Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 127
Текст из файла (страница 127)
Несколько более сложны е зависимости, например, учитывающие роль не только второго8 инварианта девиатора напряжений, но также третьего инварианта, иногда применяются для интерпретации опытных данных,,для решения задач они оказываются слшпком сложными. Так, м8зжно принять где ~ )/ 6 888 Ф' (18.8.7) 8 = ооу (~) ~ Такой выбор параметра ~ определяется очень простым выражением его через угол подобия девиатора д (см. з 7.7), а именно, ~ = соя Зд. Представим главные напряжения по формулам (7.7.9): 2 о, = о -и- — о, соя д, Найдем, что скорости деформации по формулам (18.7.4) выразятся таким образом: е,=п(8)(асов д+Зд'яшЗдя(пд), ...
(1888) Следующие формулы получаются заменой д на д — 2л/3 и д — 4л/3 соответственно. П1ви этом аргумент функции д, а именно ь = соя Зд, не меняется. Вывод соотношений (18.8.8) очевиден в принципе, но требует проведения выкладок, которые мы здесь опускаем. ГЛ.18.ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ 634 5 18.9. Труба под действием внутреннего давления Решение этой задачи особенно просто в том случае, когда труба имеет донья и внутреннее давление вызывает осевую растягивающую силу.
В атом случае деформация оказывается плоской, т. е. скорость деформации в направлении оси трубы е. = О. Сохраним обозначения $ 8.12. Предположим заранее, что е, = О. Как мы увидим, это упрощающее предположение несущественно. Очевидно, что скорости деформации будут выражаться через радиальную скорость ползучести и по тем же формулам, по которым в $8.12 были выражены деформации череа радиальное перемещение, а именно, с, = д»/дг, е,= о/г. Из условия несжимае- мости ь Нь е„+ е„= — — + — = О. г г>г Отсюда, интегрируя, находим»= УЗС/(2г) и, следовательно, 1/З ь (/З ь е„= — —,—, е- = — —.
2 г>1 ь 2 гг г = — (о- — о) = г( — ~ г (18.9.1) где г(») — известная функция, определяющая закон ползучести. Уравнение равновесия в цилиндрических координатах имеет вид Но, о„— о — '+ " т =О. дг г Внося сюда (18.9.1), получим 2 / ь ~'лг т ° (') )/З (, гг/ г )/З Интегрируем ато уравнение при граничном условии о,(а)= — д: ь ь ( ь(ь)сЬ о =-д — "—. )/а ) ьд (18.9.2) Здесь с — неопределенная пока постоянная интегрирования, мно>китель 'г'3/2 введен для удобства. Определим по формуле (18.8.3) величину », а именно, » = сlг'. Следует заметить, что если е,Ф О, то для достаточно длинной трубы эта величина постоянна, ввести в условие несжимаемости еще одно постоянное слагаемое и проинтегрировать получившееся уравнение не составило бы никакого труда.
Вследствие условия 8,=0 должно быть в соответствии с законом ползучести (18.7.4) при условии (18.8 1) о, — '/,(о, + о,) и по формуле (18.8.3) а 18л. тРуБА под деиствнем ВнутРеннего дАВления 835 Теперь легко находим оа и о,: ( и(и)аи о,= — 9 =) + 'Ь'з ) иа = г(Р), 2 Ь'з (18.9.3) 5 (и) аи =з( ). 1 р'3 (18.9.4) — — Д вЂ”вЂ” ~/з,) и Фа Величина Р зависит от неопределенной пока константы с, которую можно найти из второго граничного условия п,(Ь)= О. Это условие приводит к следующему уравнению: ии Г г(и) аи — д — =~~ ' =О. р'з ) "а (18.9.5) ди Р = 2я~о,гдг = — лс~ о,—,.
Внесем сюда выражение (18.9.4) для о,. Заметим, что при интегрировании первого члена, равного — д, нет необходимости переходить к переменной интегрирования Р, етот член дает составляющую осевой силы, равную — яо(Ь' — а'). Проинтегрируем оставшуюся часть аь 'и иЬ аа иа иа — ) — Й7+ ~ — ои — ) — Й7=— Г (и) ) (и) ч Ь'З,~ З Ьз ;,) ° и иа РЬ "а "а иа Таким образом, Р = — яд(Ьа — а')+ ядЬ' = яда', что и доказывает сделанное ранее предположение. Заметим, что приведенное элементарное решение путем простой перефразировки переносится на случай расчета пластической трубы, просто функция г определяет в атом случае не ско- При любом задании функции г(В) квадратуры могут быть выполнены хотя бы численно.
Таким образом, формулы (18.9.2)— (18.9.5) полностью решают задачу. Остается проверить утверждение о том, что состояние нчоской деформации осуществляется В трубе с доньями. Вычислим осевую силу ь "ь з 10.10. ползучесть ВРАщАющкгося дискА 637 усилия специалистов были направлены на разработку методов последовательных приближений, пригодных и достаточно удобных для ручного счета. В реальном диске всегда существует неоднородное температурное поле, поэтому параметры, фигуркрующие в принятом законе ползучести, представляют собою функции радиуса. Диск имеет аеременную толщину Ь(г), при этом из технологических и конструктивных соображений профиль делается таким, что функция Ь(г) не ~допускает простого аналитического аадания вЪ всей области ее определения.
Не останавливаясь на описании метода последовательных ариближений, которое следует искать в специальной литературе, аоясним его идею. Из дифференциального уравнения равновесия, составленного с учетом переменности толщины, радиальное напряжение о, определяется как некоторый функционал от а,: о, = Г,(о,). После этого из уравнения совместности деформаций и закона ползучести определяется а, как функционал от а, и о„, содержащий неизбежным образом константу С1 О, = г1(О„О„С). К решению полученной системы уравнений применяется метод последовательных ариближений, за исходное приближение выбирается некоторое заданное распределение напряжения о„.
Коли функционал Р, определяется единственным образом, то функционал г", может быть представлен в различных формах, от выбора вида этого функционала зависит быстрота сходимости процесса последовательных приближений. Нужно отметить, что в некоторых вариантах этот метод дает поразительно быструю сходимость.
Здесь мы изложим идею метода прямого численного интегрирования, который при современных вычислительных средствах реализуется достаточно быстро и просто. В диске возникает плоское напряженное состояние, характеризуемое главными напряжениями о, и о,. Введем вместо них две другие переменные, а именно, г = о, и угол О так, что а, = — гз!п(0 — —,), а = =гз1п(0+ — '. ). (18.10.1) (/3 (, 6)' (гЗ (, 6) Внося в выражение для а, 2 2 0 оо = о„+ аэ — а,ае, мы получим тождество а=о,. Вычисляя компоненты скорости деформации по формулам (18.8.2), найдем 3 е = — — исоа(0+ — ), е„= — осоз(0 — — ). (18.10.2) 2 ( 6)' э 2 ( 6)' При о, = сопз1 формулы (18.10.1) определяют в плоскости о„о, гл.!е.ползучесть метлллов 638 эллипс, каждая точка которого может быть помечена определенным значением О.
На ~рис. 18.10Л показана часть этого эллипса с пометками значений О для некоторых точек. Эта схема бывает полезной при установлении области изменения угла О. Дифференциальное уравнение равновесия в предположении постоянства распределения напряжений по толщине получается так же, как в я 8.12, с тон разницей, что вместо величин о л' в уравнеяия входят величины йо. Кроме того, о' добавляются силы инерции, В результате уравнение получается следующим: Ы о„— о ~,.
(йо„)+й " + реоейг=О. Примем за независимую переменную величину 1= 1п ь" -— — 1П$. Рис. 18.103 Здесь через Ь обозначен наружный радиус диска. Вместо толщины й введем безразмерную функцию ь ц ==-)п —. о Здесь й, — произвольная константа, имеющая размерность длины, некоторая характерная толщина диска. Внесем выражения (18.10.1) в уравнение равновесия, заменим дифференцирование по г дифференцированием ло ь и введем переменную т1 вместо й. После некоторых преобразований получим следующее уравнение: — соя (Π— — ) + ( — + — ) з1п (Π— — ) — соя О -1- + т — ехр(2ь — ф) = О, ф=-)п —, т = — ' (18.10,3) 2 о ' о (о — произвольная константа).
Поскольку е, = Иг, е„= Ыгlе(г, скорости е, и з, удовлетворяют следующему уравнению совместности: ое, е, — е„ вЂ” + — "=О. йг г Положим з=)п(о(ее), где е — произвольная константа, имеющая размерность скорости деформации. Внося в уравнения совместности выражения (18Л0.2) и учитывая введенное обозначение, получим — з(п(9 — — ( — — соя(9 — —,) — "г'3 сояО = О. (18Л0.4) е1ь (, 6/ оь ( 6/ Система уравнений (18.10.3) и (18.10.4) достаточно проста для ее численного решения. Неудобство состоит в том, что гранич- о 18.1!.
УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ ПЛАГЛИН 639 ные условия поставлены на внутреннем, радиусе г = а и наружном радиусе г = Ь, поэтому приходится применять метод прогонки, задаваться вторым граничным условием при г = и, например, и повторять расчет до тех пор, пока не окажется выполненным условие при г = Ь. Для расчетов подобного рода существуют стандартные программы. Подобные методы, основанные на представлении напряжений и перемещений формулами типа (18.10.1) и (18Л0.2), применялись для задач пластичности и ползучести Соколовским и Малининым. 5 18Л1. Установившаяся полэучесть пластин Принимая для пластины гипотезу нормальных элементов Кирхгофа, положенную в основу технической теории нагиба упругих, пластин (см.
3 12.4), мы представим поле скоростей деформаций ~в пластине следующим образом: о сад = сад знад ЗДесь сад — скоРости ДвфоРмаЦии сРеДинной повеРхности, к о— скорости изменения кривизны, которые связаны с прогибом п1(х,.) следующим образом: као = ю,ао. Если закон ползучести для материала известен, то известен потенциал напряжений П(е„о), так что напряжения выражаются следующим образом: дг1 Сад = —. деад ' Теперь мы можем написать дет Оад =— деад Проинтегрируем обе части этого равенства по г от — го до +11.
В левой части получится усилие Т м которое выражается следующим образом: +А ( дУ да'о таз= ) „ деад деад о о (18Л1.2) Вследствие принятого выражения для е„о функцию П можно рассматривать как функцию е Э и кое, содержащую з как парао метр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
