Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 114

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 114)

Совершенно аналогично, заменяя один из столбцов определителя столбцом правых частей уравнений, приравняем получившийся определитель нулю. Подставляя в результат соотношения между Нх и й для первого и второго характеристического уравнения, получим соотношения между д и де, выполняющиеся вдоль характеристик.

Опуская выкладки, приведем окончательный результат. Характеристики первого направления дх — а(е) Ю = О, дв+ а(е) де= О. (16.И.6) Характеристики второго направления дх+ а(е) д1 = О, аи — а(е) йе = О. (16.И.7) Заметим, что соотношения на характеристиках интегрируются. Положим 566 Гл. 16. упРугоплАстическое упРОчняющееся телО мейства с верхним знаком,на характеристиках второго семейства с нижним. Простейшая задача, решаемая с помощью найденных интегралов, состоит в следующем. Концу полубесконечного стержня в момент ~=0 сообщается скорость и= р'(~), при ~ ( 0 весь стержень находится в покое. Будем рассматривать картину в плоскости х, 8, как показано на рис. 16.11.2.

В точке р скол рость и„= у'(~„)- И известна. Проведем через р характеристику второго семейства с отрицательным наклоном, она пересечет ось х в точке д. На линии рд у — 1р = сопз1, но в точке д У=О и е=О, следовательно, 1р = О. Поэтому л э 'г'Р— 1рг = О, 1р(е,) = р'Р. Рас. Т6.И.2 Проведем теперь характеристику положительного направления из точки р в некоторую точку и. На этой характеристике у+1р=сопэ1, следовательно, гр( 17 Р у, + 1р (е„) = 2 Р;. Соединим точку и с точкой ш оси х характеристикой второго семейства.

Ие условия и„— 1р = 0 найдем и„ вЂ” 1р(е„) = О. Поэтому и„=1р(е„)= )г . (16.11.9) Оказывается, что во всех точках характеристики, выходящей из точки р оси г, скорость и и деформация е сохраняют постоянные значения. Но наклон характеристики определяется величиной а(е), которая сохраняет на характеристике постоянное значение, следовательно, характеристики прямолинейны. Если у'(~) — неубывающая функция времени, характеристики образуют расходящийся пучок, как показано на рис.

16.11.3. Этот рисунок относится к тому случаю, когда скорость растет постепенно от нуля и, следовательно, выходящая из начала координат характеристика соответствует минимальной скорости распространения волны а(0), которая определяется наклоном касательной к диаграмме деформирования в начале координат. Если внезапно концу сообщается отличная от нуля скорость, картина оказывается несколько иной. Для того чтобы выяснить ее, предположим, что скорость нарастает от нуля до величины Р' в течение короткого времени т, а после остается постоянной. Из точек отрезна (О, т) оси 6 выходят прямолинейные характеристики, нижняя из них соответствует скорости а(0), верхняя — скорости а(е), где е — деформация, соответствующая скорости у' согласно 6 16лх ЗАПАЗдывАние текучести 569 уравнению (16Л1.9). Из точек оси 1<и(т, с ) будут выходить параллельные характеристики с той же скоростью а(е).

Перейдем теперь к пределу, устремляя т к нулю. В результате мы получим центрированный пучок (рис. 16.11.4) а — а(е)1=0. Наклон каждой характеристики этого пучка определяет а(е), а следовательно, деформацию е и скорость г' по уравнению (16Л1.9). Штриховая прямая тп соответствует фиксированному сечению стержня, в котором можно прикрепить датчик и осциллографировать деформацию.

На участке пр е = О, в точке р еще п = О, но на участке рт деформация, а следовательно, и скорость монотонно возрастают, достигая конечного значения в точке т и сохраняя это значение на участке дт. Волны, соответствующие центрнрованному пучку характеристик, называются волнами Римана. Рис. 16.11.4 Рвс. 16.11.3 Располагая осциллограммами деформации, полученными для нескольких датчиков, наклеенных на образце, можно найти динамическую диаграмму деформирования. Для этого нужно отметить в плоскости л, 1 точки, соответствующие одним и тем же значениям е. По доказанному эти точки лежат на одной и той же характеристике.

Проведя прямую и измеряя ее наклон, мы находим скорость а(е) и о = 1р(е). й 16Л2. Упругопластические волны. Запаздывание текучести Диаграмма деформирования па рис. 16.11.1 не имела упругого участка. Выясним, как будет обстоять дело в том случае, когда существует отличный от нуля предел пропорциональности. В этом случае а(О)= с, — скорость продольной упругой волны. Для наглядного выяснения существа дела рассмотрим случай упруго- пластического тела с линейным упрочнением, соответствующая диаграмма иаображена на рис. 16.12Л.

Предположим, что ско- 576 Гл. 16. упРугоплАстическОе упРОчняюп1ББся телО рость у' монотонно возрастает до некоторой величины Ро после чего остается постоянной. Пока было Р(с,е„по стержню шли упругие волны со скоростью с„характеристики х — С,1 = сопзс были параллельны. Как только становится $') с.е„вступают в силу уравнения пластической динамики. Но при линейном упрочненни скорость пластических волн а, определяется наклоном пластического участка диаграммы деформирования и остается постоянной.

Характеристики сразу поворачиваются вверх и Рзс. 16.12.2 Ряс. 16Л2Л идут параллельно с наклоном а,. Точка т на рис. 16.12.2 соответствует точке предела текучести М на рис. 16.12.1. Возникает вопрос: что же делается внутри пучка, образованного лучами тр и тд? Каждый из этих лучей представляет собою крайнюю характеристику упругой и пластической области соответственно, на линии глд сохраняется значение деформации е, и скорость Р = с,е,.

В точке т ет поэтому и скорость, и деформация на луче тр будут теми же, что на луче тд. Отсюда с неизбежностью следует, что угол астр представляет собою область постоянных значений е = е„ 1'=с,е,. На эту область можно смотреть как на своеобразное вырождение пучка волн Римана, проводя лучи внутри этого пучка, мы не можем рассматривать их как волны, потому что в точке М не существует касательной, производная ср'(е,), а следовательно, а(е,) не определены. Характерная особенность малоуглеродистых сталей — это так называемое аапаздывание текучести.

Как оказывается при кратковременном действии нагрузки, вызывающей напряжения, зна- Я 16.12. ЗАПАЗДЫВАНИЕ ТЕКУЧЕСТИ 571 чительно превышающие статический предел текучести, материал может оставаться некоторое непродолжительное время в упругом состоянии. Под статическим пределом текучести здесь мы понимаем условную величину, измеряемую в обычных опытах на стандартном оборудовании. Непродолжительное время нужно понимать в том смысле, что эффект запаздывания заметен при временах порядка микро- и миллисекунд, т. е.

главным образом в волновых процессах. Объяснение механизма этого явления, относящееся к области физики металлов, дается различно раз,ными авторами. Точка зрения Котрелла, которая до недавнего времени была почти общепризнанной, состоит в том, что в углеродистой стали дислокации блокируются растворенными атомами углерода.

Под действием напряжения и при наличии тепловых флуктуаций дислокация постепенно высвобождается нз облака растворенных атомов, а освободившись, сразу продвигается на большое расстояние, что означает большую пластическую деформацию. Сравнительно недавно была выдвинута альтернативная точка зрения, объясняющая пластическую деформацию после задержки размножением дислокаций.

Оставляя в стороне дислокацнонный язык, заметим, что для материала постулируется определяющее уравнение того же типа, что уравнение, которое примеяяется для описания ползучести металлов прн высоких температурах (см. з 18.4 уравнение (18.4Л)). Соответствующим выбором входящей в это уравнение функции можно добиться удовлетворительного качественного объяснения наблюдаемых явлений, связанных с запаздыванием текучести.

Не вставая на какую-либо из этих точек зрения, мы примем в качестве основного условия наступления текучести следующее условие Котрелла — Екобори: ~ 1р (о) г(2 = 1. о (16Л2.1) пенную функцию 1Р(о) = — ~ — ) . (16.12.2) В этой формуле, конечно, фигурируют две независимые постоянные, а не три, но нам удобно зафиксировать, например, характерное время тэ и определять из опыта напряжение пэ и показатель степени и. Заметим, что показатель л довольно велик, он достигает значений от 10 до 20. Здесь т — время запаадывания текучести при заданной программе нагружения о(1). Пока величина интеграла в соотношении (16Л2.1) меньше единицы, материал остается упругим, при достижении равенства (16.12.1) он переходит в пластическое состояние. Вопрос о том, как происходит этот переход, будет затронут ниже.

В качестве функции 1р обычно применяют сте- 9 !6.1Х ЗАПАЗДЫВАНИЕ ТЕКУЧЕСТИ 573 которое тем выше, чем больше скорость. При выполнении условия (16Л2.1) он мгновенно переходит в пластическое состояние, соответствующее некоторой точке 111 на диаграмме деформирования (рис. 16.12.4). Учитывая сказанное в $16.11, мы принимаем аа эту диаграмму мгновенную или динамическую диаграмму.

Положение точки 1т и путь перехода определяются целиком условиями эксперимента. Рис. 16.12.5 Рис. 16Л2,4 Теперь мы можем выяснить особенности распространения упругопластических волн в стержнях, материал которых обладает свойством запаадывания текучести. Приложим к концу полубесконечного стержня напряжение о(1) или сообщим ему скорость У(1), что одно и то же. В течение времени т, определяемого из уравнения (16Л2.1), от конца стержня будут распространяться только упругие волны, переносящие заданное на конце изменение напряжения вдоль стержня.

Характеристики

Список файлов книги