Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 122
Текст из файла (страница 122)
Следует заметить, однако, что решения типа (17.13.2) носят несколько условный характер. Предполагается, что волны движутся пз точки х= —, в этой точке амплитуда бесконечно велика. Именно так должно обстоять дело, если понимать решение (17Л3.2)' или (17.13.3) в буквальном смысле. На самом деле нужно предположить, что волны возбуждаются где-то достаточно далеко и решение (17ЛЗ.З) описывает приближенно скорость прохождения гребня волны через некоторую точку и разницу амплитуд двух соседних гребней. Возможность получения решения задач о распространении наследственно-упругих волн прямой заменой обычных модулей комплексными модулями составляет содержание так называемого принцшш соответствия для динамических вадач.
Мы уже прива ю, н, Работвав 010 ГЛ. 17. НАСЛЕДСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ меняли принцип соответствия для решения задачи о свободных колебаниях системы с одной степенью свободы. Как здесь, так и там мы убедились в том, что этот принцип применим лишь для описания таких процессов, которые можно назвать в известном смысле стационарными, Удариыс волны. Задача о распространении возмущения, несущего разрыв некоторых параметров процесса, решается, пожалуй, проще всего при помощи преобразования Лапласа. Применим преобразование Лапласа по времени к уравнению (17 13.1) н, воспользовавшись тождеством 1-Г (1+К) ', представим результат в следующем виде: и" — — (1 + К) и = О.
3 Здесь штрихи обозначают дифференцирование по х. Интеграл этого уравнения, стремящийся к нулю при х-, будет следующий: / хр т/'='1 и = с ехр ~ — — '1 1+ К~. с Аналогичные выражения, отличающиеся только множителем, получаются и для производных от и, в частности для с. Предположим, что на конце прикладывается постоянное напряжение о, в момент 8 = 0; тогда о(0, р) = с,/р и, следовательно, о(х, р) = — сехр( — *Р ')/1+ К). (17.13.5) Обращение выражения (17.13.5) встречает серьезные трудности, которые удается преодолеть лишь для немногих частных видов ядер, однако асимптотические оценки позволяют сделать некоторые выводы.
Прежде всего прн малых с и, следовательно, больших р справедливо асимптотическое представление К(р) -— — К (0) Р Поэтому / хр х 1 о(х р) — ехр( — — — — К (0) — 1. $ р (, с 2 с / Отсюда следует о пс ехр ( — — К(0)) — Н (г — — ). Итак, волна распространяется со скоростью упругой волны, оп- $ !7Л3, РАспРОстРАнкнив ВОлн 611 ределяемой мгновенным значением модуля. Экспонепциальпый множитель определяет затухание.
С другой стороны, при ~-, р- 0 становится справедливым следующее предельное соотношение: Р( )-(рЕ(р)),-' Примем г" =Хе 1, г" =К!р. Поэтому при малых р Е Соотношение '(17.13.5) принимает вид о(х р) — ехр( — — ) с Р ( с )' " 1/ Е' Отсюда следует о = а Н ( с — — ).
При достаточно болыпих значениях г возмущение распространяется без затухания со скоростью с„(с. Итак, картину распространения волны в наследственно-упругом теле нужно представить себе следующим образом. Сначала идет упругая волна с мгновенной скоростью с, за фронтом сигнал быстро затухает по экспоненциальному закону. По мере приближения к фронту упругой волны, распространяющейся с длительной скоростью с, интенсивность сигнала должна возрастать до величипы с, яа фронте, а эа этим фронтом остается постоянной.
Такая довольно очевидная картина может быть получена и в результате более строгого анализа. ГЛАВА 18 ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ 5 $8Л. Испытания иа ползучесть и кривые полэучести Внешнее протекание процесса ползучести металлов и сплавов при повышенных температурах весьма напоминает ползучесть полимерных материалов или проявление наследственной упругости, рассмотренной в гл. 17. Однако ползучесть металлов не может рассматриваться как наследствепно-упругий эффект; деформация ползучести в основном необратима, это с одной стороны, с другой — зависимости между вапряжением и деформацией или скоростью деформации резко нелинейны. В наследственной теории упругости создание более или менее законченной математической теории предшествовало накоплению опытного материала.
Можно только удивляться тому, что построения, продиктовакные в большей мере внутренней логикой развития науки, чем непосредственпыми запросами практики, оказались столь хорошо пригодными для описания поведения горных пород, пластмасс, древесины и других материалов. В теории ползучести материалов дело обстояло как раз наоборот. Диски паровых турбин испытывают значительные напряжения от центробежных сил и находятся в условиях относительно высоких температур. Инерционные напряжения не могут быть умепьшепы путем увеличения толщины, некоторое снижение напряжений может быть достигнуто за счет выбора рационального профиля, однако здесь имеется совершенно определенный предел.
Оказалось, что инерционные напряжения вызывают медленное деформирование диска — увеличение его наружного диаметра и изменение формы профиля. Это явление было названо «ползучестью», по-английски «сгеер». (В первых русских публикациях это английское слово «крип» употреблялось в транслитерации без перевода.) Усилия металлургов были направлены па получение новых сталей и сплавов, стойких в отношении ползучести. Перед инженерами встала задача расчета па ползучесть, т. е. определения расчетным путем времени, по истечении которого деформация достигнет некоторой наперед задаваемой величины, которая считается предельно допустимой. Первые теории ползучести создавались именно инженерами, а пе мехапиками-теоретиками, оки относятся к середине 20-х годов. В это время уже были сформулированы основные положения теории пластичности, поэтому, естественно, теория ползучести б ?8.!. испытА??ия НА ползучесть 613 полагала в основу уже известные законы пластичности, модифицируя их надлежащим образом.
Четко выраженная практическая направленность характеривует развитие теории ползучести в последующие годы, вплоть до настоящего времени. В 50-е — 60-е годы эта теория сформировалась как самостоятельная ветвь механики сплошной среды; в это время был накоплен очень е большой экспериментальный матерп- Х ал. Были поставлены опыты специально для проверки и уточнения основных гипотез теории, с одной стороны. С другой — в промышленности был выполнен огромный объем экспериментов, направленных на получение данных по ползучести отдельных сплавов, предназначен- Рво. 18.1Л ных для применения их в конструкциях. Не доставляя достаточно полного материала для проверки математической теории ползучести, эти результаты все же смогли быть использованы теоретиками. Особый интерес представляют эксперименты, выполненные на моделях более или менее сложных изделий — трубах, дисках, диафрагмах турбин и т.
д. Сравнение данных опыта с предсказаниями расчета, построенного на основе той или иной теор??и, могло служить качественным подтверждением ее правильности. Стандартный метод испытаний на ползучесть — это испытание на растяжение постоянной нагрузкой цилиндрического образца. Современные жаропрочные сплавы разрушаются под действием постоянной нагрузки при относительно малой деформации, поэтому деформации ползучести, измеряемые в эксперименте, неве- лини.
С другой стороны, конструктор не может допустить сколько-нибудь болыпие деформации ползучести (обь?чно не свыше 1/о), поэтому изучение ползучести представляет интерес только в пределах изменения деформации не свыше 1 — 2'/о. При этом изменение площади поперечного сечения невелико и постоянство нагрузки можно отождествлять с постоянством деформации. В старых работах принимались специальные меры для того, чтобы компенсировать уменьшение площади сечения при растяжении соответствующим уменьшением нагрузки; для этого создавались специальные конструкции нагружающих устройств.
В современной испытательной технике эти меры не принимаются. ' На рис. 18.1 1 представлена типичная кривая ползучести, т. е. диаграмма зависимости деформации е от времени 1 при постоянном напряжении о. Здесь е,— мгновенная деформация, зависящая только от приложенного напряжения. Она может быть чисто упругой, а может включать в себя мгновенную пластическую деформацию. Римской цифрой / отмечен первый уча- Ю. н. Робот?ом б14 ГЛ. 13. ПОЧЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ сток кривой ползучести, скорость ползучести ЫеЯ1 постепенно убывает до минимального значения п(а). На участке П скорость ползучести сохраняет постоянное значение де/Ж = и(О).
На третьем участке скорость начинает возрастать и ползучесть заканчивается обрывом образца. Приведенная диаграмма представляет собою схему. В действительности картина ползучести может быть самой разнообразной. Может отсутствовать первый участок, после непродолжительного периода ползучести с относительно постоянной скоростью она начинает увеличиваться, таким образом, вся диаграмма состоит из третьего участка. Участок П часто бывает трудно выделить, это может быть просто некоторая область около точки перегиба, отделяющей участки 1' и И1. Наконец, при низком уровне напряжений даже при очень длительных испытаниях не будет достигнута минимальная скорость и не произойдет разрыва образца, вся диагвамма ползучести будет состоять из одного первого участка.
Йменно такой результат был получен в опытах Робинсона, продолжавшихся 100000 часов (около 12 лет). Иногда кривые ползучести выглядят и более сложным обравом, периоды замедления и ускорения чередуются не так, как это показано на идеальной диаграмме рис. 18.1.1. Как правило, такое поведение свидетельствует о фазовых переходах в сплаве. Теория, которая будет излагаться ниже, применима к материалам структурно устойчивым, и в принципе фазовые переходы исключаются из рассмотрения. Уменьшение скорости деформации на первом участке кривой ползучести определяется эффектом упрочнения; ползучесть сопровождается такими структурными изменениями, которые увеличивают сопротивление материала ползучести. При исчерпании способности материала к упрочнению скорость ползучести становится постоянной, кривая ползучести выходит на второй участок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
