Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Покажем, что функционал, фигурирующий в правой части (13.3.1) или (13.3.2), позволяет получить оценку по крайней мере для наименьшей из собственных частот. Условимся нумеровать собственные частоты в порядке возрастания, так что ОД1 ~ Ддд ~ ОДд ~ ° ° ° Выберем в качестве и, произвольную систему трех дифференцн- руемых и непрерывных функций, удовлетворяющих кинематиче- ским граничным условиям. Тогда, в соответствии с замечанием, сделанным в конце $13.2, ид = ~ ад1р;. А так как вследствие (13.2.3) ЧД 2Д он,; = ~~ а,зн; = р с.'е аддддер' то 21221+ а2212+ . 2 2 2 2 оэ' =— а 2 -~- ад -)- ...
или 2 1+ 2( 21 1) + О1' = ОД1 22+ 12+ Но каждый член ряда в числителе не меньше соответствующего члена ряда в знаменателе, так как (ддд/еое)'> 1, поэтому ддд(~од~ ом идЛ'= адатеод~ рер;ер' Ле= Х адддд. г Совершенно аналогично вследствие ортогональности главных форм ) ри,'Л'=- Ха,'.
Теперь соотношение (13.3.1) можно переписать следующим образом: 438 Гл 23 динАмические зАдАчи теОРии упРуГОсти и (13.3.2) можно заменить следующим неравенством: 2 в2( у ° (13.3.3) Здесь (у — упругий потенциал, вычисленный для заданной системы перемещений иь Т вЂ” выражение кинетической энергии, в котором скорости заменены перемещениями иь Неравенство (13.3.3) дает верхнюю оценку для низшей частоты колебаний упругого тела.
Если функции и2 содержат некоторое число Й неопределенных параметров с., то 0=~7(с,) и 2' = = 2'(с,). Наилучшим приближениям для в2 будут соответствовать значения с„минимизирующие дробь в правой части (13.3.3), поэтому должно быть —,' ( с) =О. Отсюда (дВ -дТ 1 =,~ — т — П вЂ” ~ ~=О Т2 (дс, дс ) или, полагая (Т/У = в',, дГТ 2 дТ вЂ” — вз — = О. дс, дс, (13.3.4) Наиболее простой результат получается тогда, когда параметры с, входят в выражение и, линейно, а именно, А ис=-Х .~';.
(13.3.5) Тогда уравнения (13.3.4) линейны и однородны; для существования нетривиального решения необходимо, чтобы детерминант системы был равен нулю. Это условие приводит к алгебраическому уравнению степени й относительно в'. Вследствие неравенства Рэлея наименьший корень этого уравнения будет давать верхнюю оценку для в', которая может только улучшиться с увеличением й.
При увеличении й корень уравнения с номером т будет стремиться к величине в', при этом нельзя сказать сверху или снизу. Доказательство этой теоремы мы не приводим, заметим лишь, что для ее выполнения необходима полнота системы функций ~'и т. е. возможность представления любой допустимой системы перемещений и, в виде (13.3.5). Описанная приближенная процедура определения частот носит название метода Ритца.
З!З.А РАСПРОСТРАНКНИК ПЛОСКИХ ВОЛН 439 $ 13.4. Распространение плоских волн в неограниченной упругой среде Выражая в (13.1.3) напряжения через компоненты перемещения с помощью закона Гука, получаем для общего случая тела с произвольной анизотропией следующие дифференциальные уравнения движения: — Еяы(иа и+ и! „;) — ри! = О. 1 (13.4.1) Будем называть плоской волной такое решение системы (13.4.1), которое описывает перемещение неизменной конфигурации в направлении единичного вектора и со скоростью с.
Как оказывается, решения такого типа, соответствующие постоянной скорости с, не зависящей от конфигурации, возможны лишь в неограниченной упругой среде. Согласно определению поле перемещений, соответствующее плоской волне, дается следующими выражениями: (13.4.2) иа= 1ва(с1 — п,т,). Подставляя его в (13.4.1), получим 1 2 ~ Е!!ы (!!ьп1п! + П!Плп!) — Р( !с'=О. Полагая с!!= 6„с'„приведем эту систему к следующему виду: — Езв! (и!п Ь1„+ пап!Ь!в) — р61,сз~ св; = О. Эта система однородных линейных уравнений имеет нетривиальное решение тогда, когда определитель ее равен нулю.
Условие 1 Й.е Ц() — Е!1,;(и!п;Ь„, + п,п;Ь„) — рбз,с' ~ = О (13.4.3) представляет собою кубическое уравнение относительно с', решение которого определяет для каждого направления п три скорости распространения плоских волн. В частном случае, если тело иеотропно, то, как было показано в 3 8.2, тензор модулей упругости имеет следующий вид: Ееи = ) 6* ба!+ 2р6,аЬаь Внесем эти выражения в уравнение (13.4.3). Заметим, что ЬобнЬа, папа = Ь,вЬнЬавПаП! = Ьааб!абаалалв = П,Пва Ь,аб,аба.пал, = Ьь. Теперь уравнение (13.4.3) для скоростей плоских волн примет следующий вид: бе~1(А+ (1) п,п, + р6„— рса61,1 = О.
(13.4.4)' 440 Гл. 13. динАмические ЗАдАчи теории упРуГОсти Для изотропного тела, очевидно, скорости распространения волн во всех направлениях одинаковы, поэтому в (13.4.4) можно при- нять, например, и, =1, п, =и, =О. Теперь это уравнение запи- шется следующим образом: Л+ 2р — рс о о о о р — рс о 2 о р — рс' Как видно, оно имеет двойной корень, следовательно, в изотропном теле получается не трн, а две скорости распространения плоских волн, а именно, (13.4.5) Заметим, что для изотропного тела уравнения движения можно было сразу записать в следующей форме: (Л + (с) Оз + рсйис — рйс = О. (13.4.6) Не нарушая общности, мы можем рассмотреть волны, распространяющиеся вдоль оси х„а именно: а) продольные волны: и, =и (сс — х,), и, = и, = О, 0 = и'; первое уравнение движения приводится к следующему: (Л+2и — рс')и" =О.
Уравнение удовлетворяется, когда с = с„ б) поперечные волны: и,=ис=О, и,=и(с$ — х,). Подстановка во второе уравнение движения приводит к результату (и — рс')и" =О. Таким образом„с, есть скорость распространения поперечных волн. Заметим, что для поперечных волн 0 = О, распространение их не сопровождается изменением объема. С другой стороны, для продольных волн го$ и =О Поэтому их называют, соответственно, эквиволюминальными и безвихревыми или волнами искажения и расширения. В т 2ЛО была рассмотрена задача о распространении продольной волны в стержне. Скорость ее, согласно элементарной теории, давалась выражением с, =уЕ!р.
Эта скорость отлична как от сь так и от с,. В действительности волны вида (13.4.2) в стержне, представляющем собою ограниченное тело, распространяться не могут, возмущение, переносимое вдоль оси стержня, меняет свою конфигурацию. Заметим, что сделанный вывод о возможности существования двух типов волн, распространяющихся со скоростями с, и с,, носит в известном смысле менее общий характер, чем упомянутый результат в $ 2.10. Действительно, отыскивая решение в виде э !Зв. Отглженик Волн 441 и,=~(х,— сЛ), и,=и,=О. (13.5Л) Предположим теперь, что плоская волна распространяется не вдоль оси х„ а вдоль некоторой прямой, лежащей в плоскости х,х, и составляющей угол а с направлением оси х~ (рис.
13.5Л). Направляя ось э по этой прямой, мы найдем по формулам преобразования координат $ = х, соз а+ х, з1п а. Перемещение П направлено вдоль оси э и равно У = 1(х, соз а+ хз з|п а — с,1) . Теперь это перемещение можно спроектировать на оси х, и х„ мы получим ,у Рис. 13.5Л и, = ~(х, соз а+ х, зш а — с,~) соз а, и, = 1(х, соз я+ х, з1п а — сДз1п я, (13.5.2) и1 = О.
и,(сФ вЂ” х), мы предполагаем, что функции и; по крайней мере дважды дифференцируемы, в противном случае подстановка их в уравнения движения была бы бессмысленна. Первые производные от функций и; по времени — это скорости. Напряжения выражаются через первые производные от перемещений по координатам. Эти первые производные должны быть непрерывны, следовательно, волны рассматриваемого типа не могут нести разрывов скоростей или разрывов напряжений. Для стержня мы сразу предположим, что на фронте волны скорость и деформация, а следовательно, напряжение, меняются скачком, и получим скорость фронта в этом предположении. Волны, несущие разрывы производных от перемещений, т.
е. скоростей и напряжений, называются волнами сильного разрыва или ударными волнамн. Возможность распространения ударных волн в неограниченной упругой среде со скоростями с, и с, требует дополнительного обоснования. Для продольных волн сильного разрыва применение этого обоснования получается в результате буквального повторения анализа $ 2ЛО для стерясня. Совершенно аналогичные рассуждения, основанные на теореме о количестве движения, позволяют установить возможность распространения ударных волн искажения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
