Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 101
Текст из файла (страница 101)
НРостые Решения. 3АдАчА ЛРАндтля 509 нике АВС. Вообще говоря, зто решение может быть продолжено: к характеристике АС или ВС может примыкать новая пластическая область. Именно таким образом строятся перечисленные в з 15.4 задачи жесткопластического апализа, примеры которых будут приведены ниже. Как правило, пластические зоны граничат с зонами, которые остаются жесткими.
Это последнее обстоятельство указывает на то, что задачи теории идеальной пластичности не оказываются статически определенными, как зто может показаться на первый взгляд и как считалось в ранние периоды развития теории пластичности. Наличие жестких зон означает кинематическое стеснение пластического течения: на границе жесткой воны нормальная составляющая скорости должна обращаться в нуль. Позтому, после того как построено статическое решение по методу, изложенному выше, необходимо проверить, возможно ли для данного поля характеристик построить кинематически возможное поле скоростей.
В случаях, изображенных на рис. 15.4.3 или 15.4.4 (в последнем случае стенки фильеры играют роль границ жестких областей), может оказаться, что линия разрыва скрости упирается в границу жесткой зоны,— такое решение недопустимо. Но даже если кинематически воаможное поле скоростей удается построить, может оказаться, что скорость диссипации знергии Р в некоторой области окажется отрицательной, что также невозможно. Наконец, устанавливая границы жестких и пластических зон, мы всегда располагаем определенной свободой выбора.
Может оказаться, что та часть материала, которую мы предполагали жесткой, на самом деле перейдет в состояние текучести. Теперь мы можем сформулировать требования, которые должны предьявляться к истинному или так называемому полному решению плоской задачи теории пластичности, а именно: 1) возможность построения кинематически допустимого поля скоростей; 2) неотрицательность диссипации; 3) непревышение условия пластичности в жестких областях. Для проверки выполнимости последнего требования обычно бывает достаточно удовлетвориться проверкой воаможности продолжения пластических полей в жесткие области. Полученное поле напряжений будет статически допустимым, позтому верхняя и нижняя оценки предельной нагрузки совпадают, давая точное решение.
3 15АО. Простые решения. Задача Прандтля В предыдущем параграфе существенным образом предполагалось, что часть границы тела отображается на плоскость $, 1) как некоторая линия, не параллельная оси $ или оси т), т. е. не являющаяся характеристикой. Так бывает не всегда. Пред- ГЛ. 15.
ИДНАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ 510 положим, что на участок прямолинейной границы действуют равномерно распределенные нормальные усилия с и касательные усилия т (рис. 15Л0.1). Нормаль и к границе образует угол а с осью х,. По формулам (15.9.7), вычисляя нормальное и касательное напряжения на площадке с нормалью л, получим с. = р — йэ1п2(ф — а), т = йсоз 2(ф — а).
(15ЛОЛ) Отсюда находятся постоянные значения ф и р, а следовательно, Рис. 15.10.1 Рис. 15Л0.2 $, и т),. Отрезок АВ границы изображается в плоскости $, т) одной только точкой ($,, т),). Угол наклона характеристик ф постоянен, поэтому пластическое поле представляет собою треугольник; внутри этого треугольника величина р постоянна, она сохраняет то же значение, что и на границе. Другое простое решение мы получим тогда, когда пластической области соответствует отрезок характеристической линии в плоскости характеристик, на- (5'Р2 пример линии $ = сопит, как по- А казано на рис. 15.10.2. Каждая г .й точна атой линии имеет координа- Х ты $, и т).
Пусть в точке т т) = т), значит, ей соответствует в плоскости х„ х, т)-характеристика, вдоль которой 1р = — (55 + т)5), — = Рис. 15.10.3 1 = — (ьэ — т)5). Итак, $-характеристики представляют собою прямые, в каждой точке которых напряженное состояние одинаково, т. е. все три компоненты тензора напряжений сохраняют постоянные значения. Совершенно аналогичным образом отрезку линии т) = сопз1 в плоскости х„х, соответствуют прямолинейные $-характеристики. По-видимому, первое решение задачи теории идеальной пластичности принадлежит Прандтлю. В прямолинейную границу вдавливается прямолинейный штамп беа трения, так что под штампом возникает распределенное давление д (рис.
15ЛО.З). 0 00ЛО. ПРОСТЫЕ РЕШЕНИЯ. ЗАДАЧА ПРАНДТЛЯ 511 Как мы выяснили, треугольная область под штампом соответствует точке в плоскости характеристик, в этой области возникает постоянное напряженное состояние такое, что о„ = †. Характеристики подходят к поверхности под углом я/4, назовем $-характеристикой линию, проведенную из некоторой точки под углом — я/4. Подставляя в (15.9 7), находим о„= — д=р — 10; отсюда р=й — д в области, отмеченной римской цифрой 1. Пристроим к треугольнику справа центрированный пучок линий ть который соединит область 1 с треугольной областью 111. Характеристика семейства э выходит из области 1 под углом — я/4, превращается в дугу окружности, ортогональной к прямолинейным характеристикам семейства ц и продолжается в области 111 как отрезок прямой, пересекающей границу под углом +я/4.
В области 111 Е„=О, и, следовательно, (15.9.7) дает О =р+й; отсюда р= — й. Но вдоль з-характеристик величина ц, определяемая формулой (15.9.2), остается постоянной. Поэтому й — 0 Я й Я вЂ” + — = — — — —. 2й 4 2й 4 ' Отсюда д =(2+я)й. (15.10.2) Прандтль строил изображенную на рис. 15ЛО.З симметричную картину.
При этом поле скоростей получается следующим образом. Центральный треугольник движется вниз как жесткое целое. На линии АВ тангенциальная составляющая скорости претерпевает разрыв, но нормальная к АВ составляющая, равная У/12, сохраняется неизменной вдоль каждой из дуг окружностей, представляющих собою $-характеристики в области 11. В результате весь треугольник АСР движется как жесткое целое в направлении, указанном стрелкой, скользя по границе жесткой зоны СР.
Полученное решение полно, найдено кинематически допустимое поле скоростей, диссипация, очевидно, не отрицательна, возможно продолжение решения в жесткие зоны как угодно далеко. Предельная нагрузка, при которой наступает течение материала, определяется формулой (15ЛОЛ). Но конфигурация пластических зон и кинематика течения единственным образом не определяются. Альтернативная схема, предложенная Хиллом, гл.
1з. идвальнья пластичность 512 представлена на рис. 15А0.4. Два жестких треугольника скользят направо и налево под углом и/4, вытесняя материал в секторнальных областях и крайних треугольниках. Теперь поле скоростей во всей пластической области ЕВСРА непрерывно, скольжение происходит по границе жесткой зоны. Очевидно, что предельное значение нагрузки д вычисляется точно так же по формуле (15.10.2) . Заметим, что, отправляясь от решения Прандтля, мы можем продолжать пластическое поле вниз, как Рлс.
15.10.5 показано на рис. 15.10.5. На том же рисунке представлена картина в плоскости характеристик. Точка Ь соответствует точке В в физической плоскости и всему жесткому треугольнику, отрезки бс и Ы соответствуют дугам ВС и ВО.
Построение характеристик в физической плоскости производится путем интегрирования уравнений (15.9.5) с помощью разностной схемы, которая ничем не отличается от описанной выше схемы решения задачи Коши. Расширяя веер пучков прямолинейных характеристик, 1 т.
е. продолжая симметричным л 11 образом дуги ВС иВР, мы будем продвигать все дальше и дальше точку О,где встречаются крайние характеристики. Реальный смысл атой задачи соРяс. 15.10.6 стоит в схеме перерезывания полосы толщиной 2й. Нужно представить себе, что к полосе симметричным образом с двух сторон приложены нагрузки, равномерно распределенные на длине 1 каждая, когда пластические поля от этих нагрузок встречаются в точке О, пластическая область пронизывает всю толщину полосы насквозь, и происходит ее перерезывание.
Заметим, что дифференциальное уравнение (15.9.5) может быть проинтегрировано по методу Римана; функцией Римана для него служит некоторое выражение, содержащее функцию Бесселя; мы здесь не приводим этого выражения. Хилл рассчитал таблицы координат точек, по ко- 513 З !Ь!!. ЛИНИИ РАЗРЫВА торым может быть построено поле характеристик, продолжающее поле, ограниченное двумя характеристиками в форме дуг окружности. Заметим, что решение задачи Прандтля допускает немедленное и совершенно очевидное обобщение.
Рассмотрим тупой угол, загруженный равномерно распределенной нагрузкой на одной из сторон, как показано на рис. 15Л0.6. Выполняя построение так же, как в задаче Прандтля, мы строим два треугольника т и 1П и соединяющий их сектор П. В результате точно таких же вычислений мы находим д = (2+ и — 26) й. й 15.11. Линии разрыва Формула (15.10.3) и соответствующая конфигурация пластической области относятся только к случаю тупоугольного клина.
Если угол б >л/2 и клин остроуголен, области 1 и 1П налагаются друг на друга. В этом случае строится решение с линией разрыва напряжений, как показано на рис. 15.11Л. Характеристики в областях АОС и ВОС прямолинейны, они отходят от сторон угла, составляя с ним углы Ал/4 (на рисунке пока- и заны только характеристики одного семейства). Иа линии ОС должны быть непрерывны нормальное к этой линии напряжение о и касательное т„, тогда как напряжение о„показанное на том же рисунке справа, может претерпевать разрыв. Составим поэтому те общие условия, которые должны выполняться на линии разрыва напряжений.
Будем обозначать Рис. 15.11.1 индексами плюс и минус величины, относящиеся к разным сторонам линии разрыва. Условия непрерывности о„и т„по формулам (15.10Л) могут быть записаны следующим образом: р+ — йз(п 2(ср+ — а) = р- — йзтп 2(!р — а), соз(!р+-а)=сов(<р -а). Из второго уравнения следует ср+ — а = — (ср — а) ~ пп, так как, удерятав в этом равенстве знак плюс перед скобкой в правой части, мы получили бы !рт=!р и, следовательно, не- 33 Ю, Н, Расотнов гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
