Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Свертывая обе стороны равенства (16Л.4) и вспоминая определения т, и 1, (см. з 7.7), мы 534 гл. $6. упРугоплАстическое упРОчняюшееся телО находим б. (у.) = — ". (16.1.5) 70 Соотношение (16Л.5) означает существование единой кривой т, — (, для всех видов напряженных и деформированных состояний, точнее для всех путей нагружения или деформирования. Таким образом, существование этой кривой должно быть принято за первичный опытный факт, выполнение или невыполнение его при эксперименте служит критерием правильности ллв неправильности теории в целом.
Величина пластического модутя сдвига С„определенная как функция октаэдрического сдввгз 1„ может рассматриваться и как функция октаэдрического касательного напряжения т,. Заметим, что принятая гипотеза, выразьенная уравнениями (16Л.4) и (16.1.5), не предполагает разделения деформации на упругую и пластическую. Действительно, закон рука для девиаторных составляющих тензоров напряжений и деформаций записывается так: Оэ = 2Рее. Здесь р — упругий модуль сдвига.
Диаграммазависимости т,— 1„ по предположению, одинаковая для всех путей деформирования, включает в себя упругую сдвиговую деформацию, тогда как упругая объемная деформация определяется уравнением (16Л.З). Вид функции т,((,) проще всего определить из опыта на чистый сдвиг, например, при кручении тонкостенной трубки кругового сечения. Действительно, при чистом сдвиге Здесь т и ( — касательное напряжение и сдвиг. Таким образом, диаграмма т, — у, получается из диаграммы чистого сдвига т — у путем простого изменения масштаба. Получить искомую зависимость из опыта на растяжение несколько сложнее.
Дело в том, что растяжение сопровождается изменением объема, поэтому для нахождения функции т,((,) нужно знать объемный модуль упругости К и производить пересчет, основываясь на уравнениях пластичности. Мы не будем здесь описывать эту процедуру, отсылая к специальной литературе. Основной опытный факт, наблюдаемый при одноосном нагружении — растяжении или сжатии, а также при кручении, заключается в следующем, Пока мы движемся по кривой деформирования от начала координат так, как показано на рис.
16Л.1 стрелкой, т. е. пока напряжение н деформация,вданном случае т и у, возрастают, связь между т и ( дается диаграммой пластического деформирования. Зависимость менсду напряже- З 16.1. ДЕФОРМАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ 535 Р Рис. 1633 6(о11 = 2р61611ч то ( то. (16.1.6) Уравнения (16.1.6) заменяют при разгрузке уравнения (161.4), тогда как уравнение (16.1.3), естественно, всегда сохраняет силу. В записи условия, при котором справедливо (16 1.6), содержится нечто большее, чем только закон разгрузки, при повторной нагрузке материал будет деформироваться упруго до тех пор, пока октаэдрическое напряжение не достигнет величины т„от которой производилась разгрузка. При дальнейшем нагружении зависимость т, — т, следует по продолжению первоначальной кривой и уравнения (16.1.4) снова вступают в силу, продолжая действовать так, как если бы разгрузки и повторной нагрузки не было.
Подчеркнем еще раз, что при реверснрованни нагрузки, т. е. при смене растяжения сжатием или после изменения направления крутящего момента мы можем снова выйти в пластическую область. Здесь этот вопрос пока не обсуждается. нием и деформацией однозначна в том смысле, что она не зависит от скорости деформирования или приложения нагрузки, но она нарушается при движении в обратном направлении, т. е. при изменении знака т или (. Опыт показывает, что при уменьшении напряжения материал возвращается в упругое состояние, зависимость мех1ду напряжением и деформацией при разгрузке изображается на диаграмме прямой, проходящей через ту точку кривой деформирования, от которой произведена разгрузка.
Закон упругости при разгрузке — это не точный физический закон, на самом деле диаграмма разгрунки не вполне прямолинейна, и сред- тг (г',~'! иий модуль, получаемый при замене ис- а ) тинной диаграммы разгрузки наиболее близкой к ней прямой, может незначительно отличаться от начального модуля 16, определяющего наклон первого участка диаграмиы натруженна.
Но теория пластичности всегда имеет дело с гипотетической идеальной средой, которая воспроизводит поведение реального тела лишь с некоторым приближением. Теперь для об- 5 щего случая естественно принять следую- у щее допущение. Если октаэдрическое напряжение илл соответственно октаэдрнческий сдвиг возрастает, то происходит пластическая деформация, описываемая уравнениями (16.1.4) . Если при некоторых аначениях т, = т6 и у6 = у6 происходит разгрузка, то изменения девнаторов ое и ее связаны законом упругости, который удобно записывать в,дифференциальной форме: 536 гл. 16.
упРугопластическое упРОчня!ощееся тело й 16.2. Теория течения, постулат Друкера Альтернативная точка зрения на процесс пластической деформации материала с упрочнением состоит в том, что пластическая деформация представляет собою именно пластическое течение материала, происходящее в общем так же, как пластическое течение идеально пластического материала, описанное в $15.9. Но теперь поверхность нагружения в изображающем пространстве напряжений не остается неизменной, она меняет свою форму по мере движения изобрая1ающей точки в пространстве напряжений, которое было Описано в 1 15.2.
Как и в теории идеальной пластичности, в основу теории пластичности с упрочнением можно положить тот или иной принцип или постулат. Такие постулаты вводились по-разному разными авторами, но все они приводят к одному и тому же следствию, а именно к допущению закона течения, ассоциированного с данной мгновенной поверхностью нагружения. Здесь мы рассмотрим наиболее известный из них, а именно постулат Друкера, который формулируется так же, как и в теории идеальной пластичности.
Итак, представим себе напряжение О11Л изображаемое в шестимерном (или девятпмерном) пространстве напряжений точкой Мв — концом вектора напряже- ния н*. Через точку М* проходит поверхность у нагружения О'*, т. е. поверхность, отделяющая область ужругих состояний или разгрузки от области пластических состояний. В теории идеальной пластичности путь нагружения, сопровождающегося пластической деформацией, мог проходить только по поверхности О~, зтот я" у путь сопровождался только упругой деформа- Р с тб 2 1 Цией, если пРохоДил внУтРи ооъема, огРани- ченного поверхностью О'*. Выход пути нагружения за пределы поверхности О'* предполагался невозможным.
Для упрочняющегося материала движение конца вектора О~ за пределы поверхности О'* возможно. Так, например, возможно состояние и, отвечающее точке М, через которую проходит новая поверхность нагружения О, как показано на рис. 16.2И. Предположим теперь, что мы вышли из точки М* и возвратились в нее по некоторому замкнутому пути т, который может частично выходить за пределы поверхности О'*, например проходить через точку М, не выходя за пределы поверхности О'.
Постулат Друкера формулируется совершенно так же, как н для идеальной пластичности. Если Π— вектор напряжения на пути т, то и— — и* — дополнительное напряжение, и работа его на замкнутом пути неотрицательна. В индексных обозначениях имеем (~ (а11 — О11) СЕ„) О. (16.2.1) 537 9 16,Е ТЕОРИЯ ТЕЧЕНИЯ, ПОСТУЛАТ ДРУКЕРА Рассмотрим именно тот замкнутый путь, который изображен на рис. 16.2 1. Точка М*, соответствующая напряжению пз, лежит внутри поверхности Я~ или в крайнем случае на этой поверхности, как показано на рисунке. Из точки ЛХ* можно прийти в любую точку М„леясащую на Яз, по любой кривой, соединяющей эти две точки и находящейся целиком внутри поверхности Яэ.
После этого мы сообщаем напряжению и' приращение 61а, вы- аа ходящее за пределы поверхности Яэ, и по- л падаем в бесконечно близкую точку М. Че- г рез нее проходит новая поверхность текучести Я; на пути ЛХ,М произошло приращение пластической деформации Ые~. Из точки М в точку М* можно вернутеся по пути, заключенному целиком внутри новой поверхности нагружения Я, т. е. без дополнительной пластической деформации. На участках МРМ, и ЛХМ* деформация упруга, на участке М,М малая деформация де состоит из упругой и пластической частей де = Ые + 62е". Работа дополнительного напряжения на упругой деформации, как было установлено в з 15.2, для замкнутого пути нагружения равна нулю, поэтому из (16.2 1) следует (ОП вЂ” а11) 616'; ) О.
Условие (16.2.2) означает, что вектор и — и*, где и* — радиус- вектор любой точки внутри поверхности Я*, образует тупой угол с направлением вектора 11е~. Если поверхность нагружения гладкая, то, повторяя рассуждения з 15.2, мы убеждаемся в том, что вектор 66е" направлен по нормали к поверхности натруженна. Сама поверхность располагается целиком по одну сторону касательной гиперповерхности и, следовательно, является выпуклой или по крайней мере невогнутой. Предположение о гладкости поверхности Я в точке М не обязательно, в некоторых вариантах теории пластического течения принимается, что точка М может быть угловой. Это значит, что касательные в точке М образуют конус с вершиной в этой точке '(рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
