Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 131

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 131)

Не касаясь многочисленных уточненных применительно к специальным материалам форм соотношения (19.21), остановимся 9 шя. головин пгочности для хгтпких твл 655 на простейшем п достаточно универсальном условии — условии Мора. Оно формулируется следующим образом: Разрушение происходит тогда, когда на некоторой площадке с нормалью п величина касательного напряжения достигает критического значения, зависящего от действующего на этой площадке нормального напряжения т„= 7'(о.). Чтобы сформулировать условие (19.2.2) в терминах главных напряжений, например, нам будет удобно прибегнуть к геометрической интерпретации с помощью круговой диаграммы Мора Рнс. 19.2.2 ($7.6).

Если главные напряжения о,) оз ) ан то мы молзем построить три окружности Мора, как это показано на рис. 19.2.1. В указанном параграфе было сделано замечание о том, что напряженное состояние на любой площадке изображается точкой с координатами о„и т„, лежащей в заштрихованной области. Там мы упомянули об этом фанте без доказательства. Здесь нам понадобится только одно, а именно то, что изображающая точка не может выйти за пределы большого круга, построенного на напряжениях а, н о,. Для доказательства предположим противное. Тогда отрезок МС (рис.

19.2.2) больше радиуса круга Мора, и мы имеем следующее неравенство: (19.2.3) После элементарных преобразований это неравенство примет следующий вид: а' — о. (о, + о,) + а,а, ) О. Здесь о' = оз + тз. По определению о„и т„представляют собою нормальное и касательное напряжения па некоторой площадке, следовательно, 3 3 я з г г 3 3 2 з а = огпг + азпз + азпз о = а пг + азпг + озпз ° ГЛ. 22. МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 656 Внеся эти выражения в неравенство (19.2.3), получим ар, (1 — и1 — лз) + (аз — а, (аг + а,) ] и'2 ) О.

Но направляющие косинусы связаны соотношением л, +лз+пз =1. 2 2 2 Поэтому выражение в первых скобках равно я,. Сокращая на эту величину, придем окончательно к следующему неравенству: а',— аз(а, + а,) + а,с'2)0. (19.2.4) Но это неравенство невозможно. Действительно, квадратный трехчлен относительно о2 в левой части неравенства имеет корни о, = о, и о, =а„при о, =~ этот трехчлен равен +, поэтому в интервале о,) а2~ о, он отрицателен.

Таким образом, исходное предположение привело к противоречию. 11роводя аналогичные рассуждения, мы можем доказать, что эта точка лежит вне каждого из двух малых кругов Мора, но это нас сейчас не интересует. Условие т„=/(а.) изображается некоторой кривой в плоскости о, т, той же плоскости, в которой построены круги Мора; эта кривая изображена на рис. 19.2 1. Теперь проверка прочности производится просто, если окружность большого круга Мора не касается предельной кривой, как показано на рисунке, разрушение не произойдет, условие прочности останется ненарушенным. Если круг Мора коснется предельной кривой, то происходит локальное разрушение.

Теперь ясно, как построить кривую т =/(а„). Нужно произвести испытания до разрушения при однородном напряженном состоянии при различных отношениях о,: а, и построить соответствующие окружности Мора. Огибающая этих предельных окружностей будет предельной кривой. Существенно заметить, что промежуточное по величине главное напряжение о, совсем не фигурирует в условии прочности. Это не вполне соответствует данным опыта и служит определенным недостатком теории. В действительности семейство предельных окружностей Мора не всегда имеет огибающую.

Однако ошибка, связанная с пренебрежением ролью о„обычно не слишком велика. Условие того, что окружность Мора, построенная на главных напряжениях о, и о„касается некоторой предельной кривой, может быть записано в виде (19.2.5)' В(оо а2)=0. Подобно тому, как это делалось для плоской задачи теории пластичности, можно принять за базисные переменные величины р =(а, + а,)/2 и т =(о, — о,)/2 и записать условие прочности 9 19.2. УСЛОВИЕ ПРОЧНОСТИ ДЛЯ ХРУПКИХ ТЕЛ 657 Мора в виде = а(р).

(19.2.6) Совершенно аналогично записывалось условие пластичности для плоского напряженного состояния в 3 15 8 (уравнение (15.8.2)). Обычно проще всего бывает определить прочность при растяжении а„ и прочность при сжатии О„. Построив предельные окружности Мора для растяжения и сжатия, проведем к ним Рнс. 19.2.3 Рис.

19.24 касательную и предположим, что эта прямолинейная касательная служит предельной огибающей Мора. Рассматривая всевозможные окружности, касающиеся, например, прямой АВ на рнс. 19.2.3, найдем, что функция л в этом случае линейна. Действительно, из подобия треугольников ОАВ и КСВ следует СК: АО = СВ АВ. Но СК = (О, — Ов) !2 = т, СВ = О — ОС = О — р, отрезки АО, ОВ и АВ фиксированы заданием предельной кривой. Написанная выше пропорция принимает следующий вид: т: АО =(ОВ р):АВ. Отсюда и следует линейное соотношение между т и р или между О, и а,. Это соотношение иногда бывает удобно записывать следующим образом: вр 119 — Овр.

(19.2.7) Овс Развивая ту же идею, которая заставила перейти от условия пластичности Треска к условию пластичности Мизеса, можно предположить, что предельное состояние осуществляется тогда, когда возникает неблагоприятная комбинация октаэдрического касательного напряжения и октаэдричесного нормального напряжения. Условие (19.2.6) при этом заменяется следующим: т, = 7'(О). (19.2.8) Соответствующие теории развивались Шлейхером, Надаи, Ягном. ГЛ.

19. МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 658 Уравнение (19.2.7) дает удовлетворительные результаты для напряженных состояний, заключенных между одноосным растяжением и сжатием. Далекая экстраполяция его за эти пределы сомнительна. Опыты на сжатие при наложенном гидростатическом давлении позволяют уточнить форму предельной огибающей слева, в области всесторонних сжимающих напряжений (рпс.

19.2.4). Однако здесь возникает трудность и известная неопределенность, которая разъяснена в следующем параграфе. Опыты с наложением всестороннего растяжения осуществить не удается, во всяком случае положение точки М, которая должна была бы определять искомое сопротивление отрыву при всестороннем растяжении, определить экспериментально невозможно. 5 19.3. Хрупкое и вязкое разрушение Свойство разрушаться вязко или хрупко, с заметной пластической деформацией или без нее, не может рассматриваться как абсолютное и неотъемлемое свойство материала.

При наложении всестороннего сжатия такие хрупкие в обычных условиях материалы, как мрамор или песчаник, деформируются пластически Рис. Г9Л.2 Рис. $9.33 или текут, разрушение их происходит после большой пластической деформации. Определение тех истинных напряжений, при которых происходит разрушение в пластической области, с одной стороны, встречает экспериментальные трудности, с другой— применимость критерия типа (19.2 1) для разрушения в пластической области вызывает определенные сомнения.

По-видимому, здесь существенную роль играет величина пластической деформации, которая в уравнение (19.2.1) не входит. Таким образом, строя предельные круги Мора для разных напряженных состояний, мы получим огибающую, касание которой окружности Мора соответствует разным физическим явлениям. Левая часть кривой, показанная на рис. 19.3.1, соответствует наступлению пластического состояния, правая — хрупкому разрушению.

Соединяющий нх участок не вполне опредепен. З 1ЗЛ. СОСТОЯНИЕ ВВЛИЗИ КОНЧИКА ТРЕ1ЦИНЫ 999 В работах Иоффе, Давиденкова, Фридмана п других авторов развивалась мысль о том, что существует два типа разрушения— разрушение вследствие среза — пластическое и вследствие отрыва — хрупкое. Схематически это можно показать на графике, приведенном на рис.

$9.3.2. Если окружность Мора касается вертикальной прямой 1 — 1 и пе пересекает горизонтальную прямую 2 — 2, раарушение происходит вследствие отрыва п критерий разрушения записывается следующим образом: о,=о„о,) О. Сопротивление отрыву о, считается постоянной материала, подлежащей опытному определению. Если окружность Мора касается горизонтальной прямой, то наступает текучесть при касательном напряжении течения т,.

Некоторые авторы вводят представление о сопротивлении сдвигу т,) т„т. е. о касательном напряжении, при котором происходит разруп1ение. Из физических соображений делается заключение о том, что сопротивление отрыву слабо зависит от температуры и скорости испытания, когда как сопротивление пластической деформации от этих факторов зависит сильно. Понижая температуру или увеличивая скорость, можно поднять прямую 2 — 2 и добиться того, чтобы хрупкое разрушение наступало уже при простом растяжении. Другой путь состоит в том, чтобы создать в Образце такие концентраторы напряжений, которые создают локальное напряженное состояние типа всестороннего растяжения.

Следует заметить, что изложенная простая схема носит довольно грубый и приближенный характер. Нет уверенности в том, что сопротивление отрыву действительно представляет собой константу и не зависит от вида напряженного состояния. В действительности чистый отрыв, т. е. разделение тела по исходной поверхности, по-видимому, не наблюдается. Прилегающая к поверхности отрыва зона, хотя бы и очень небольшой глубины, оказывается пластически деформированной. Различные экспериментальные определения сопротивления отрыву не дали надежных результатов, поэтому изложенная здесь схема в значительной мере принадлежит истории. Однако представление о существовании сопротивления сдвигу и сопротивления отрыву сыграло определенную роль для разъяснения физической стороны вопроса о Разрушении.

Характеристики

Список файлов книги