой модели выберем круглую тонкостенную трубу из упругопластического материала, не обладающего упрочвением. Труба изгибается моментами М, и Ма в перпендикулярных плоскостях х„з, и з„за. Обааначпм радиус трубы В, тол- 3 5 Ю Н.
Разогнав 546 Гп. ы. УпРУГОпрпастггческое УпРОчнЯющеесЯ телО щину степки б, модуль упругости Е, предел текучести о,. Будем называть пропорциональным такое иагруженио, когда Мр и Л)р изменяются пропорционально. В этом случае нейтральная ось сохраняет свое положение, и, очевидно, можно просто рассматривать изгиб трубы моментом М = -! и',ии„,р,„ч р . о нарушая общности, можно принять за эту плоскость эь э„тогда нейтраль- ной осью будет ось зр и ЛХ = Л)р.
Пока напря! жение нигде не превышает предела текучести, кривизна изогнутой оси хр = к зависвт от момента следующим образом: з с Пластические деформации возникают сначала э в точках, наиболее отдаленных от осп гп при увеличении момента образуются симметричные дуговые пластические области (дуга АВ на рис, 16.5.1 и симметричная с ней внизу). Полярный угол, определяющий границу пласРис. 16.5А тической зоны, мы обозначили через 8. Деформация в точках А и В, а также в симметричных с ними относительно оси хр, по абсолрогной величине равна с,)Е, следовательно, о клз(п0= '.
Е В упругой зоне в точке, определяемой полярным углом рр ( О, величина напряжения определяется следующим образом: з1п ру О=О, т зги 8' Вычислим теперь изгибающий момент по формуле я!э ЛХ = 4 ~ бсЕ~ з!яр) р)р). о При этом в пластической области, при р) ) 8 о = о„а в упругой области справедлива формула (16.5.1), В результате интегрирования получим э~ 28+ з1п 20 э1п 8 Введем теперь вместо моментов и изменений кривизн безразмерные величины ЕЕ Полученная связь между М и к может быть с новыми обозначениями представлена следующим образом: Д=яд в упругой области при о ( 1, р) = (20+ зш20)» в упругопластической области (16.5.2) прн э = 1/з!и 8 ) 1. Пластическая деформация появляется при Г) = я, исчерпание несущей $ 56.5. дВумеРнАя мОдель упРОчняющегося телА 547 способности наступает при С = О, = 4 (з последней из формул (16.5.2) мы не стали выражать правую часть через е для сокращения записи).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
