Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 85
Текст из файла (страница 85)
1». динАмические ЗАдАчи теОРии упРугостн а, Свободные колебания. Упругое тело свободно от действия внешних снл, РЗ=О, ооп»=0 на Я,. Часть поверхности Я может быть неподвижно закреплена, на ней и1 = О. Заданы начальные условия (13.1.2). Таким образом, тело приводится в движение сообщением ему начального распределения перемещений и скоростей. б. Вынуледенные колебания.
Если объемные силы Го поверх« постные силы Т; и заданные перемещения точек поверхности ио представляют собою периодические функции времени такие, что Ро (Г) Т То (1) «о и величины, отмеченные индексом «нуль», от времени не зависят, то в качестве типового представителя функции ор(1) можно принять (13.1.5) 1Р(1) = ехР(1РГ). Действительно, любая периодическая функция может быть представлена рядом Фурье. Построив решение для одного члена этого ряда (13.1.5), мы можем воспользоваться принципом суперпозицни для построения полного решения. в.
Распространение волн. Если в некоторой части тела внезапно создается возмущение, оно распространяется с конечной скоростью. Зто значит, что в точке, находящейся на расстоянии Ь от источника возмущения, в течение некоторого времени т будет сохраняться покой. Периодическое возмущение, создаваемое в точке, будет вызывать в другой точке, отстоящей от нее на расстоянии Ь, также периодическое движение, но сдвинутое по фазе. Задачи подобного типа называют волновыми задачами. Подобно тому как статические задачи теории упругости допускают вариационную формулировку, решение динамической задачи может быть сведено к отысканию стационарного значении интеграла действия (13.1.6) В выражении (13.1.6) Т есть кинетическая энергия на единицу объема Т = '/,ри,йь а Г = П(ео), ео = '/»(и~э+ ил,). При составлении интеграла действия мы считали, что к телу не приложены внешние силы, объемные или поверхностные, которые совершают работу на каком-либо из кинематически допустимых полей перемещений и.
в азе, сВОБОдные и Вынужденные кольБАння 433 5 13.2. Свободные и вынужденные колебания Будем искать решение уравнений движения в следующем виде: и; = стт ехр мой Здесь ста — функции только координат, но не времени. Аналогичным образом представятся, очевидно, компоненты деформации и напряжения. Обозначая теперь через ио ов амплитуды перемещений и напряжений, так что и;= Уо мы получим вместо (13.1.3) следующую систему: оо; — рв'и, = О. (13.2 1) Граничные условия в случае свободных колебаний должны быть однородными, при этом множитель ехр авг сокращается.
Вопрос о начальных условиях мы пока оставляем в стороне. Уравнения связи между амплитудами напряжений и деформаций сохраняют форму обычных уравнений закона Гука о„= Еоа,иа,, (13.2.2) Система уравнений (13.2.1) и (13.2.2) при однородных граничных условиях имеет очевидное тривиальное решение и; = — О, оо — — О. Однако при некоторых значениях параметра в = вн возможно и ненулевое решение а а ит=тр;, оп=ам.
Соответствующие значения параметра ва называются собственными частотами упругого тела, а функции ~р определяют собственные формы колебаний. Заметим, что в (13.2.1) войдут квадраты собственных частот, которые сохранятся при всех дальнейших выкладках, поэтому корню в, будет всегда соответствовать второй, равный по величине и противоположный по знаку корень — в,. Мы не будем вводить для этих отрицательных корней специальную нумерацию, но следует помнить, что кроме Решения и;ехр 1вс всегда присутствует и второе решение и;ехр( — 1вГ). Это замечание позволяет образовывать из них действительные комбинации, которые одни только имеют механический смысл.
ь а Выпишем теперь уравнения, связывающие з;; с ор; и вытекающие из (13.2.1), воз — РватР; =- О. (13.2.3) Очевидно, что вследствие однородности системы уравнений и а гРаничных условий, функции ор; и соответственно зо определены с точностью до произвольного множителя. Уравнения (13.2.1) и (13.2.3) могут рассматриваться как уравнения статической задачи теории упругости с массовыми силами — рв'и,. Пусть в = вн 28 Ю.
н. Расотнон 434 Гл 12. динАмические зАПАчи теОРии упРуГОсти есть какая-либо из собственных частот. Тогда ие — — ере представ» ляет собою перемещение, вызванное действием распределенных » 2» по объему сил Рг = — ео»рер1. Аналогичным образом при частоте е е 2 б ю,и»= ере есть перемещение, вызванное силами Р1= — ое,рер1. Но по теореме Бетти ($8.10) ) и»Р; 25'= ) иеР» ее У, У У 2~ » е (р 2) е»д, или ~ рер~ер,'.
ее'2'= 0 (й Ф 2). У (13.2.4) Равенство (13.2.4) выражает свойство ортогональности собственных форм колебаний, установленных для элементарной теории стержневых систем в $ 6.2. Из условия ортогональности следует, в частности, что частоты эе» всегда действительны. Чтобы доказать это, предположим противное, а именно, допустим, что еэб= =а+ер. Уравнение для нахождения собственных частот будет обязательно иметь еще один комплексно сопряженный корень еее = 22 — ер. Соответствующие собственные формы будут также комплексно сопряженными еуе = Ре + Ч еуе = Ре — 191.
1 ° 2 Из условия ортогональности следует Но это равенство возможно лишь тогда, когда р;— = О, де= — 0; таким образом, движений с комплексными частотами быть не может. Очевидно, что этим исключается и случай чисто мнимых частот. Поскольку еа; определены лишь с точностью до произвольного постоянного множителя, их можно нормировать произвольным образом. Обычно принимают ~ рер~гр,* Л'= б»,. (13.2.5) У Соотношения (13.2.5) выражают условия нормирования и одновременно повторяют условия ортогональности собствеяных форм.
Но ээ»т'-"'еэ, и выепенаписанное равенство возможно только тогда, когда интеграл равен нулю, следовательно, З 13.2. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДНННЫН НОЛД;НАВИН Принцип суперпозиции позволяет представить общее выражение для перемещений при свободных колебаниях упругого тела следующим образом: ид= ~ (Адздподдс+ Вд созодд~) 1~1(хо). (13.2.6) Д=1 Здесь Ад и В, — неопределенные константы.
Соотношение (13.2.6) получается путем комбинации выражений для перемещений, содержащих множители ехр (~1одд) . Дифференцируя (13.2.6) по времени, находим ид = ~ (Адодд сов оддà — Вде1д з)п оддс) сро (х,). Д=1 Приравнивая при 1=0 значения перемещений и скоростей их заданным начальным значениям, получим ~ Воср"; (х,) = и'; (х,), ~ Адюд1рд (х,) = ио (х,). Умножаем каждое из зтих равенств на р11; и интегрируем по объему. Вследствие (13.2.5) в левой части от каждого ряда остается лишь по одному члену и мы получим Вд — ) рии,рРЛ~ А,= ' ~рио~".АР.
(13,2.7) У д у (13.2.8) при граничном условии аня; =- То, х,яЯ. (13.2.9) Представим искомое решение в виде о ' о ио = и,+ ин ОΠ—— а;;+погон 2яо Следует заметить, что соотношения (13.2.6) не предполагают возможности разложения функций ио и ио в ряды по собственным о о д формам колебаний или фундаментальным функциям 1рд. Начальное распределение скоростей вообще может быть даже не непрерывным, и если говорить о сходимости, то речь может идти лишь о сходимости в среднем. Предположим теперь, что на тело действуют периодические силы с круговой частотон р.
Для простоты будем считать, что Р1 = О, Т, = о о ехр дро на всей поверхности Я; рассмотрение более общего случая дополяительных трудностей не встречает. Полагая перемещения и напряжения также пропорциональными ехр дрг и сохраняя обозначения и1 и ао для амплитуд перемещений и напряжений, получим следующие уравнения: ое; — рр'и, = О 430 Гл. 13. динАмические зАИАчи теОРии упРуГОсти Здесь ио ази — решение статической задачи теории упругости, удовлетворяющее уравнениям равновесия 0 о;и =-О, уравнениям связи и граничным условиям (13.2.9). Тогда первая часть репгения и;, ои удовлетворяет следующим уравнениям движения: о;;; — ррзи; = ррзио (13.2.10) '%1 А 'с1 Положим и; = ~заь~р; и соответственно ац = ~ ахам.
Подставляя эти выражения в (13.210) и исключая производные зц,; с помощью (13.2.3), получим ~ ядр (аь — рз) е~; = рр'и';. Умножая на ю; и интегрируя по объему, с помощью (13.2.5) найдем (а1' — Рз) == Р' ~ Риз% Отсюда следует (13.2ГН) ю Р / Если р = в„, т. е. частота возмущающей силы совпадает с одной из собственных частот упругого тела, соответствующий коэффициент обращается в бесконечность, т. е. наступает резонанс. Доказательство того, что непрерывные и дважды дифференцпруе- Р мые функции и;, удовлетворяющие кинематическим граничным условиям, могут быть представлены абсолютно и равномерно сходящимися рядами фундаментальных функций или собственных форм колебаний выходит за рамки этой книги. й 13.3.
Неравенство Рэлея и метод Ритца Умножим обе части уравнения (13.2.1) на и„проинтегрируем по объему и разрешим полученное равенство относительно ю'. Найдем ~п, изп'У ят ~ Ои. НУ Преобразуя числитель интегрированием по частям при однородных 5 13.3. НЕРАВЕНСТВО РЭЛЕЯ И МЕТОД РНТЦА. 437 граничных условиях, получим Ед 1, еие а"е' д12 1 ( риед де' (13.3.2) Если из = «р;, то уравнение (13.2.1) выполняется при ед = ддд и формула (13.3.1) либо (13.3.2) даст точное значение квадрата собственной частоты с номером й. Но если и,— произвольные функции, то уравнение (13.2.1) не выполняется, формула (13.3.2) определяет некоторое число дд', которое, вообще говоря, не представляет собою квадрат частоты каких-либо свободных колебаний системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
