Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 129
Текст из файла (страница 129)
б. Задача установившейся ползучдсти, в результате чего известна функция Я~1~), определяющая скорости установившейся ,ползучести по формулам (18Л2.7). Построим теперь следующую систему уравнений: Р1= — 0 Р и11+а1 др 1+а д()1 ' (18Л2.8) Она имеет ту же структуру, что и система (18Л2.5)', но в ней фигурируют только внешние силы и скорости точек ил приложения. Осталось определить функционал Р первой степени относительно скоростей пластического течения ре Применяя ту же идею, которая была использована при определении параметра д, формулой (18.12.2), заметим, что частные производные дЬ1/дф представляют собою однородные функции нулевой степени относительно ф, поэтому между ними существует тождественное соотношение Функция й может быть сделана однородной функцией первой степени своих аргументов.
Теперь положим Р = ) 12 (г(рн). (18.12.9 Положим х(2) = К,/0„0 = Щ(х). Тогда — = / (х) — х/' (х), ~> =- / (х). д(1 дО Вследствие однородности функции Й Разделим первое уравнение (18.12ЛО)' на второе и учтем Типичная проблема релаксационного типа формулируется следующим образом: к системе приложены две обобщенные силы— сила ф, которая остается постоянной, и реакция закрепления К„которой соответствует зафиксированное перемещение д,.
Определим функцию 1/ таким образом, чтобы было Дало 0)= 0„ О(0, Д,)=~1,. Уравнения ползучести (18Л2.8) запишутся следующим образом: 1 2 (18Л2ЛО) 646 гл. 18. ползучксть мвтАллов введенные обозначения х и ((х). Получим Р1 1 а1 С другой стороны, Рг ()гг02 аугфгх. Теперь выражение параметра упрочнения запишется следующим образом: 1 Р = ~22Д1 ~12(:,' 2 1) дх = ~22()гд(х). (18.12Л1) Прн этом интегрировании было учтено условие ()г(0)'= ф, следовательно, при 8 =0 х = 1.
Это условие всегда можно поставить, определив надлежащим образом обобщенные силы. Теперь второе из уравнений (18.12.10) может быть проинтегрировано, а именно, мы получаем х а ~(п-1К1+а) ага 01 )')жг.).а) () ) а) аг+а 1 22 (18Л2Л2) (18.12ЛЗ) Здесь меры момента и силы выбраны таким образом, чтобы в условии пластичности не фигурировали явно какие-либо константы. Левая часть этого условия неоднородна относительно М и Т, поэтому нам следует найти эквивалентпое однородное выражение. Рассмотрим уравнение тг И вЂ” + — = 1. ,2 о Полагая о=~1, мы получим (18.12.13). Разрешим это уравнение относительно и и положим о = ~1.
Получим 1 (М+ г)~М2 ( 4Т) — ~1 Зто и есть искомый закон релаксации. Что касается перемещения ро оно легко находится в результате интегрирования первого уравнения (18Л2ЛО) . Последнее замечание будет относиться к возможности выбора функции С) однородной первой степени относительно г',)г. Если показатель п достаточно велик, то в качестве функции Ч мож).о бывает принять функцию текучести для задачи предельного состояния. Так, для балки, изгибаемой моментом М и растягиваемой силой Т, условие предельного состояния будет М + Т' = сопз$. Э 18.1Х УСТОЙЧИВОСТЬ ПГИ ПОЛЗУЧЕСТИ Теперь мы можем принять (~ = —. (ЛХ+ УЛэ+ 4Т').
(18.12.14) Выражение (18.12.14) будет однородным первой степени относительно М и Т. 5 18.13. Устойчивость при ползучести Поскольку ползучесть неограничена и деформация при сколь угодно малом напряжении за достаточное время может достичь сколь угодно большой величины, то любой процесс ползучести может быть охарактеризован как неустойчивый.
Рядом авторов (и автором этой книги в том числе) делались попытки построения некоторых условных критериев устойчивости бифуркационного типа. В применении к сжатому стержню это означает следующее. Предположим, что под действием постоянной сжимающей силы стержень равномерно г — Г сжимается. В некоторый момент времени он отклоняется от прямолинейной формы. Если отклопение мало, то уравнения теории ползучести линеаризируются. Вообще говоря, созданный прогиб будет неограниченно расти, но при использовании уравнений теории упрочнения может возникнуть такое положение, что прогиб будет сначала убывать до некоторой величины и только потом начнет расти.
Условие начального убыва- — д 1 2 ния прогиба может трактоваться как условие устойчивости в некотором условном смысле. Вы- Рзс. 18Л3.1 бирая другие типы возмущения, например, предполагая стержень начально искривленным или эксцентрично сжатым, авторы принимали за достижение критического состояния момент, когда на кривой прогиб — время обнаруживалась некоторая характерная точка перехода от медленного его изменения к быстрому. Не касаясь этих результатов, рассмотрим здесь приблия1енное решение задачи о выпучивании сжатого стержня с сечением в форме идеального двутавра. Это сечение схематически изображено на рис. 18.13.1.
Две полки с одинаковой площадью поперечного сечения г/2 соединены стенкой, которая воспринимает перерезывающую силу, но не принимает участия в сопротивлении изгибу. Будем считать, что расстояние между полками велико по сравнению с их толщиноч и распределение напряжений в ннх равномерно, о=о+ в вери ей полке и а 6- в нижней. Тогда )У= —,'Р(О++а-), М=", (О' — а-), Рл. 18, полэтчесть метАллОВ Принимая закон установившейся полаучести в виде (<~ )з положим Лг = —, Ф Ро„' М М= —, 1%а„' тогда о+ = (Ж+ М) о„, о = (Л' — М) о..
Если с — скорость деформации оси стержня, н — скорость изменения кривизны, то скорости деформации верхней и нижней полок будут с+кЬ и е — нй соответственно. Учитывая возможность положительных и отрицательных знаков напряжений и знаков скоростей соответственно, нам будет удобно записывать основной закон ползучести в виде (18.2Л), а именно, е = ~ — ) — (8„= 1).
Поэтому = —, Ц)У+ М~"-'(Л + М) + ~Л' — М/"-'(М вЂ” М)), =Т ~ (18.13Л) Идеальный двутавр заменяет реальный стержень, имеющий две оси симметрии. Площадь Р должна быть, очевидно, та же, что у реального стержня. Осталось подобрать размер й так, чтобы при изгибе идеальный двутавр вел себя так же, как реальный стержень. Предположим, что последний имеет две оси симметрии, высота его Н и переменная ширина Ь.
Положим Здесь у — расстояние от оси, проходящей через центр тяжести. Тогда ь ~~)и (18.13.2) Рассмотрим теперь,стержень с сечением в форме идеального двутавра длиной 1, шарнирно опертый по двум концам и сжатый силой Р. Подобно тому как это делалось в 8 4.2 при выводе критической силы Эйлера, мы должны принять )т' = — Р, М=Ри, к = — д'и~/дз'дй Возвращаясь к обычным обозначениям )т' и М в формулах (18ЛЗЛ), мы получим из второй из них следующее 8 Сзаз. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ 649 дифференциальное уравнение: Введем безразмерный прогиб и = шlЬ и безразмерную координату 5 =8/Ь, тогда уравиеиие перепишется следующим образом: а а — — — — [(1+ сд)" — /1 — и!" '(1 — ю)). (18ЛЗ.З) Здесь О=Р/Р.
Для приближенного решения этого уравнения применяются различиые приемы. Мы рассмотрим наиболее простой случай п= 3. Заметим, что множитель (а/а.)" представляет собою скорость укорочения стержня от действия силы Р, обозначим зту скорость е, и перепишем (18.3.3) при и = 3 следующим образом: — = — е (Зю + и~). (18.13.4) д5 дС Будем искать его приближенное решение в виде па5 ю = с(1) Мп —. Подставив в (18Л3.4), получим ~ !' — ! Свш — =88~3свш — + с Мп — !. (18.13.5) ИЬЬ .
яа5 а . Зяа5 К ! Ю с( К с ! Дальше можно поступать по-разному. Можно, например, потребовать, чтобы (18.13.5) выполнялось в среднем на веем стержне. Для етого уравнение (18.13.5) умножается на вш(ИЬь7с) и интегрируется по длине балки. Мы поступим проще, а именно, потребуем выполнения (18Л3.5) в одном сечении — в середине балки. При г = Ьс = Ь'2 получается с = е, ~ — „) (Зс + с'). Разделим переменные и проинтегрируем.
Получим есТ = — ~ — ! 1п с'(З+ л) са (в + са) (18Л3.6) Здесь с, — начальный безразмерный прогиб. Величина безразмерного прогиба стремится к бесконечности при стремлении Т к конечной величине, называемой критическим временем. Из формулы (18.13.6) следует (18.13.7) с Применяя другие методы определения критического времени, мы 42 Ю. Н. Рабстнса ГЛ.
18. ПОЛЗУЧЕСТЬ МЕТАЛЛОВ 650 будем получать несколько отличные оценки, но уточнения здесь вряд ли необходимы. Величина е„ зависящая от О', очень чувствительна к величине нагрузки, поэтому при определении критического времени из опыта получается большой разброс. Этот разброс существенно уменьшается, если определять не критическое время, а напряжение, соответствующее данному критическому времени.
Это тем более так, что показатель и = 3, выбранный нами для модельной задачи, сильно занижен по сравнению с реальными значениями показателя ползучести. Что касается правой части формулы (18Л3.7), она дает тоже лишь ориентировочную оценку, величина с, редко бывает известна точно, при проектировании реальных конструкций исходят из статистических данных, позволяющих оценить наибольшую возможную величину эксцентриситета прн данной технологии изготовления изделия. Следует заметить, что конечное критическое время, понимаемое в указанном смысле как время обращения прогиба в бесконечность, обязано своим существованием нелинейности определяющего уравнения. Действительно, при л = 1 уравнение (18Л3.5) становится следующим: — +е,в=О. дз д~ Применяя ту же технику разделения переменных, мы получим, на этот раз уже точно, е г= ( — ))пс, и прогиб достигает бесконечной величины лишь при г = с .
Сделаем в заключение несколько замечаний об учете мгновенной пластической деформации. В з 4Л1 было выяснено, что начально искривленный стержень из упругопластического материала мгновенно выпучивается при достижении нагрузкой критического значения, которое зависит от начального прогиба. Можно сказать наоборот, каждой силе соответствует критический прогиб, прн котором стержень выпучивается от действия этой силы.
Если сила Р сжимает стержень, прогиб его растет со временем до тех пор, лока не достигнет критического значения, соответствующего данной силе Р. Это время и будет критическим временем, но при достижении критического времени обращается в бесконечность не прогиб, а скорость изменения прогиба во времени. Приведенное рассуждение не вполне строго: ползучесть меняет распределение напряжений в поперечных сечениях и, следовательно, изменяет зависимость между критической силой и прогибом. Однако погрешность невелика и разъясненная схема сейчас получила признание. ГЛАВА 19 МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ й 19Л, Предмет механики разрушения В восемнадцати предшествующих главах были изложены различные разделы механики деформируемого твердого тела, при этом практическая направленность каждого из них не очень акцентировалась.
Но основная область приложения механики твердого тела — это оценка прочности реальных элементов конструкции в реальных условиях эксплуатации. С атой точки зрения различные главы приближают нас к решению этого основного вопроса в разной степени. Классическая линейная теория упругости формулирует свою задачу следующим образом: дано некоторое тело, на это тело действуют заданные нагрузки, точки границы тела претерпевают заданные перемещения. Требуется определить поле вектора перемещений и тензора напряжений во всех точках тела. После того как эта задача решена, возникает естественный и основной вопрос — что это, хорошо или плохо? Разрушится сооружение или не разрушится? Теория упругости сама по себе ответа на этот вопрос не дает.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
