Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 134
Текст из файла (страница 134)
МЕХАНИКА РАЭРРШЕНИЯ 670 9 19.7. Линейная модель пластической зоны Почти одновременно Дагдейл, с одной стороны, Леонов и Панасюк, с другой, предложили формально эквивалентные модели концевой зоны трещины. Предположение Дагдейла относилось к задаче о трещине в тонком листе, когда можно представить пластическую зону в виде узкой полосы впереди трещины. Действительно, пластическая деформация представляет собою сдвиг в плоскостях, составляющих угол я/4 с граничными плоскостями пластины, в терминах теории пластичности при плоском напряженном состоянии локализация пластического течения в узкой полосе соответствует параболической точке в решении уравнений теории пластичности. Математигл ческая модель соответствует схе2с ме, изображенной на рис.
19.71, относящемся к случаю равномерРис. 19.7.1 ного растяжения вдоль оси у напряжением о„. Трещина с первоначальной длиной 2а при растяжении порождает пластические зоны, мыслимые как отрезки нулевой толщины. В этих пластических зонах действует постоянное напряжение, равное пределу текучести от. Будем рассматривать вместо трещины длиной 2а трещину длиной 2с, отрезки которой а < ~х~ ( с загружены постоянной нагрузкой р(х) = от. По формуле (19.4.9) коэффициент интенсивности 2')/с /я .
а) Кг = — — 1 — — агсз(п — 1о,. ~2 с/ т' От напряжения п„коэффициент интенсивности на конце трещины длиной 2с будет по той же формуле К1 = а Упс. Требуя, чтобы при х= ~с напряжения оставались конечнымп, мы придем к следующему уравнению: я а яа — — агсз!п — = —. 2 с 2а Отсюда (19.7 1) — = соз Положим с — а д, где с( — протяженность пластической области. Если пал, то а/с~ 1 — 11/а.
При малых с) справедливы предположения линейной механики разрушения; значит, имеет определенный смысл величина коэффициента интенсивности. Разла- Э !Кх ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗОНЫ 671 тая в (19.7.1) правую часть в ряд и удерживая лишь дза члена разложения, получим следующую приближенную формулу для оценки малой протяженности пластической зоны: д = — — „. (19.7.2) Эта оценка совпадает с той, которая была получена в т 19.5 пз соображений теории размерностей. В условиях плоской деформации или в более сложных случаях, когда толщина плиты не очень мала, но и не слишком велика, оценка сохраняет силу, но числовой коэффициент меняется.
Используя формулы плоской задачи теории упругости, можно определить величину б, или раскрытие трещины. Мы приведем здесь соответствующую точную формулу без вывода: (19.7.3) Отсюда при малых значениях о„/о„когда пластическая область мала, следует приближенная формула б, = — '(1 — т') = 2 — '. о и О (19.7.4) Заметим, что эту формулу легко получить с помощью инвариантного У-интеграла.
Выберем путь интегрирования так, как показано на рис. 19.7.2 жирной линией. На этом пути С7у=О, овп,=о,им и,с7з= де, в интеграле (19.6.3) остается только производная от перемещения ди,/де и ог по формуле (19.6.5) мы получаем л 6, = — ((и7) А — (и,),) о„ откуда немедленно следует формула ог (19.7.4). В действительности острый конец Ряс. 19.7.2 трещины перед началом ее продвижения затупляется, величина раскрытия, предшествующего распространению трещины, может быть измерена.
В реальных условиях структура соотношения (19.7.4) сохраняется, меняется лишь числовой коэффициент, который зависит от формы и размеров образца. Поэтому существует пропорциональность между силой сопротивления движению трещины 6, или квадратом коэффициента интенсивности К,', с одной стороны, и велпчиной критического раскрытия трещины б„с другой. Были предприняты значительные усилия по разработке методов определелия критического раскрытия трещины для пересчета величин А'. или К,. Большие надежды, возлагавшиеся на этот метод, связаны с тем, что б, можно определять на малых образцах, тогда ГЛ.
$9. МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 672 как для определения К„ необходимо выполнение условий, оговоренных в 1 19.5. Зги условия для сталей с невысоким пределом текучести могут быть очень стеснительными. Волна энтузиазма, связанного с методом б„ достигла максимума около 1970 г., но в последнее время пошла на убыль. Корреляция между 6, и характеристиками вязкости разрушения устанавливается лишь для определенных классов материалов при жесткой стандартизации условий испытаний, и вряд ли можно говорить о б, как о константе материала.
5 19.8. Длительное разрушение при высоких температурах. Вязкое разрушение Теория длительного разрушения илн длительной прочности металлов при высоких температурах является в известной меро контрастной по сравненшо с описанной выше теорией распространения трещин в хрупких или упругопластических телах. При длительном действии нагрузок при повышенной температуре металл ползет, явление ползучести было описано и проанализировано в гл. 18.
Там было отмечено, что если уровень напряжений достаточно высок, то, начиная с некоторого момента, скорость ползучести начинает возрастать (третья фаза ползучестя) и процесс ползучести заканчивается разрушением образца. Основная информация о длительной прочности материала получается в результате испытания на длительную прочность при растяжении. Образец нагружается растягввающей силой, определяется время, по истечении которого образец разрушается. Результа- 4 ты испытаний представляются в виде так называемой диаграммы длительной прочности, типичная диаграмма представлена на рис.
19.8Л. По оси ординат откладывается логарифм разрушающего напряжения о, по оси абсцисс— логарифм времени до разрушения. В логарифмических координатах эта ди- 191 аграмма состоит обычно из двух нряРвс. 19.ВЛ молинейных участков, участок АВ с меньшим наклоном соответствует вязкому разрушению, сопровождаемому большой пластической деформацией. На участке ВС прн меньших напряжениях и соответственно больших длительностях деформации разрушения невелики и разрушение можно назвать хрупким пли квазихрупким.
Заметим, что напряжение о относится к первоначальной площади поперечного сечения, поэтому на участке вязкого разрушения по оси ординат в логарифмической шкале откладывается условное напряжение. 878 6 19.9. длительное ВязкОе РА3Рушение В действительности приведенная на рис. 19.8Л схема реализуется не всегда, у некоторых материалов отсутствует участок вязкого разрушения, у других, наоборот, во всем диапазоне напряжений разрушение носит вязкий характер. Не всегда переход от вязкого разрушения к хрупкому происходит сразу в точке В диаграммы, В окрестности этой точки обычно бывает область смешанных разрушений, которой на диаграмме соответствует показанная 6 штриховой линией кривая.
Линейный характер зависимости ! разрушающего напряжения от времени до разрушения подсказывает выбор и к — — — —-- определяющих уравнений при анализе процесса разрушения. Эти уравнения 1 должны быть такими, чтобы окончательные зависимости представлялись степенными функциями. Рассмотрим способы феноменологического описания того и другого типа разрушений. Если разрушение происходит при Ряс. 19.8.2 большой деформации, с участком неустановившейся ползучести можно не считаться и предполагать скорость ползучести аависящей только от напряжения.
При этом удобно принять логарифмическую меру деформации е = 1п —. о Здесь х — длина некоторого отрезка, направленного вдоль оси растяжения, х, — его начальная длина. Уравнение ползучести, как и в $18.7, мы запишем в следующем виде: (19.8Л) е = я'(о)а+ и(о).
Если образец растягивается постоянной силой Р, то условное, т. е. отнесенное к первоначальной площади сечения, напряжение есть О, = Р!Р,. Из условия несжимаемости материала Р,х, = Рх. Отсюда ~'9 — = — = ехр(е). р Поэтому истинное напряжение равно О о, ехр(е). (19.8.2) Исключая с помощью (19.8.2) скорость деформации е из (19.8Л)', ГЛ. 19.
МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 674 получим дифференциальное уравнение для о, которое легко интегрируется, а именно, о 1/о — д' (о) (19.8.3) и (о) оо Диаграмма деформирования реальных материалов обычно такова, что при некотором напряжении о =- аз числитель подынтегрального выражения обращается в нуль. Соответствующее значение с по формуле (19.8.3) мы обозначим через 1ю Это время и следует принять за время разрушения.
Действительно, график зависимости о от г по уравнению (19.8.3) подобен изображенному на рис. 19.8.2 (кривая 1), при Г =- $ скоростьудлннениястановится бесконечно большой. Заметим,что условие — — д'(аа) = 0 о встречалось нам при рассмотрен1ш вопроса об устойчивости растяжения пластического стержня в з 411. Критическому напряжению о соответствует определенная критическая деформация сю определяемая из формулы (19.8.2).
Таким образом, процесс ползучести устойчив до того момента, когда будет достигнута вследствие ползучести критическая деформация ез. Это — дефор« мация равномерного растяжения. Фактически при е )ез происходит образование шейки и мгновенный разрыв. Пренебрегая мгновенной пластической деформацией, мы получим вместо (19.8.3) следующее уравнение: О оо (19.8.4) оо Здесь верхний предел интегрирования принят равным бесконечности, что соответствует превращению образца в бесконечно длинную и бесконечно тонкую нить. Графин зависимости о от ~ по уравнению (19.8.4) представлен на том же рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
