Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 120
Текст из файла (страница 120)
Необходимое ограничение применения принципа Вольтерра, равно как и метода, основанного на преобразовании Лапласа, состоит в следующем. В каждой точке поверхности тела должно быть задано либо усилие, либо перемещение, либо какая-нибудь комбинация этих величин, но тип граничных условий не должен меняться. Так, например, принцип Вольтерра неприменим к задаче о движущемся штампе. Пусть штамп длиной Ь движется со скоростью 7' по границе полуплоскости. Если штамп гладкий, то касательное усилие Т, равно нулю всюду на поверхности, следовательно, Т, =О.
Но со вторым граничным условием дело обстоит сложнее. Перемещение и,(1) в фиксированной точке границы М известно только в течение конечного промежутка времени 11н10, 0+ЫР], если 0 — тот момент, когда конец штампа приходит в точку М. Для других значений времени и,(1) неиавестно, поэтому вычислить изображение по Лапласу й7(р) не представляется возможным.
Такое же положение возникает и прп прямом применении принципа Вольтерра. Действительно, пря окончательной расшифровке полученных операторных соотношений неизбежным образом придется вычислять интеграл ~ В (1 — т) иВ (т) 1(т. о Здесь гг — ядро некоторого результирующего оператора. Но функция и1(т) известна только для указанного выше интервала времени. Заметим, что для решения некоторых задач с переменными границами принцип Вольтерра все же оказывается применимым, эти задачи будут отмечены далее.
еоо ГЛ. 4Е НАСЛЕПСТВЕИНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ Если операторы А и р относятся к одному и тому же классу реаольвентных операторов и в решении задачи теории упругости появляется рациональная комбинация упругих констант, заменяемых операторами, то описанные вьппе правила алгебры операторов позволяют свести эту комбинацию к одному оператору того же класса. В противном случае выкладки становятся довольно сложными в такой же мере, в какой сложно обращение преобрааования Лапласа.
В современной литературе можно найти многочисленные примеры численных решений, основанных на численном обращении преобразования Лапласа. В некоторых случаях решение задачи теории упругости оказывается таким, которое содержит трансцендентные функции от операторов. В качестве примера можно привести построенное в з 12.13 решение задачи об осесимметричном изгибе круговой цилиндрической оболочки. Решение соответствующего однородного уравнения для упругой оболочки строится из частных решений ехр(~~х) соз рх, ехр(~~х) з!и рх. 4 з (т — 4) Здесь р4 = ° В задаче наследственной теории упругости 4а~ь постоянная р заменяется оператором р, который получается в ревультате замены коэффициента Пуассона т соответствующим оператором.
Но т =(у 1)„=1/2, тогда как т4 можно принять равным 0,3. Отсюда следует, что отношение р ф, = 0,95. Совершенно очевидно, что при практическом расчете оболочек следует считать коэффициент Пуассона постоянным. Заметим, что трансцендентные функции от операторов всегда представляют собою функции от коэффициента Пуассона — единственной безразмерной упругой постоянной для изотропного материала. Поэтому в приложениях часто вместо условия отсутствия объемного после- действия, которое приводит к формуле (17.7.3), принимают коэффициент Пуассона просто постоянным, т = т. Такое предположение до чрезвычайности упрощает решение всевозможных задач.
Действительно, распределение напряжений в упругом теле обычно зависит от коэффициента Пуассона, если этот коэффициент заменяется оператором, в теле происходит перераспределение напряжений во времени даже при постоянных нагруаках. Но если коэффициент Пуассона постоянен, то распределение напряжений определяется только действующими в данный момент нагрузками; при постоянстве нагрузок распределение напряжений остается неизменным. Перемещения точек тела при этом меняются, их изменение целиком определяется операторным модулем упругости о', точно так же как этим модулем определяется релаксация напряжений в теле, точки поверхности которого удерживаются неподвижными. Возвращаясь к задаче о цилиндрической оболочке, заметим, что в выражении для прогиба в знаме- 0 ызз.
устОйчиВОсть нАследстВеннО-упРуГих систем 001 2ЕЬВ нателе появляется цилиндрическая жесткость Р = Ес- 3 (1 — У~) 1 в ли== Е [1+ хЭн( — У)) и т определяется формулой (17.7.3), то Е в результате стандартных вычислений, основанных на теореме умножения резольвентных операторов, получаем — = — 1+ — — Э„( — ))) + х Э„( — )4 — х) ° 1 — у~ 1 — т~( 3 н н (1 — 2Т) з Е Е 1 4 1 — т (17.9.2) При выводе этой формулы сохранение у в качестве оператора ие вносит серьезных осложнений. Трансцендентные функции операторов, так же как иррациональные комбинации, можно бывает представить в виде рядов и построить таким образом точное решение задачи.
Некоторые примеры такого рода приведены в книге Работнова 111). 5 17ЛО. Устойчивость иаследствеиио-упругих систем Уравнение изогнутой оси стержня, находящегося под действием продольной сжимающей силы и поперечной нагрузки, получается из уравнения (3.10.1) поперечного изгиба путем простой замены модуля упругости Е оператором Е(1 — Г*). Это интегро-дифференциальное уравнение в общем случае переменной жесткости имеет вид Здесь учтено, что стержень может иметь начальный прогиб у,(х). Для решения этого интегро-дифференциального уравнения используем метод разложения по собственным функциям.
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение (Еуи")" + Ри" = 0 (17.10.2) и присоединим к нему те граничные условия, которые были поставлены для пнтегро-дифференциального уравнения (17.10.1) . Мы получили обычную задачу об устойчивости продольно сжатого упругого стержня, изученную в гл. 4. Собственные значения Р„ уравнения (17.10.2) образуют неограниченную последовательность; каждому собственному значению соответствует фундаментальная функция и,.
Для однородных граничных условий, не связанных с введением внешних по отношению к системе упругих элементов, справедлива теорема об ортогональности ГЛ. 1?. НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ 602 фундаментальных функций, а именно: ! У Е~ноаа11х — боо. о Это условие служит в то же время условием нормировки фундаментальных функций, которые определены с точностью до постоянного множителя.
Будем теперь искать решение интегродифференциального уравнения (17Л0.1) в виде ряда Р = ~оиАТА(1). Подставим этот ряд в (17.10.1), умножим на ЕТио и проинтегрируем по длине балки. Используя (17.10.2) и условия ортогональности и нормированности функций и„получим сери1о уравнений для функции Т, [ — Р, (1 — Г ) + Р) Т, = Р 17, Я . Здесь До(Г) = р ~ЕТ(Чо — Рго) НАх. о При исследовании задач устойчивости интерес представляет лишь первая форма, соответствугощая Р, = Р,.
Сила Р, называется зйлеровой силой. Положив Р!Ро = р(1), перепишем интегральное уравнение (17ЛО.З) при а=1 следующим образом (индексы опущены): (17.10.4) (1 — р) Т вЂ” Г*Т = — с. Решение етого уравнения может быть представлено следующим образом: Т= (17Л0.5) Предположим сначала, что рассматривается поведение стержня при малых значениях времени. Интегральный член ГоТ в (17Л0.4) при атом пренебрежимо мал, и мы получаем обычную формулу теории продольно-поперечного изгиба упругой балки Т =- — —. 1 —,о Отсюда видно, что при весьма кратковременном приложении нагрузки по мере приближения силы Р к зйлеровой силе амплитуда прогиба Т может быть сколь угодно болыпой. При атом интегральный член ГоТ остается сколь угодно малым, если время достаточно мало.
Этот результат можно реаюмировать сле- 603 5 НЛ1. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ дующим образом: при мгновенном приложении нагрузки происходит упругая потеря устойчивости по Эйлеру. Если, начиная с некоторого времени 1, способ приложения нагрузки перестает играть роль, зто значит д ш 1: в смысле, оговоренном в $17.4, то вследствие теоремы Пали — Винера Т( )= — 1 Г. ч( 1 Но 1 — Г = Е /Е; таким образом, прп р ( Е„/Е стержень асимптотически устойчив в том смысле, что прогиб его под действием продольной силы н пронзвольнои поперечной нагрузки стремится к конечному пределу. Этот предел неограниченно возрастает, когда р стремится к величине отношения Е /Е; при р >Е /Е предельная теорема перестает быть справедливой.
Общий вывод из рассмотренного примера следующий. Система мгновенно неустойчива, когда нагрузка превосходит зйлерову, вычисленную по мгновенному модулю. Система асимптотически неустойчива, если нагрузка превышает зйлерову нагрузку, соответствующую длительному модулю. При меньших нагрузках система устойчива. Этот результат относится не только к случаю сжатого стержня, но и к любой наследственно-упругой системе, устойчивость которой может быть исследована на основе геометрически линейной постановки задачи типа Эйлера. 5 17 11.
Вариациониые принципы теории наследственной упругости В обычной теории упругости вводятся потенциалы напряжений и перемещений следующим образом ($8.2): 1 1 1/, = 2 Ецддецем Ф, = 2 Пцмсцадь Введем наряду с упругими потенциалами следующие потенциалы наследственности: 1/, = ецГцд,едп Ф, = ННК;;ддодь (17.11 1) При варьировании потенциалов наследственности условимся применять символ вариации только к множителю, стоящему впереди интегрального оператора, так что, например, б(/, = децГцмеы. Операторы Гцм и Ецм вообще говоря, могут быть несимметричными относительно пар индексов ц и к(, но нам будет удобно принять такую симметрию. Если Гцм = Гйц, например, то ецГ„ыем = еддГцд1ац. 604 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
