Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 121
Текст из файла (страница 121)
Ге нАследственнАя теОРия упРуГОсти Отметим еще следующие тождества: ооее = 2П, — П, = 2Ф, + Ф,. (17.11.2) С помощью введенных потенциалов и с учетом принятого правила варьирования мы можем переписать основной закон наследственной теории упругости (17.7.5) следующим образом: он = —,(По — (7,), ео = — (Ф, + Ф,). (17.11.3) Теперь совершенно так же, как это было сделано в обычной теории упругости (З 8.7), можно построить функционал У = ~ ~он (еп — — и;; — — и; ~ — Пз(ен) + П, (ен) + Р~и~1 ИР+ 1 1 У + ) Т;и1ЫЯ + ) они, (и~ — и,'1 НЯ.
(17.11.4) Этот функционал совершенно аналогичен известному функционалу Хеллингера — Вашнзу; варьируя напряжения, перемещения н мгновенные значения деформаций, мы получим уравнения наследственной теории упругости и граничные условия как уравнения Эйлера и естественные граничные условия для функционала (17.11.4). Вариационные принципы типа Рейснера, Лагранжа и Кастильяно получаются отсюда совершенно так же, как в обычной теории упругости. При выводе уравнения Рейснера заметим, что вследствие (17.11.2) оеее — П,+ П, = П„ но в функционале Рейснера в качестве независимых аргументов принимаются и~ и ою поэтому По должно быть выражено через ое.
Вычислим производную от По по ое Ю, ж,зеы — '= — ' — "' = Вы, П„,". ес — зе зо ~ ~в и о и и Но матрицы В и П взаимно обратные, поэтому ЕН.~Пью = 6,„6;,. Таким образом, а~~о — '=е", еа. н и вследствие (17 11.3) П,(оы) = Ф, + Ф,. Теперь функционал Рейснера может быть записан следующим о!тз1. ВАРИАЦИОННЫВ ПРИНЦИПЫ образом ° у„о = ~ [ — оп 2 (и1,!+ и!1) + Фо+ Ф, + Л'ои1~йУ+ 1 + ) т;*иойБ+ Л они; (и1 — и;) йе. (17.и.5) Положим е= ху, а=ЛХгХХ, т. е.
зададимся неаависнмо линейным ваконом распределения как напряжений, так и деформаций по сечению. Подставляя в (17.И.5) и выполняя интегрирование по площади, получим 1,= ~~ — Мк+ — — + — ЛХК М+ си)йз. о 2 Е1 Е1 о Здесь к= и", и(з) — прогиб балки. Варьируя прогиб о(з)', по- лучим бу„о = ~ ( — Мбо" + убей) йз = О. о Если на концах балки не приложены силы, производящие работу на перемещениях или углах поворота концов, то в результате двукратного интегрирования по частям получаем У( М-+,)б.йз=6.
о Отсюда следует уравнение равновесия М" = 7(з). Теперь варьируем момент ЛХ(г). Получаем б ~'ио = ~ ~ — к + — ' + — ) бЛХйз = О. Лг Еовг) Е1 Е1 ! о Отсюда находим 1+И* х = и" = — ЛХ. Е1 ($7.И.6) Функционалы Лагранжа и Кастильяно получаются из соответствующих функционалов для упругого тела простой заменой (1 на 11,— (1о Ф на Ф, +Ф,. Мы не выписываем соответствующие выражения, отсылая к 2 8.7. Проиллюстрируем применение одного из вариационных принципов, например принципа типа Рейснера, на примере задачи об нагиба балки. Для одноосного напряженного состояния ГЛ.
!Ь НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ Полученные следствия из вариационного принципа типа Рейснера носят, конечно, достаточно тривиальный характер. Эти уравнения можно было получить из обычных уравнений изгиба балки простой заменой модуля упругости соответствующим оператором. Но можно представить себе более сложный случай, когда Е и К* представляют собою функции координаты у. Так будет, например, если балка неравномерно нагрета по толщине; ядро наследственности в сильной степени зависит от температуры. Уравнение (1711.6) в этом случае сохраняет силу, только вместо 1/Е и К* нужно подставить приведенные величины, а именно, Т С ('у'И' * Е,р ('узК~ Р Р Таким образом, расчет балки должен производиться по осредненпому операторному модулю, при этом вариациоиный принцип фиксирует совершенно определенный способ такого осреднения, которое, вообще говоря, не единственно.
При использовании принципа типа Лагранжа, например, мы придем к точно тем же уравнениям, но при зависимости операторного модуля от координаты необходимый способ осреднения окажется иным. Заметим, что вариационные принципы наследственной теории упругости допускают и иную трактовку. Вследствие принципа Вольте~рра можно применять любой метод для решения задачи Обычной теории упругости, и лишь в окончательном результате упругие константы следует заменить операторами. Отсюда следует, в частности, что для нахождения точного или приближенного решения задачи теории упругости может быть применен любой из известных вариационных методов; если в результате решения в окончательном результате появится некоторая комбинация упругих констант, ее можно заменить такой же комбинацией из операторов и расшифровать по известным правилам. 5 17.12.
Элементы нелинейной теории наследственности Еще Вольтерра, основываясь на теории, развитой Фреше, представил нелинейный функционал вида (17.1.1) рядом, напоминающим в известной мере ряд Тейлора. Для одномерного случая и применительно к наследственно-упругому телу, это разложение имеет следующий вид: е = ~ У (8 — т,) Йт(т,) + СФ с + ~ ~,сз(с — Т„1 — т,)до(т„)ссо(т,)+ ... (1712.1) -х з ы.ы.
элкмннты нвлинвянои твогии наслкдствкнности бО7 Приложение формулы (17Л2.1) к обработке опытных данных было начато больше чем через пятьдесят лет после появления работы Вольтерра. Следует отметить, что во всех этих новейших работах исследовались материалы, поведение которых мало отличалось от линейного. Поэтому в разложении (17.12Л) было достаточно удержать два члена, соответствующих однократному и тройному интегралам. Двукратный интеграл обычно отбрасывается, так как поведение материала при растяжении и сжатии предполагается одинаковым.
Даже при таких упрощениях определение вида ядра, зависящего от трех независимых аргументов, довольно затруднительно. Обращение соотношения (17.12Л) имеет тот же вид, но фактическое выполнение такого обращения встречает существенные трудности. Лишь относительно недавно (1957 г.) кратно-интегральное представление было распространено на случай трехмерного напряженного состояния. При сохранении интегралов до трехкратных включительно поведение изотропного материала описывается при помощи 12 независимых ядер Многие авторы поэтому стремились упростить полученные соотношения, делая те или иные предположения. Мы не будем здесь касаться этих вопросов.
Возвращаясь к одномерному случаю, сделаем упрощающее предположение, касающееся структуры последовательных ядер в (17Л2.1), а именно, положим .7з(1 — тд, 1 — т„..., г — тг) = азДУ(г — т~). (17Л22) г 1 Положим теперь г = ) У (8 — т) йг (т) = (1 + Кз) о. о Здесь мы заменили нижний предел т= — пределом т= О по причинам, которые были обсуждены выше. Теперь (17Л2.1) перепишется следующим образом: е = а,г + а,г' + а,г' + ... (17Л2.3) Ряд (17.12.3) определяет е как функцию г. Обозначая через ф(е) обращение этой функции, получим ф (е) = (1+ К*) с.
(17.12.4). Функция ф(е) определяется непосредственно из эксперимента. При а = сопз1 из (17Л2.4) следует (17.12.5~ Уравнение о = ф(е) определяет кривую мгновенного деформирования; кривые ползучести, перестроенные в координатах о, е для 608 ГЛ. ГЬ НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ фиксированных значений времени Г, называются изохронными кривыми. Задаваясь видом ядра илн определяя его из опытов при малых напряжениях, когда справедливы уравнения линейной наследственности и, следовательно, ~д(е)=Ее, мы можем восстановить вид мгновенной кривой, т.
е. найти функцию ~р(е). Для этого необходимо, чтобы в эксперименте подтвердился факт подобия изохронных кривых ползучести, следующий из (17.12.5). Действительно, изохронные кривые ползучести оказываются подобными с достаточной степенью точности для различных материалов. При обработке Опытных данных неточность в определении ядра К может быть компенсирована надлежащим выбором функции ~р, поэтому более простое ядро Абеля можно принимать вместо дробно-экспоненциальной функции. Заметим, что нелинейность поведения материала, если она выражена достаточно заметно, обычно бывает связана с необратимостью.
Поэтому на уравнение (17Л2.4) можно смотреть как на уравнение наследственной пластичности, т. е. считать его справедливым тогда, когда с ~0. Тогда закон разгрузки должен быть сформулирован иначе, например вместо функции у(е) в уравнение (17.12.4) нужно ввести некоторую функцию ф(е, еи), где е* — величина деформации в момент начала разгрузки. в 17ЛЗ. Распространение волн в наследственно-упругом теле Здесь мы ограничимся рассмотрением одномерных волн и для простоты будем говорить о распространении продольной волны в стержне, хотя правильнее было бы рассматривать плоский фронт в неограниченной среде. Те уравнения, с которыми мы будем иметь дело, совершенно точны для такого плоского фронта, тогда как для стержня они лишь приближенны, так как в них не учитываются поперечная инерция и деформация сдвига.
Дифференциальное уравнение распространения волн в упругом стержне, как мы видели в э 6.7, имеет следующий вид: зди ди сз —,— —, = О. ди дВ д ди (1 11) д д и ди' дГ (17.13.1) Здесь с* Е/р. Для волн расширения в неограниченной среде Е заменяется на А+ 2п, для волн искажения на и, таким образом, математическая теория оказывается совершенно тождественной.
Заменяя Е через наследственно-упругий оператор, получим следующее интегро-дифференциальное уравнение: 609 5 1тлз. РАспвостРАнвнии Волн Проврвссивныв волны. Положим и = ехр 1ю ~1 + р — ~. (17Л3.2) Если д, как мы в этом убедимся, комплексное число, д Ь+ Им то вышеприведенное выражение можно переписать следующим образом: и =- ехр ~ — — х) ехр 1ю (1+ д, — ~.
(17ЛЗ.З) Первый множитель определяет затухание, т. е. убывание амплитуды с расстоянием, величина с/д, представляет собою скорость распространения волны. Подставляя (17Л3.2) в уравнение движения (17.13.1), найдем Я = 1 ~1+ Г,— 1Г,' Для каждого конкретного вида ядра в этом выражении можно отделить действительную часть от мнимой и, следовательно, найти д, и д,. Если затухание невелико и Г,«1+ Г„то можно получить приближенное соотношение д = д, + 1дз = (1+ Г.) "*+ 1Г,'(1+ Г.) '".
(17.13.4) Но д, =(1+ Г.) и' = УЕ!Е, таким образом, скорость прогрессивных волн тт ~~ — =с Это — скорость упругих волн, определяемая длительным модулем. Полученное решение может быть найдено совершенно формальным путем, в результате простой замены в обычном решении задачи о распространении прогрессивных волн в твердом теле модуля упругости Е комплексным модулем' Е'+1Е".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
