Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 132
Текст из файла (страница 132)
5 19.4. Напряжения и перемещения вблизи кончика трещины Основные идеи так называемой линейной механики разрушения уже были сформулированы ранее в главах, относящихся к теории упругости. Так, в э 9.4 была рассмотрена трещина конечной длины в поле сдвига, было выяснено, что вблизи тре- 660 Гл. 19. мехАникА РА3Рушения щины на оси, служащей продолжением трещины, напряжения выражаются следующей формулой: т=, г'т + 0(1), (19.4.1) $/2яг тогда как перемещения имеют следующий вид: (19.4.2) Здесь г — расстояние от кончика трещины, измеренное вдоль линии, на которой расположена трещина, в формуле (19.4.1) зто расстояние отсчитывается от кончика вперед, т. е. в неразрушенный материал, в формуле (19.4.2) оно отсчитывается назад.
Совершенно аналогичным образом в 3 10.4 было показано, что трещина в теле, находящемся в условиях плоского напряженного или плоского деформированного состояния, имеет ту же особенность для напряжений, что и в формуле (19.4.1). Соответствующие формулы для 1 растяжения в направлениИ, перпендикулярном трещине, будут лг у) ааа =, иа=Кг — я )/2яг 'г (19.4.3) (формулы (10.4.6)).
В том же гис. 19.4.1 2 10.4 была рассмотрена тре- щина в поле сдвига в плоскости трещины. Формулы для этого случая имеют точно такой же вид, что и формулы (19.4.3), а именно, Кп 1 — У ч/2г о = — и =Кп — ф~г —. 1/2вг 99 Индексы 1, П и П1 принято относить к различным схемам нагруження, изображенным на рис. 19.4.1. В 2 9.5 для трещины, находящейся в условиях антиплоского напряженного состояния, было показано, что освобождение энергии выражается через Кпа. Говоря об освобождении энергии, мы имеем в виду то, что при увеличении длины трещины упругая энергия тела уменьшается.
Производная от энергии по длине и'Г/ — — =6 ~И имеет размерность силы, поэтому величину О можно назвать силой сопротивления продвижению трещины, не вкладывая в это 9 19эх сОстОяние ВБлизи кончикА тгещины 6.61 понятие какое-либо содержание, выходящее за рамки того, что дается в данном определении. Анализ 9 9.5 повторяется буквально для условий нагружения типа 1 и типа 11. Если одновременно действуют растяжение и сдвиги в двух направлениях, соответствующие работы совершаются независимо и мы получаем общую формулу 6 = — 1(1 — т) (К19 + К191) + Кги].
(19.4.4) Асимптотические формулы (19.4.1) — (19.4.3) и следующее из них уравнение (19.4.4) пригодны не только для того простейшего случая, для которого онл были выведены. При произвольной нагрузке и при произвольной форме трещины особенность для напряжений вблизи кончика будет иметь вид 1-"', а коэффициент интенсивности, конечно, будет зависеть от напрузки и от формы трещины. В рассмотренном ранее случае для первой формы было найдено Кс = ОУяа, где 2а — длина трещины.
Совершенно такую же структуру сохраняет выражение коэффициентов интенсивности Кн и Кпс с соответствующей заменой нормального напряжения на бесконечности Рис. 49.4.2 о касательным напряжением т. Трещина в поле растягивающих напряжений представляет, пожалуй, наибольший интерес с точки зрения приложений, поэтому сейчас мы рассмотрим более общую задачу о трещине, края которой небут произвольную нагрузку р(х,), одинаковую как на верхнем, так и на нижнем крае разреза (рис.
19.4.2). В 9 10.4 были получены формулы для перемещений и напряжений в полуплоскости, содержащей симметрично нагруженную трещину. На участке оси х„х,~~ — а, а], задано напряжение о„= — р(х,), вне этого отрезка и, =О. Из формул (10.4.2) и. (10.4.3) следуют такие граничные условия для функции ср(г): Вес]1 (г)= 2, х е=] — а, +а], 1ш 1р (г) = О, х, Ф ] — а, + а]. Второе условие можно продифференцпроватгн в результате мы приходим к краевой задаче для производной 49; на участке, занятом трещиной, задана ее действительная часть, вне этого участка мнимая часть равна нулю. ГЛ. 19. МЕХАНИНА РАЗРУШЕНИЯ 662 Задача о нахождении аналитической в полуплоскости функ- ции комплексной переменной з при условии, что на отрезкал границы х, = 0 заданы попеременно действительная нли мнимая часть функции, решается с помощью формулы Келдыша — Се- дова (см., например, Лаврентьев, Шабат).
Разобьем границу на отрезки чередующимися точками а„и Ь„положим Ке7'(х,), х, еп [аю Ьз), з( )= з 1ш ~ (хз), хз е= (Ью аз+9), а з (з) = П ~ „), Ь(з) =П(з — Ьз) (з — ад) ~ . Тогда в верхней полуплоскости -~-СО ( ) ~ ( ) а «) Ж + 9 + з' ' " + -~' (19 4 5) лз З (з),) з — з А (з) В нашем случае а,= — а, Ь, =+а, з(х,) = — р(х,), х,ш[ — а, а), 1 з(х,) = 0 вне этого отрезка и формула (19.4.5) приводится к следующей: -а з — а при г- а <9'( ) = — — ~ р(8) 1I — з[(+ — 9, 2лзз л ' с+а з -а Для того чтобы перемещение было однозначно, вычет функции ~э'(з) в бесконечно удаленной точке должен быть равным нулю, в противном случае в формулах (10.4.2) неизбежно появятся логарифмические члены.
Из этого условия находим 1 ( ° lз — а у = — ) р(~) у — й. зя) 3 ~ з+а а (19.4.7) Нас будет интересовать особенность в кончике трещины, например при э=а. Заметим, что в формуле (19.4.6) интегральный член остается ограниченным при э = а, слабые особенности типа (з — а) и' в подынтегральном выражении и перед интегралом взаимно компенсируются. На самом деле всегда можно выбрать такую функцию р(з) комплексной переменной з, что р(з) представляет ее значение на отрезке [ — а, а] действительной оси.
Тогда этот интеграл представляет собою интеграл Коши, его 9 19.1. СОСТОЯНИЕ ВБЛИЗИ КОНЧИКА ТРЕЩИНЫ 663 значение равно значению подынтегральной функции при 1 г и сингулярный множитель исчезает. По формуле (10.4.3) напряжение о„на оси х, равно удвоенной действительной части гр'(г)1 (О„)яо о = 2Ке1Р'(хт). 'Положим г=а+9, 9«а, ж —, 1 т' гз — аз У2а$ Следовательно, в окрестности кончика трещины сингулярная часть напряжения ог, есть 2уо тт и 1 Сов = аУ У а Внося сюда выражение для 7, (19.4.7) и сравнивая с (19.4.3), находим +а кг = — р(1) — а. (19.4.8) Для правого конца трещины подынтегральное выражение ааменится на р(1) зт — Если р(1)— т/ а+1 четная функция, то, умножая числитель Р и знаменатель подынтегрального выражения на уа — 1 и замечая, что интеграл от нечетной функции +е Р )Р() = я р(1) '" = О„ Уа~ — 1 Рис.
19.4.3 преобразуем выражение (19.4.8) к следующему виду: е 31/' Г Уаз сз о (19.4.9) Рассмотрим два простейших примера. а дс и 1.р=сопзс=о, ~,~- = 2, )11= оуиа, иы получили уже У а — 1 о известный результат. 2. Трещина растягивается двумя симметрично приложенными силами (рис. 19.4.3). По формуле (19.4.9) Р Кт = У 664 ГЛ. ! З. МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ й 19.5. Линейная механика разрушения Основное предположение линейной механики разрушения состоит в том, что трещина распространяется тогда, когда величина коэффициента интенсивности достигает критического значения, характерного для данного материала.
Совершенно эквивалентная формулировка этого предположения состоит в том, что сила 6, движущая трещину, превосходит критическое значение— сопротивление распространению трещины. Формула (19.4.4) утверждает эквивалентность двух этих формулировок. Что касается механического содержания принятой гипотезы и всей теории в целом, на этот вопрос можно ответить по-разпому, а в рамках формальной теории вообще его можно ие ставить. Тем не менее некоторые соображения могут быть высказаны. В оригинальной работе Гриффитса предполагалось, что освобождающаяся при росте трещины упругая энергия расходуется на увеличение поверхностной энергии: если т есть поверхностная энергия ка единицу площади, то сила сопротивления движению трещины С. = 2». Анализ Гриффитса в течение долгих лет считался безупречным, хотя в нем содержится некоторый органический дефект.
Энергпя поверхностного натяжения вводится в уравнения теории как нечто данное и постороннее по отношению к упругому телу. Ба самом деле, поверхностпая энергия есть энергия поверхностного слоя, свойства которого в той или иной мере отличаются от свойств остального материала и при решении задачи теории упругости этот поверхностный слой нужно как-то моделировать. Простейшая схема будет состоять в том, чтобы рассматривать поверхностный слой как бесконечно тонную пленку с постоянным натяжением т. Если контур свободного отверстия имеет кривизну, то поверхностное натяжение дает нормальпую составляющую силы на контуре.
При переходе к разрезу, в вершипе которого кривизна становится бесконечно большой, поверхпостное натяжение создаст сосредоточенные силы. В результате особенность у кончика трещины оказывается более высокого порядка, а именно, вида 1/г, а не 1/Уг. На зто обстоятельство было обращено внимание Гудьером, однако полное решение задачи было опубликовано 1яного позже. В связи с этим можно выразить сомнение, связанное с тем, в какой мере пригодно представление о поверхностном натяжении в твердом теле как о натянутой бесконечно тонкой пленке, а особенно в какой мере эта идеализация сохраняет смысл при переходе к пределу, когда отверстие превращается в бесконечно тонкий разрез.
Измеренные методом раскрытия трещины значения поверхностной энергии удовлетворительно совпадают с другими ее оценками для стекол. Для металлов измеренная величина С, оказывается иа три порядка выше, чем поверхностная энергия. Поэтому здесь приходится искать другие механизмы. У пластичных ме- $19В. ЛИНЕЙНАЯ МЕХАНИКА РАЗРУПЖНИЯ 655 галлов в окрестности кончика трещины появляется пластическая область. Протяженность ее о можно грубо оценить по первой формуле (19.4.3). Полагая в ней а„=от, К Ква г=д, получаем следующую оценку: о) (19.5 1) от Конечно, в формуле (19.5 1) должен фигурировать числовой множитель, который нельзя получить из формулы (19.4.3); для этого нужно решать соответствующую упругопластическую задачу.
Необходимое условие применимости линейной механики разрушения к расчету металлических элементов состоит в том, чтобы размер д был много меньше, чем длина трещины, толщина образца и расстояния от конца трещины до свободной поверхности. Тогда можно считать, что освобождающаяся упругая энергия расходуется на работу пластического деформирования, совершаемую в малой пластической зоне перед кончиком трещины.
Пластически деформируемый материал образует тонкий слой вблизи поверхностей трещины. У хрупких мате- В У Ы 42 .",Ф, дВ .'уэ Рис. 19,5,2 Рис. 19.5Н риалов, например, у графита, продвижению магистральной трещины предшествует распространение направленных в разные стороны и ветвящихся микротрещин. Затруднительно подсчитать из рациональных соображений затрачиваемую на это работу, однако суммарную работу на единицу длины или силу можно непосредственно определить из макроэксперимента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
