Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 117
Текст из файла (страница 117)
Если степенной ряд имеет отличный от нуля радиус сходимости, то операторный ряд, получающийся из него заменой переменной оператором с ограниченным ядром К*, сходится всюду. Операторный ряд мы будем называть сходящимся, если ряд для его ядра сходится абсолютно. Мы не будем здесь приводить доказательство этой теоремы, которое можно найти, например, в книге Работнова (11]. Заметим, что условие ограниченности ядра можно заменить условием ограниченности его итераций, начиная с некоторого номера. Поэтому теорема справедлива для слабо сингулярных ядер типа дробно-экспоненциальных.
Будем называть ограниченными такие операторы, которые удовлетворяют условию (17.4.2) (К* ° 1) ~ — — К Ф со. Таким образом, у ограниченного оператора ограничено не только ядро, но и интеграл от ядра. Предельное соотношение (17.3.8) указывает на то, что Э-операторы при отрицательных р ограничены, но оператор Абеля, соответствующий случаю, когда р =О, не ограничен. Приведем опять-таки без доказательств со ссылкой на книгу Работнова [11] следующие теоремы, относящиеся к предельным значениям комбинаций из операторов. 1. Если операторы Ь* и М* ограничены и Лв= ЬвМе, то (17.4,3)' 2. Если функция д(1)ж С такова, что при любом выборе полозсительной величины 4) существуют такое число у„и такое значение 1 = 1в, что длл 1 ) Св 1у(1) — у-! (Ч, то (К*у) =К у .
(17.4.4) 3. Произведение оператора К* в степени и на единицу стремится при 1 — сс к величине произведения К* на единицу 586 ГЛ. 77. НАСЛЕЛСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ в степени и (Кв". 1) (17.4.5) Умножая оператор, определенный рядом (17.4.1), на функцию у(1)жб, получим как результат применения предыдущих теорем следующую. 4. Произведение аналитической функции ~(Кв) от ограниченного оператора Вольтерра на функцию ужС стремится при неограниченном возрастании 1 к величине функции 7 от произведения К„д„ (7(К*)'у) =7(К у ). (17.4.6) Очевидно, что этот ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд для функции 1(х). В частности, иа формулы (17.4.6) следует, что из интегрального уравнения (17.1.5) при условии, что и7и О, вытекает такая величина предельного значения переменной э: и, 1+ ХК (17.4.7) Формула (17.4.7) составляет содержание известной теоремы Па- ли — Винера, она становится неприменимой при !ХК ! =1.
э 17.5. Линейное наследственно-упругое тело. Реологические модели е = — (1+ К*) О. 1 (17.5 1) Разрешая относительно напряжения, получим а = Е (1 — Г*) е. (17.5.2) Здесь Г* — резольвента ядра Кв или, наоборот, К* — резольвента ядра Г*. Будем называть ядро Кв ядром ползучести, а Г* — ядром релаксации.
Соответственно рассмотрим две возможные экспериментальные схемы. а. Опыт на полвучесть. К телу прикладывается нагрузка, соответствующая напряжению О. При мгновенном приложении нагрузки возникает мгновенная деформация е, =о/Е. Далее тело деформируется во времени по аакону е = е, (1+ К* 1) . Соответствующий график представлен на рис.
17.5.1. Если оператор К* ограничен, то величина деформации не превосходит Прн одноосном напряженном состоянии, например при простом растяжении, основное определяющее соотношение наследственной теории упругости мы будем записывать следующим образом: Е Ы.5. ГЕОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ некоторого верхнего предела е =О/Е . Здесь ń— длительный модуль упругости Е Е„ Обычный модуль Е следует нааывать теперь мгновенным модулем. Оператор ползучести не обязательно должен быть ограниченным.
Ползучесть многих материалов описывается ядром Абеля К=АХ,. При этом величина деформации сверху ничем не ограничена, но скорость деформации все время убывает. Существуют эксперименты по ползучести пластиков, продолжавшиеся 100 000 часов (около 12 лет).
Зависимость е(1) на всем протяжении испытания была степенной без какой-либо тенденции Ркс. 17.5Л к выходу на горизонтальную асимптоту. Если в момент времени 1= Т произведена разгрузка, то немедленно возвращается мгновенная упругая деформация е„ накопленная же деформация ползучести убывает постепенно.
Для любого момента ~) Т уравнение (17.5 1) дает е = — ) К (1 — т) Ыт. а Если ядро удовлетворяет условию затухающей памяти, то при 1 в » с - О, значит происходит полный возврат. б. Опыт ка релаксацию. Растянем быстро образец напряжением О, и зафиксируем его деформацию с= о,/Е. При постоянной деформации с О=о,(1 — Г* 1). Иэ теоремы 4 предыдущего параграфа следует, что Ее Е =,,„=Е(1 — Г ). (17.5.З) л 00 77 5 Процесс релаксации состоит в том, что напряжение, которое было равно в начальный момент Ее, постепенно убывает до величины Е е. Если ядро ползучести неограниченно, то, как следует из (17.5.3), Е =0 и напряжение в процессе релаксации стремится к нулю.
Примерная кривая релаксации представлена на рис. 17.5.2. Заметим, что технически осуществить совершенно чистый опыт на релаксацию невозможно. Для полимерных мате 588 РЛ. 77. НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУРОСТИ риалов обычно последовательно с образцом включается достаточно жесткий силоизмеритель.
При релаксации напряжения в образце меняется деформация силоизмерителя, по ней судят о величине напряжения. Но вследствие деформации силоизмерителя и деформация образца не остается постоянной, таким образом, в этой схеме можно приближаться к условиям чистой релаксации, но нельзя выполнить эти условия вполне точно. Другая система испытаний состоит в том, что установленный на образце тензометр управляет механизмом, изменяющим нагрузку. Поскольку всякий тензометр имеет определенный порог чувствительности, испытание на релаксацию по существу заменяется испытанием на ступенчатую ползучесть, в конце каждой ступени деформация образца восстанавливается до первоначального значения. Можно уменыпить величину этих ступеней, но нельзя их совершенно уничтожить. Соотношения (17.51) и (17.5.2) часто записывают в несколько иной форме.
Определим оператор ползучести л"о = — (1 + Коу~) (17.5.4) и оператор релаксации = К(7о Г уа) Здесь 1о' — оператор обычного интегрирования, ядра операторов Ко1, и Го1о' соответственно — это проинтегрированные один раз ядра Х и Г. Теперь закон наследственной упругости может быть записан следующим образом: (17.5.5) е=у"о, о=абае. (17.5.6) е = Х о аЬ = ~ Х(1 — т) ойт(с), о = С о с)е = ~ С (1 — т) Ые (т).
о о (17.5.7) Здесь интегралы понимаются в смысле Стилтьеса, что позволяет рассматривать непосредственно, не делая предельных переходов, ядро оператора Хо называется функцией ползучести, ядро оператора Со — функцией релаксации. Они непосредственно определяются из опытов на ползучесть и релаксацию, тогда как для нахождения функций К(1) и Г(1) соответствующие кривые бывает необходимо дифференцировать.
В современной литературе соотношения (17.5.6) часто записывают в виде так называемых сверток Стилтьеса, а именно, 5 17л, геологические мОдели 589 те случаи, когда нагрузка прикладывается или деформация про изводится мгновенно. Свойства наследственно-упругого тела, обнаруживаемые при испытаниях на ползучесть или релаксацию и проиллюстрнрованные графиками на рис. 17.5.1 и 17.5.2,легко воспроизвести на модели, изображенной на рис. 1.10.2.
Если обозначить через е перемещение, на котором производит работу сила о, то, как совершенно очевидно, при мгновенном приложении нагрузки сначала растянется только пружина 1; жесткость пружины, илн модуль Е„представляет собою мгновенный модуль. По истечении достаточно болыпого времени система приблизится к состоянию равновесия, когда скорость, а следовательно, и сопротивление движению поршня в цилиндре с вязкой жидкостью становятся равными нулю.
В предельном состоянии податливости пружин складывается, следовательно, длительный модуль определяется следующим образом: Е '=- Е,г+ Ез'. Обозначая через ц коэффициент вязкости, который определяет силу сопротивления движению поршня о' в зависимости от скорости по формуле О' = 7)е и вводя обозначения мы получим дифференциальное уравнение движения системы в следующем виде: О+ Ха = Е(е + 15е). (17.5.8) При большой скорости нагружения отсюда следует о=Ее или О=Ее для мгновенной деформации. В предельном состоянии покоя О = — Ее = Е е, отсюда Е =Ед!Х.
Поскольку Е <Е, р должно быть 15 <1, что видно и из формул, определяющих эти величины. Если теперь отвлечься от изображенной парис. 110.2 модели, скомбинированной из пружин и вязкого сопротивления. мы можем принять дифференциальное соотношение (17.5.8) за определяющее уравнение для некоторого материала. Этот модельный материал сейчас принято называть стандартным вязкоупругим телом. Уравнение (17.5.8), как мы видели, качественно правильно описывает поведение реальных материалов в условиях ползучести или релаксации. Однако для количественного описания свойств каких бы то ни было реальных твердых тел, как выяснилось, модель стандартного вязкоупругого тела непригодна. Реология, наука о течении разного рода тел (от греческого рео — теку), широко пользуется обобщениями рассмотренной простейшей модели, которые вводят в рассмотрение производные более высоких порядков.
Общее уравнение типа (17.5.8) будет 590 ГЛ. ГЬ НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ иметь следующий вид: (17.5.9) Здесь Р(о) — линейная функция от о и производных о до порядка п включительно с постоянными коэффициентами, 77(е)— такая же функция от деформации е. К соотношению вида (17.5.9) можно прийти, если рассмотреть модель, составленную из большого числа пружин и вязких сопротивлений, соединенных в разных комбинациях последовательно и параллельно. Конечно, было бы достаточно наивно искать в структуре материала соответствующие упругие и вязкие элементы, однако способ, основанный на построении реологических моделей, обладает некоторым преимуществом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
