Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 133
Текст из файла (страница 133)
Символом К„ принято обозначать критический коэффициент интенсивности, определенный в условиях плоской деформации. Для того чтобы в пластической зоне действительно с достаточно хорошим приближением воспроизводились условия плоского деформированного состояния, необходимо, чтобы толщина образца была значительно больше, чем размер пластической зоны Ы. Так, проект британского стандарта и некоторые ведомственные нормы, приня- 45 ю. н.
Расотвов ГЛ. 99. МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ 666 тые в Советском Союзе, рекомендуют в качестве достоверных определения Км па образцах, у которых толщина, длина трещивы и расстояние от копчика трещины до свободной поверхности не меныпе, чем 25 (К„/от)'. Наиболее распространенпый тип образца, применяемый для определения Кп, показан схематически на рис.
19.5.1. Это — массивный образец, испытываемый па внецентренное растяжение. Первоначальный надрез продолжается усталостной трещиной, которая создается в результате приложения пульсирующей нагрузки. Фиксируется нагрузка, при которой происходит страгивание трещины.
Для того чтобы определить величину К|„соответствующую моменту страгивапия трещины, нужно иметь решение задачи теории упругости для образца принятой формы. Для стандартных образцов такие решения были получены численными методами, результаты представлены в виде аппроксимирующих формул, графиков или таблиц. Если обозначить через Р, силу, при которой сграгивается трещина, то критический коэффициент интенсивности находится по формуле Размеры 1, Ь и ~ показавы на рис.
19.5 1. На рис. 19.5.2 приведен типичный график атой функции применительно к схеме испытания рис. 19.5.1. Изложенный способ хорошо проходит для вполне хрупких материалов, например для графита. У стали началу неустойчивого роста трещины предшествует иекоторое ее незначительное подрастание при слабо меняющейся нагрузке, происходящее одновременно с формированием пластической зоны около ее конца.
Позтому диаграмма зависимости раскрытия трещины Л от силы Р перестает быть линейной и фиксация критической силы Р, носит в известной мере условный характер. Соответствующие правила, обеспечивающие по крайней мере воспроизводимость результатов, оговорены в нормативных документах и здесь, естественно, рассматриватья ие будут. й 19.6. Сила сопротивления раскрытию трещины В предположении о том, что пластическая зона или зона разрушения у конца трещины очень мала, была получена формула (19.4.4), выражающая силу сопротивления раскрытию трещины С, через К,.
Ограничиваясь первой модой, перепишем ее следующим образом: 1 — 9 9 Се = — Кг ° 29 Если пластическая зона значительна и распределеиие напряжений существенно отличается от того распределения напряжений, 5 1ЗВ, СИЛА СОПРОТИВЛЕНИЯ РАСКРЫТИЮ ТРЕЩИНЫ 667 которое соответствует слабой сингулярности типа (2лг)-'", то формула (19.6.1) утрачивает силу и сама величина критического коэффициента интенсивности теряет смысл. Но сила 6„ соответствующая освобождению упругой энергии при движении трещины, сохраняет смысл и может быть определена непосредственно.
Один из методов экспериментального определения силы С, состоит в следующем. Рассмотрим, например, схему испытания надрезанного образца на изгиб сосредоточенной силой ~1. Перемещение под действием силы (1 точки ее приложения есть и. Поскольку стержень упруг, перемещение пропорционально силе, Н=ДЬ. Величина б„податливость, зависит от геометрии образца и, конечно, от глубины начальной трещины й Существенно знать эту зависимость б(1), ее можно определить экспериментально, испытывая образцы с разными пропилами. По теореме Клапейрона при действии силы ~ упругая энергия О= —,'Е =-,'Е'6. Если при некоторой постоянной силе 9=К.
трещина придет в движение, освобождение упругой энергии будет дР 6„.8 = — —. д1 Отсюда — О,' гб (19.6.2) Если испытание производится на машине с постоянной скоростью захвата, то трещина устойчиво растет с ростом прогиба прк падающей нагрузке; регистрируя длину трещины и соотнося ее с величиной прогиба, пз одного опыта можно определить податливость б как функцию длины трещины 1 п сразу найти 6.. Но это будет величина С„соответствующая движению трещины, а не страгиванию ее с места. У пластичных материалов эти величины разнятся, у хрупких, например графитов, разница невелика. В недавнее время концепция силы сопротивления продвижению трещины получила некоторое новое развитие и новую иптерпретацию.
В работах Эшелбп, Райса, Черепанова было показано, что величина 6 при определенных предположениях может быть представлена в виде некоторого интеграла по пути, не зависящего от этого пути. Пусть 17(е;Д вЂ” упругая энергия на единицу объема тела. Будем рассматривать движение плоской трещины и относить все величины к слою единичной толщины. Рассмотрим интеграл (19.6.3) ГЛ. $9. МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ взятый по некоторому пути, соединяющему точки А и В. Покажем, прежде всего, что этот, так называемыя «джей-интеграл» не зависит от пути. Очевидно, для этого достаточно показать, что он обращается в нуль для любого замкнутого пути. Заметив, что г«у=я,«1з, преобразуем интеграл по формуле Гаусса— Остроградского ф (П су — оп — ' пе«(~~ = О [ — — ~ом — ') ~ е(х е(у.
(19.6.4) Но дее ду деи де, дх де.. дх " дх и Поскольку выполняются уравнения равновесия де, ди« дх П дх правая часть (19.6.4) обращается в нуль и контурный интеграл равен нулю. Таким образом, е-интеграл не зависит от пути интегрирования. Это свойство сохраняется, если точки А и В находятся на двух сторонах разреза или трещины. Выясним теперь связь е-интеграла, взятого по произвольной дуге АВ, и силы сопротивления движению трещины. Выделим площадь Я, ограниченную дугой АВ и берегами трещины, которую будем предполагать достаточно длинной. Полная энергия части тела (слоя единичной толщины), заключенной в области Я, есть «ее»е = ~ Ю«1х е(у — ~ опи«п Йз.
Я АВ Предположим теперь, что конец трещины продвинулся на расстояние Д, при этом совершена работа раскрытия трегцины С,Л. Эта работа равна изменению энергии части тела 5: (19.6.5)' Чтобы вычислить бег', заметим, что поля напряжений и перемещений около продвинутой трещины останутся теми же самыми; эти поля можно вычислить, заменив координату х на х — Д. Таким образом, бИ7 Ахар ае — п,аз ( Д). р д~т Г д~~ АВ Выполняя интегрирование по координате х и подставляя в з Саи силл сопвотнвлкния васкгытию тгкщипы 669 '(19.6.5), находим г .= — У. (19.6.6)' Х-интеграл пнвариантен, т.
е. не зависит от пути интегрирования лишь в том случае, когда существует потенциал П(ее), т. е. когда тело либо упруго, либо подчиняется уравнениям деформационной теории пластичности. Если считать, что материал в пластической области деформируется в соответствии с уравнениями теории течения, например, то Х-интеграл уже не будет инвариантен и соотношение (19.6.6) потеряет силу. Условие независимосп| с-интеграла от пути интегрирования позволяет оценить характер особенности у конца трещины для нелинейного материала. Пусть, например, напряжения и деформации связаны степенной зависимостью а - е". Тогда 1+в (7- ае а а Пусть на расстоянии г от кончика трещины а ведет себя как г", Тогда первая часть интеграла (19.6.3) будет иметь порядок 1+В л — +1 г (интегрирование по у зквивалентно умножению на г).
Чтобы интеграл не зависел от пути, показатель должен быть равен нулю, отсюда п= —— 1 -С- СС' При а=1 отсюда получится прежний результат л = — 1с'2, для идеально-пластического материала сс = О, п = О и особенность отсутствует. Если пластическая зона впереди трещины велика, диаграмма зависимости перемещения и от силы Д не будет линейной и формула (19.6.1) становится неприменимой. Однако соотношение 1 дГС С,= — —— С дЮ остается верным.
Определяя (7 для разных значений 1 просто как площадь, органиченную диаграммой сила — перемещение, по формуле (19.6.7) можно найти величину С.— силу сопротивления движению трещины. В современной литературе часто говорится, что таким способом находится зкспериментально величина с-интеграла. Это неточно, для упругопластического материала значение интеграла (19.6.3), вообще говоря, зависит от пути и не может считаться механической характеристикой, тогда как величина С, всегда сохраняет некоторый объективный смысл. ГЛ. 19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
