Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 128
Текст из файла (страница 128)
При этом, очевидно, дгт да' 1 дь' (18.11Л) деад део г де д ГЛ. 18. ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ 640 Здесь Уа = ~ Г(з~,д — Зхад) С(г. -Л (18 11.3) Совершенно аналогичным образом, вводя изгибающие моменты по формулам +л Мад = ~ гоаддг -л и используя соотношение (18.11.1), получим дБа Мад— дкад (18.11.4) Очевидно, что, применяя преобразование Лежандра, можно построить потенциал скоростей деформации Ф (Таз, Мад) = Тлизл„+ Мл,нл„— У такой, что (18.11.6) сад = — 1 над = о дФ дФ (18.11.5) дг З ' дМад' Фактическое вычисление потенциала П* по формуле (18.11.3) встречает затруднения, получить явное его выражение не удается.
Обычный путь, по которому идут разные авторы в тех случаях, когда и усилия Т„л и моменты М 8 играют одинаковую роль и ни теми, ни другимн пренебрегать нельзя, состоит в той или аной аппроксимации потенциала (обычно потенциала скоростей Ф) с помощью некоторого подходящего выражения, например квадратичной формы относительно Т 8 и М„8. Коли Т„,=О или М„8 = О, то потенциал легко вычисляется.
В первом случае получается обычный случай плоского напряженного состояния; мы рассмотрим только случай изгиба. Коли е„8 = — зх„п то и =за вследствие однородности, й представляет собою выражение, образованное из компонент тензора х„8 точно таким же способом, как и было образовано из компонент тензора з 8. Потенциал моментов будет теперь определяться следующей формулой: лл Г" (й) =- — „~ У (е) сЦ.
8 При этом считалось, что ползучесть материала при растяжении и сжатии описывается одинаковым законом, позтому У($) — четная функция своего аргумента. Теперь М„~ . Ц* (й) дл (18 11.7) а — дхад Функция Й есть однородная функция первой степени, следова- о 18.11. УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ ПЛАСТИН 641 Величины т и й связаны однозначной зависимостью, которая может быть установлена, например, из опыта на цилиндрический изгиб. Если принять критерий 1 $18.8, то то = Мо = М11+ Моо МПМоо+ ~ (М18+ М81) (18.И.9) я соответственно = хо = о хп + хоо + хыхм + о (хы + хо1/~.
(18.И.10) Формулы, выражающие скорости изменения кривизн через мо- менты, будут следующие: З х(м) о о о (18 И.И) Точные решения, полученные в результате численного интегрирования, удается найти только для круглых симметрично загруженных пластинок. Умножая уравнения равновесия в цилиндрических координатах на г и интегрируя по толщине, мы получим следующее дифференциальное уравнение для изгибающих моментов: д̄̄— М, — "+ " +1"о',=О. д г Здесь Х, — перерезывающая сила, которая в свою очередь определяется через поперечную нагрузку о(г) в результате интегрирования уравнения — (гЛ'„) + гд = — О. д Это уравнение отличается от уравнения равновесия для вращающегося диска только видом свободного члена.
Скорости изменед' 1 до. ния кривизн х„=- —,, хо = — „— , 'эти формулы совершенно тождг дественны с теми формулами, которые выражают е, и е, через радиальную скорость, поэтому уравнение совместности буквально совпадает с соответствующим уравнением для диска. Моменты выражаются через и и 1э по формулам, совершенно подобным тельно, дх/дх о связаны тождественным соотношением и существует такой инвариант первой степени от компонент М„о, т(М о), что х з =Ф' (т) —. (18 И.8) дМоз' Гл.
18. ползучисть мвталлов 642 формулам (18.10.1), а выражения для скоростей изменения кривизны аналогичны (18 10.2). Отсюда следует, что процедура числеввого интегрирования, предложенная для вращающихся дисков, целиком переносится на задачи об изгибе пластинок. Нам нет необходимости рассматривать еще раз в деталях эту лишь слегка видоизмененную процедуру.
Заметим, что введение в качестве независимой переменной логарифма радиуса и в качестве искомой функции логарифма т подобно тому, как это было сделано в з 18.10, совсем не обязательно; все рассмотрение можно вести в исходных естественных перемевных. Применевия критерия наибольшего касательного напряжения (пункт 2 з 18.8) приводит к тому, что т яривимает одно из трех возможвых значений: гл= )М,!, т= |М„!, т= (ЛХ,— М„!. Для каждого из участков, на которых выполняется одно иа этих трех условий, решевие строится весьма просто. Так, например, 1 лм если т = (М,!, то мч = — — „„= 0 и, следовательно, ю ве зависит от г. Если т= !Мч!, то к, = с!'вЯг' = 0 и пластивка иагибается по конической поверхности. Вся трудность состоит в том, что гравицы участков по радиусу пластины заранее неизвестны и нахождение этих границ встречает определенные трудности, которые ивогда преодолеваются сравнительно легко, а иногда их преодоление требует труда и изобретательности.
Во всяком случае каждая задача при таком подходе требует специального .рассмотрения и для решения таких задач необходимы каждый раз особые приемы. В 40-х — 50-х годах как в теории ползучести, так и в теории пластичности, решалось очень мвого осесимметричных задач для дисков и пластив по критерию приведенного напряжения, заданного кусочно линейвой функцией (автор также не избежал этого всеобщего увлечения). При современвой вычислительвой техвике, по-видимому, более правильно и рационально пользоваться критерием типа Мизеса, один раз составленная и отлаженная программа выдает результаты совершенно единообразным способом для всевозможвых нагрузок и всевозможных граничных условий. Решевия, использующие кусочно линейные функции, сейчас представляют скорее исторический интерес п здесь рассматриваться не будут.
б 18 12. Неустановившаяся ползучесть. Изотропное упрочнение Естественное распростравевие сформулировавной в 3 18.4 теории упрочнения на общий случай трехосного напряженного состояния заключается в том, что потенциал напряжений Ф считается зависящим не только от напряжений, во также от 8 18,1х ыеустАновившАясч ползучвсть 643 некоторого скалярного параметра упрочкения д: Ф = Ф(г, д). (18Л2.1) В этой записи мы сохранили предположение о том, что зависимость от напряжений ао сводится к зависимости от приведенного напряжения 8, представляющего собою однородную функцию первой степени от ао. Параметр упрочнения может быть определен различными способами. В соответствии с тем анализом, который был приведен в з 18.4, мы рассмотрим два варианта, а именно, (18Л2.2) (18.12.3) Здесь ре — скорость пластической деформации, ро = ео — Пепа8ь В задачах неустановившейся ползучести необходимо выделять деформацию ползучести из полной деформации, поэтому закон течения будет записываться следующим образом: дг зо (18Л2.4) Возвращаясь к определениям параметра упрочнения (18Л2.2) и (18.12.3), замечаем, что при одпооспом растяжении д, = р, следовательно, первый критерий служит обобщением первого варианта теории упрочвения.
Величина о, представляет собою рассеянную работу и обобщает естественным образом меру упрочнепия во втором вариавте теории, рассмотренной в 8 18.4. При определении величин ре мы сделали самое общее предположеиие о том, что материал анизотропеп, для изотропного случая и иесжимаю1цего материала 1 р" = е" — — а". Ц Ц 2Р Ц Учет сжимаемссти не вызывает, очевидно, затруднений. Рассмотрение двух вариантов выбора параметра упрочнения производится совершеипо одинаково и приводит к чрезвычайно близким результатам, поэтому мы проделаем анализ лишь для случая первого, обычного варианта теории упрочнения, соответствующего уравнению (18Л2.2) . Простейшее предположение о структуре ураввевия (18Л2.4) будет состоять в том, что правая часть его есть степенная функция от д (индекс опущен) и 8. Итак, д-ааа11 а) (18Л2.5) 1+ а Зо.
Ц ГЛ. 18. ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ 644 В одномерном случае 8 = сопзс отсюда следует 1 Р= 8"8 т. е. степенной закон ползучести как ло напряжениям, так и по времени. Предположим теперь, что тело нагружено некоторой системой сил ф, которым соответствуют перемещения ди Некоторые из перемещений д, могут быть зафиксированы, соответст~вующие реакции (7, релаксируют. Другие силы (7, заданы как функции времени, например постоянны. Перемещения д, ищутся как функции времени. Решение задач неустановившейся ползучести с помощью определяющего уравнения (18.12.5) достаточно сложно, оно может быть выполнено лишь численно шагами по времени, притом на каждом шаге необходимо решать задачу о неустановившейся ползучести при постоянном д, зависящем от координат.
Однако для определения перемещений отдельных точек и нахождения закона релаксации связей можно применять излагаемый ниже приближенный метод. Положим р =д — роЧь (18.12.6) Это соотношение представляет собою разложение перемещения д~ на две части: р; — связанную с ползучестью и упругую ре1А1. Такое разложение в действительности невозможно, ползучесть меняет распределение напряжений в теле и, следовательно, его упругую деформацию.
Тем не менее мы сделаем такое допущение; величины ро, коэффициенты влияния, находятся из решения обычной задачи теории упругости. Предположим теперь, что для рассматриваемого тела решена задача установившейся ползучести в соответствии с определяющим уравнением дг В,результате этого .решения найден потенциал ползучести 1',1, выраженный через силы ф. Этот потенциал будет однородной функцией степени п от ф, поэтому может быть представлен как Ч", где Ь1 — однородная функция первой степени.
После этого скорости обобщенных перемещений выразятся следующим образом: и д0 (18.12.7) Предположим теперь, что для нашего тела, для которого мы хотим решать приближенную задачу неустановившейся ползучести, предварительно решены две вспомогательные задачи. З !заз. НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЪ 645 а. Задача теории рпрузости, в результате которой найдены коэффициенты ~ц в формуле (18.12.6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
