Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 107
Текст из файла (страница 107)
16.2.2)'. Иэ неравенства (16.2.2) следует, что вектор ЫЕР должен лежать внутри конуса, образованного нормалями к поверхности Я в окрестности точки М. Ф Ф Допустим теперь, чтосы = О11, 'мы выходим из точки М1 в бесконечно близкую точку ЛХ; при этом происходит пластическая деформация 62ЕР; после этого возвращаемся в точку М по тому же пути, совершая упругую разгрузку. Из постулата Друкера 536 гл. !6. упРугоплАстическое упРОчняющееся телО следует сЬпоеэ; ) О. (16.2.3) Последнее неравенство характеризует известную устойчивость материала, которую легко проиллюстрировать на примере простого растяжения.
Если диаграмма зависимости с — е такова, что с увеличением деформации е напряжение О возрастает, то Ыаде) ~ О. Но если свойства материала характеризуются падающей Я диаграммой, как на рис. 16.2.3, то после точки А — максимума кривой — неравенство (16.2.3) нарушается. Такой материал неустойчив, он продолжает деформироваться при падающей нагрузке. Постулат Друкера, как неоднократно и настойчиво подчеркивал сам автор, отУ нЮдЬ НЕ ВЫтскает из закОнОв тЕРмодина- мики.
Сам Друкер употребляет для него Ркс. г6.2.3 термин «ввазитермодинамический». Поэтому на требование выполнения постулата Друкера следует смотреть как на определение класса устойчивых материалов. Подчеркнем, что в данном случае речь идет об устойчивости именно материала, а не образца, подвергнутого растяжению. В з 4.13 был рассмотрен пример неустойчивости растяжения образца из материала, подчиняющегося степенному закону упрочнепия, т. е. устойчивого по Друкеру; неустойчивость процесса деформирования была связана с изменением площади поперечного сечения.
Существуют материалы, деформирование которых сопровождается появлением внутренних дефектов, что эквивалентно уменьшению площади эффективного, т. е. несущего фактически нагрузку, сечения. При макроскопическом описании поведения таких материалов постулат Друкера не выполняется.
Заметим, что результаты этого параграфа совершенно недостаточны для того, чтобы фактически построить теорию пластического течения. Они лишь устанавливают некоторые разумные рамки, ограничивающие определенным образом выбор системы допущений, отличающих тот или иной вариант теории пластического течения. $ 16.3. Теория течения, общие уравнения Запишем уравнение поверхности О~, проходящей через точку * о„, следующим образом: 1(сз) — к' = О. (16.3.1) В общем случае функция ((ав) и величина к' могут зависеть от деформации и от путей нагружения и деформирования любым, э бб.з.
теоРия течения, ОБщие уРАВыения 539 сколь угодно сложным образом. Величины ов удовлетворяют уравнению (16.3.1); при движении по пути нагружения поверхность деформируется и уравнение (16.3.1) меняет свой вид, но таким образом, что конец вектора напряжения всегда лежит на поверхности Я. Будем называть нагружение активным, если приращение вектора а направлено в наружную сторону поверхности 8 и, следовательно, сопровождается пластической деформацией. Если вектор Ыа направлен внутрь объема, ограниченного поверхностью О, и, следовательно, происходит лишь упругая деформация, будем называть нагружение пассивным или разгрузкой.
Наконец промежуточный случай, когда Ыа лежит на поверхности нагружения, мы будем называть нейтральным нагружением. Сделаем два следующих предлоложепия. 1. ЕЕейтральное нагружение не сопровождается пластической деформацией. Это условие выражает требование непрерывности при переходе от пассивного нагружения к активному. Заметим, что в теории идеальной пластичности дело обстоит совершенно иначе, там величина пластической деформации или скорости деформации неопределенна и становится отличной от нуля при достижении вектором и поверхности текучести.
В деформационной теории, как она была сформулирована выше, непрерывности при переходе от пассивного нагружения к активному нет; при активном нагружении, бесконечно мало отличающемся от нейтрального, происходит пластическая деформация, при бесконечно близком пассивном пути нагружения деформация упруга. Это обстоятельство служит серьезным доводом, препятствующим расширенному использованию деформационной теории.
2, Приращения пластической деформации представляют собою линейные функции от приращений напряжения. Заметим, что хотя мы назвали излагаемую теорию теорией пластического течения, на самом деле до сих пор речь шла не о скоростях течения, а о бесконечно малых приращениях компонент тензора пластической деформации.
Но если мы примем, что напряженное состояние меняется в зависимости от какого-либо монотонно возрастающего параметра, мы можем назвать этот параметр временем и ввести в рассмотрение скорости деформации, как это делалось в теории идеальной пластичности. Нужно только помнить, что физическое время не играет в теории пластичности никакой роли, существенна последовательность событий, но не действительная скорость, с которой они происходят. Поэтому можно, как и в теории идеальной пластичности, записать закон пластического течения следующим образом: д1 е, =Š—.
доя Но теперь Х уже не произвольная величина, а совершенно определенная функция. Чтобы уточнить структуру этого множителя, 546 Гл. 1о. упРугопластическое упРОчняющееся телО мы воспользуемся двумя введенными выше гипотезами. Разложим приращение вектора о на две составляющие: оо', направленную по касательной к поверхности нагружения, и сгп, направленную по нормали. Согласно второму предположению вклады в величину 1ге от этих двух составляющих суммируются, но величина г1О соответствует нейтральному нагружению и, согласно первой гипотезе, вклада в приращение пластической деформации не вносит.
Следовательно, приращение пластической деформации должно быть пропорционально нормальной составляющей вектора й», а1 которая в свою очередь пропорциональна величине — ггоо1. Подом этому множитель Л должен быть тоже пропорционален этой величине. В результате получаем ео; = 1Х вЂ” — гЬо1. (16.3.2) ао„, а11„ Величина Н в формуле (16.3.2) может быть функцией напряжений и деформаций или функционалом от пути нагруягения.
Во всяком случае, общая форма записи уравнений (16.3.2) оставляет очень большой простор для выбора частных предположений. Один вариант теории пластического течения с упрочнением мы уже разобрали в з 16.1. Предполагая, что поверхность течения есть призма Треска — Сек-Венана, и считая, что мы находимся все время на одной и той же грани этой призмы, мы проинтегрировали по существу уравнении (16.3.2) и пришли к некоторому варианту деформационной теории. Другой вариант был предложен Прагером, он основан на предположении, что как функция 1, так и функция Н зависят лишь от второго инварианта девиатора тензора напряжений, например 1 о У = Хп = 2п — — 21 3 Теперь — = 2(΄— Обм) = 2ОО, д1 ап Выражение — Оы представляет собою производную по времени д1 да„, от 1, т.
е. от Х„, или, если перейти к октаэдрическому касатель- ному напряжению, 1 = г.гг = бт,т,. Поэтому уравнения (16.3.2) примут вид е",; = ОП!г (то) то. (16.3.3) В качестве параметра нагружения или времени в том смысле, в 6 06.3. теОРия течения, ОБщие уРАВнения 541 р е,", = оп — ) тай (т0) 66т0. 0 Оказывается, что при пропорциональном нагружении уравнения теории течения типа Пратера и уравнения деформационной теории совпадают. Вычитая из компонент девиатора тензора деформации, определяемых формулами (16.1.4), упругие компоненты, находим Таким образом, $ 1 ~1 1') т 0 0 0=2~6 р' — тй(т))т = ~ — '1.
00 Величина 6, определяется как функция от (0 или т, по диаграмме т, — (0 с помощью формулы (16 1.5). Для того чтобы найти функцию й(т,), продифференцируем полученное соотношение по те переписав его предварительно в виде В результате получим Ь() 1Р 1) (16.3.4) Величины 6, и 6, называются соответственно секущим и касательным модулями. Величина б„согласно формуле (16.1.5), представляет собою угловой коэффициент луча, выходящего из начала координат в точку (т„"(,), тогда как С, = 6(т0Я'(, есть угловой коэффициент касательной к кривой в этой точке. Таким образом, функция Ь(т0) легко находится, если известна диаграмма пластичности, полученная при каном-либо одноосном деформировании образца из данного материала.
каком это было разъяснено выше, можно принять величину т„ при активном нагружении эта величина монотонно возрастает. Можно указать случай, когда уравнения (16.3.3) можно проинтегрировать, это случай так называемого пропорционального нагружения, когда все компоненты девиатора тензора напряжений изменяются в одном и том же отношении. Величина т, есть однородная функция первой степени от оо, поэтому при пропорциональном нагружении о;;/т0 = сопз$. В таком случае, интегрируя (16.3.3), получаем 542 Гл. 1б. уг1Ругопльстическое упРОчняющееся тело Теперь, добавляя упругую деформацию, мы можем записать полные уравнения рассматриваемого варианта теории течения следующим образом: — 1 ' оп/1 е1 = — О" + — об" + — *' ( — — — ) т . 2в 11 ЗК 11 2т (Ь' в) (16.3.5) б С 4 16.4.
Границы применимости деформационной теории пластичности Опытные данные, относящиеся к условиям пропорционального нагружения, довольно хорошо подтверждают существование единой для всех видов напряженных состояний кривой зависимости октаэдрического напряжения от октаэдрического сдвига, а также устанавливаемую формулами (16.1.4) пропорциональность между девиатором напряжений и девиатором деформаций. Так обстоит дело, во всяком случае, для углеродистой и низколегированной стали, для титановых сплавов. Однако для некоторых сплавов, например алюминиевых и магниевых, а также высоко- прочных сталей, уже диаграмма растяжения не совпадает с диаграммой сжатия, а в плоскости т,— (, опытные точки, соответствующие разным напряженным состояниям, не ложатся на одну кривую.
Положение можно исправить, допустив, что пластический потенциал О' зависит не только от второго инварианта дезиатора, но, возможно, от третьего инварианта и от гидростатической составляющей тензора. Заметим, что уже уравнения (16.1.2) фактически вводят зависимость от третьего инварианта, поверхность нагружения в виде шестигранной призмы задается уравнением вида (15.1.5). Термин «пропорциональное» нагружение был определен в 3 16.3, он относится к соотношениям между компонентами девиа- тора тензора напряжений. При простых опытах, которые производятся главным образом над тонкостенными трубками под действием растяжения, внутреннего давления и кручения, пропорциональность нагружения обеспечивается пропорциональным изменением внешних сил, приложенных к образцу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
