Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 126
Текст из файла (страница 126)
Испытания на релаксацию по описанным причиним сложны, дороги и не всегда надежны. Механические теории ползучести позволяют рассчитывать процесс релаксации по данным испытаний на лолзучесть. Приведем соответствующий анализ, испольауя разные теории. Теория упрочнеяия. Запишем уравнение ползучести (18.4.2) при степенной зависимости 7" (о) следующим образом: (18.6.2)' рр" = о". Здесь безразмерное напряжение о отнесено к модулю упруго- сти Е, поэтому р = е — о. (18.6.3) Формула (18.6.3) определяет время релаксации ~от напряжения о1 до напряжения о. Очевидно, что и при других видах функции 7(о) задача решается квадратурами, которые ни при одном из принятых законов толэучести не выражаются череа алементарные функции. При втором варианте теории упрочнения, чтобы получить тот же закон ползучести при постоянном напряжении, необходимо еаменить уравнение (18.6.2) следующим: рд =о Здесь в случае релаксации д = ) о 11р = — ) о 61о = — (о, — оз).
1 6 2 Внося в (18.6.4) и выполняя интегрирование, получаем 1 (' (1 46)а 6 ~ 2а4а+а а/а (18.6.5) Подынтегральное выражение в формуле (18.6.5) отличается от Масштаб времени изменен таким образом, что множитель в пра- вой части перед о" сделан равньгм единице. Полагая е = сопев = '= е„ находим р = о, — о, р = — о. Внося эти значения в (18.6.2), разделяя переменные и интегрируя, найдем ГЛ.18.ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ 628 соответствующего выражения в формуле (18.6.3) множителем При ь < 1 и а > 1 эта величина больше единицы, поэтому формула (18.6.5) предсказывает более медленный ход кривой релаксации. Теория наследственности.
Применяя уравнение (18.5.4) к случаю релаксации, когда е = соп8$ и, следовательно, ~р = ~р„по- лучаем чо з о = г+ к. — — (1 — Г*) ср.. (18.6.6) в 18.7. Установившаяся ползучесть при сложном напряженном состоянии Под установившейся ползучестью мы будем понимать такой процесс, когда скорость накопления необратимой деформации представляет собою функцию только напряжения и температуры, поэтому при постоянных напряжении и температуре скорость ползучести постоянна. Полагая е=е,+р, мы будем считать, что р = и(а, Т). Что касается величины е, мгновенной деформации, по предло- жению Удквиста в нее можно включать также дополнительную деформацию ползучести, накопленную на первом неустановив- шемся участке, как это показано на рис. 18.7 1.
Здесь, как и в гл. 17, Г* — резольвентный оператор по отношению к оператору К*. Проверка уравнения (18.6.6) для металлов, по-видимому, не делалась, а для стеклопластиков она дает довольно хороший результат. Не соста~вляет труда рассчитать ход кривой релаксации на основе теории течения или теории старения. По существу эти теории совершенно не приспособлены для описания ползучести при переменных нагрузках, а именно так и следует рассматривать процесс релаксации. Тем более может показаться удивительным, что предсказания этих малоудовлетворительных теорий дают не слишком болыпую шогрошность.
Нужно заметить, что названные теории для своего применения не требуют каких-либо аналитических аппроксимаций, тогда как уравнения типа (18.6.2) удовлетворительно описывают лишь первые участки кривых ползучести структурно устойчивых сплавов. 629 в 18л. устлновившляся ползучесть (~чедует принять, например,что ц ео — — ~ + у(вава). (18.7.1) Здесь о „вЂ” наибольптее значение напряжения, достигнутое в процессе нагр~ужения.
Пользование формулой (18.7Л) можно пояснить следующим образом. Предположим, что приложенное напряжение меняется в соответствии с графиком рис. 18.7.2. На участке ОА напряжение возрастает, величина деформации у(о) определяется в каждый момент деиствующим напряжением о. После точки А напряжение сначала убывает, потоп начинает возрастать.
Пока о ~ о», величина пластической (или условно пластической) деформации остается постоянной, равной у(о»). После точки В, когда становится о) о», пластическая деформация ~по-прежнему ~будет определяться действующим напряжением о. ев Рис. 18.7.2 Рис. 18.7.1 ец — — иц(ои). Единственное условие, налагаемое на функции вц, состоит в том, 41 ю. н. гавотнов Уравнения установившейся ползучести достаточно хорошо отражают действительное поведение материала в двух случаях: а.
Процессы большой длительности (десятки и сотни тысяч часов) при умеренных напряжениях и температурах. На кривых ползучести вторые участки весьма протяженны и можно принимать во внимание только их. б. Кратковременная полвучесть (секунды и минуты) при высоких температурах и напряжениях.
В этих условиях упрочнение не происходит, ползучесть начинается с постоянной скоростью, которая потом начинает увеличиваться, вследствие трещинообразования. Описание соответствующего механизма будет дано в гл. 19, трактующей вопросы разрушения. Для произвольпого напряженного состояния мы сделаем еще один шаг по пути упрощения теории н будем пренебрегать мгновенной деформацией, как упругой, так и пластической. Полагая рц = ец, запишем закон течения следующим образом: бзо ГЛ. 88. ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ чтобы мощность диссипации была положительной ВВОВ) О. Обычно предполагается, что зависимость скоростей ползучести от напряжений потенциального типа, т.
е. существует потенциал скоростей ползучести Ф(ОВ) такой, что дФ еп = —. дез Отсюда преобразованием Лежандра получаются обратные соотношения (18:7.3) деп Существование потенциалов Ф и 17, строго говоря, не является следствием каких-либо общих принципов механики или термодинамики. Некоторое обоснование принятой гипотезы может быть сделано в результате применения принципа типа Онзагера или Циглера в термодинамике необратимых процессов.
С другой стороны, можно соответствующим образом переформулировать постулат Друкера, чтобы получить требуемую потенциальную зависимость. Здесь мы не будем развя~вать ни ту, ни другую точку зрения. Соотношения вида (18.7.2) и (18.7.3) содержат в себе достаточно широкие возможности для воспроизведения эксперименталы1ых данных, с одной стороны, с другой — обладают серьезными аналитическими преимуществами. Если заменить в (18.7.2) и (18.7.3) скорости деформации через деформации, мы получим соотношения нелинейной теории упругости или теории пластичности деформационного типа.
Для этих теорий справедливы известные вариационные принципы, которые просто перефразируются на случай ползучести. Методы решения задач деформационной теории пластичности и теории установившейся ползучести совершенно одинаковы. Именно поэтому мы не приводим каких-либо примеров решения задач по деформационной теории пластичности, имея в виду изложить некоторые простейшие задачи здесь, применительно к случаю ползучести.
Необходимо сделать, однако, одну оговорку. Принимать скорость деформации ползучести равной производной от самой деформации можно только, когда деформации малы. В противном случае нужно вводить скорости деформации ее каким-либо иным способом. Здесь мы не будем рассматривать вопрос о ползучести при больших деформациях и не будем пытаться построить соответствующие уравнения. Что касается выбора структуры зависимости, например, потенциала Ф от компонент тензора напряжений, естественно предположить, что потенциал зависит от некоторой однородной фУнкЦии компонент тензоРа Ое. Эта оДноРоДнаЯ фУнкЦиЯ 8(о„) з $з.т. устАКОВиВшАяся пОлзучесть 631 без нррушения общности может быть выбрана как функция первой степени, так что з(Лое) = Лг(ое).
Полагая Ф'(з)= э(з), перепишем уравнения (18.7.2) следующим образки: ео = и (г) —. (18.7.4) до, Частные производные дг/доо представляют собой однородные функции нулевой степени от оо. Это значит, что шесть частных производных зависят не от шести аргументов, а от пяти, например от отношений компонент оо к одной из них. Отсюда следует, что, исключая эти отношения, мы найдем тождественное соотношение между дг/доо, которое всегда можно записать следующим образом: в~з )=1. (18.7.5) е = о(о).
Бывает удобно определять приведенное напряжение г так, чтобы при простом растяжении было г = о, и функцию у(з) так же следует определять из опыта на ползучесть при растяжении. Тогда приведенная скорость и = в(е„) автоматически обратится в скорость деформации растяжения. Умножая (18.7.4) на оо, найдем мощность диссиаации Ю = о„ее = зи(з).
При этом учтено, что по теореме Эйлера о„дг/дое = г. Определяя потенциал напряжений по формуле (18.7.3), найдем П = гФ'(з) — Ф(з). Вследствие (18.7.6) этот потенциал выражается через и и, следоворечиям. оо =- г(г) —. (18.7.7) Полученное тождественное соотношение необходимыи образом однородно относительно своих аргументов, поэтому функция может быть принята однородной функцией первой степени.
Применяя оператор ы к обеим частям соотношений (18.7.4)' и учитывая наложенное условие однородности, получим о(ее) = о = У(г). (18.7.6) Величина г представляет собою приведенное напряжение, величина о — приведенную скорость деформации. Уравнение (18.7.6) определяет связь между и и г совершенно так же, как при растяжении, ковда устанавливается связь между скоростью деформации е и напряжением о: ГЛ. 18. ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ 632 й 18.8. Частные формы закона ползучести Рассмотрим некоторые наиболее применяемые частные формы, которые принимают зависимости предыдущего параграфа. 1.
Приведенное напряжение в пропорционально октаэдрическому касательному напряжению. Положим в =- оо = — 2п = —. (2п — — 21~ ° з — з т г ы 2 2 ( 3 (18.8.1) Определенная таким образом величина в = о„называемая интенсивностью напряжений, связана с т, следующим образом: ь'е о. = — '.о. з Легко проверить, что при простом растяжении напряжением о е = о. Дифференцируя (18.8.1) по о„, получим дг 3 ви до1 2 г Возводя в квадрат и свертывая, находим, что 2 дг дг 3 до 1, до,, Итак, (18.8.3) дв/до, = — 1, они связаны тождествен- Производные де/до1 = 1, ным соотношением 2 Таким образом, 2 ( 1 3)' 1 (18.8.5) При этом скорость ползучести е, в направлении промежуточного по величине главного напряжения о, равна нулю. Особо следует рассмотреть тот случай, когда два главных напряжения равны При простом растяжении несжимаемого материала е11= е, е,1 = е„= — Ч1е, еч = О (1Ф)) и из формулы (18.8.3) следует и=с.
Величину о, определяемую формулой (18.8.3), называют интенсивностью скоростей деформации. 2. Приведенное напряжение пропорционально наибольшему касательному напряжению. Относя тензор напряжений к главным осям, положим в = о, — о, (о, > о, > о,).
( 18.8.4) 5 88.8, ЧАСТНЫЕ Ф>ОРМЫ ЗАКОНА ПОЛЗУЧЕСТИ 633 между собою. Пусть, напржмер, о, = о, ) о,. Приложим к телу всестороннее сжатие интенсивностью р = о, = о,. Поскольку потенциал ползучести приник независимым от гидростатической составляющей, распределение скоростей ползучести от этого не ивменяется. Но теперь напряжения в направлениях 1 и 2 обратятся в нуль, остается только сжимающее напряжение — р+ о, в третьем главном направле|нии. Считая функцию Р(8) нечетной, т. е.
допуская, что поведенже материала при растяжении и сжатии одинаково, получим е, =: — Р(р — о,). (18.8.6) Что касается скоростей в двух других направлениях, их величины могут быть произволь.ными, опи связаны только условием несжимаемости со скоростью с,. Следует напомнить, что совершенно аналогичное положен:ие было в теории идеальной пластичности при условии пластичжости Треска — Сен-Венана. Условие равенства двух главных на.пряжений слишком частно, за него приходится расплачиваться допущением известной кинематической свободы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
