Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Это следует из того, что вторая вариация функционала 7 есть и 3'гадери ех з и вследствие выпуклости функции (7 подынтегральное выражение положительно определенно. Точно так же показывается, что функционал Кастилья- но принимает минимальное значение для истинного распределения люментов. Относительно функционала Рейснера подобное ааключение сделать нельзя. Б 12ЛО.
Большие прогибы Для решения задач устойчивости, как мы уже выяснили, уравнения равновесия долинины составляться для деформированного состояния упругого тела. Соответственно, применяя вариационное уравнение, в нем необходимо удерживать квадратичные члены в формулах для деформаций, как зто было сделано для общей теории в 3 12.2 и для задачи об устойчивости стержня в 3 12.3. В задачах изгиба пластин достаточно удерживать те квадратичные члены, которые зависят от прогиба ш, производные от перемещений пи мы сохраним лишь в первой степени.
Повторяя вывод 3 12.4, мы найдем, что формулы (12.4.3) сохранят силу и в атом случае, но компоненты деформации срединной поверхности нужно будет вычислять по формулам 2е„р = ии,с+ ир„+ ш,„ш р. ГЛ. 12. СТВРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ 412 Перепишем теперь функционал Рейснера следующим образом: Г( гии = ) ( — и Тид (На,д + Нд,а + 1д,ал1,д) + Маею,ад + +,— „ Ф (Т. ) + —, Ф (М. ) + дю1 (х, Ыхз + 3 + ~ Тидп лд1)2 — ~ С* — 1(г — ~ Л21д 112. (12.10.2) ди Варьируя усилия Т„2, мы получим уравнения связи (12.5.4), где еи2 определяются формулами (12.10 1), варьируя перемещения и„, получим снова дифференциальные уравнения и граничные условия (12.5.7).
При варьировании прогиба мы поступаем так же, как в $12.5, с той разницей, что производные от прогиба входят в множитель при Т„,. Поэтому нам придется дополнительно преобразовать интегрированием по частям вариацию б ~ Тасю,аю311Х111Л2 = ~ 1 адю,або д1(Ь111Х2 = = — ) ((Тиса,абн1),д — (Та~Я>,а),д бп11 1(л11(лз. Но первый интеграл преобразуется в контурный — ~ Т д1д ~псб1д 122, а второй вследствие уравнений равновесия (12.5.7) принимает вид ~ Та~М,адМ СЪ11)лз е В результате уравнение равновесия (12.5.8) заменится следу ю1цим 2 Лдиз, и2 Ти21д,и2+ Д = 0 Выражая изгибающие моменты через л1,22, получим для изотропной пластины )7ЛЛи — Т„21д„„+ д = О, (12.10.3) и в граничном условии (12.5.12) добавится составляющая усилий в срединной поверхности, направленная по оси 2; второе из уг; ловий (12.5.12) примет вид дй' — + (7 — Тад1д,алд = Л*.
ду (12.10.4) Для того чтобы удовлетворить дифференциальным уравнениям равновесия (12.5.7), мы введем функцию усилий, подобно тому, З 12.1З. БОЛЬШИБ ПРОГИБЫ 413 как в гл. 10 была введена функция напряжений. Положим Таз Т 11~, или у*и, = Ел,, т„= Ед„т„= — Г ы, (12.10.5) при этом уравнения равновесия будут удовлетворены тождественно. Если деформации связаны с усилиями формулами (12.5.4) и компоненты деформации зависят только от и„, функция Р будет бигармонической, как и в обычной плоской задаче. Но теперь компоненты деформации заданы формулами (1210.1). Образуя из них комбинацию, фигурирующую в левой части уравнения совместности (10.6.3), мы найдем, что она уже не обращается тождественно в нуль, теперь уравнение совместности будет следующим: з е„л, + е„лт — 2е„л, — — ш „— и лгшлз.
Подставляя выражение деформаций через функцию усилий г" по формулам (12.5.4) и (12.10.4), получим ЬМ = 2ЕЙ (ш,тз ш,гтш,зз). (12.10.6) Система уравнений (12.10.3), (12.10.5) и (12.10.6) описывает деформацию пластины с больптими прогибами. Эти уравнения называются уравнениями Кармана. Вывод соответствующих уравнений для анизотропных пластин не встречает никаких затруднений, выписывать эти довольно громоздкие выражения мы здесь не будем. Система оказывается нелинейной, поэтому известны только численные решения ее для отдельных частных случаев путем непосредственного отыскания стационарного значения функционала (12.10.2) по способу, аналогичному тому, который был описан в $ 12.9. Сложность состоит в том, что коэффициенты в предполагаемом выражении для прогиба и или функции напряжений Р теперь ищутся из нелинейных алгебраических уравнений.
Для симметричной деформации круглой пластинки уравнения (12.10.2) и (12.10.6) становятся обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые можно интегрировать любым численным методом. Заметим, что если Р = О, полученные уравнения описывают прогиб н напряженное состояние мембраны, не сопротивляющейся изгибу. Приведем результаты численного решения задачи о круглой мембране радиусом а и толщиной 2а, нагруженной равномерным давлением а, полученные Хенки„ з'юаз = 0,662аф' —, о (О) =0,423 з / —, о„(а) = 0,3261 У 2ЕЬ' ' ~, (2у,)з ' " ' ~, (2ь)з Заметим, что удовлетворительное приближенное решение этой задачи может быть получено совершенно элементарно, Предположим, что поверхность мембраны после деформации становится сферической с радиусом р. Стрела прогиба 1 = и„„, радиус кривианы сферы и половина центрального угла гл.
гз, стигжни, пластины и ОБОлОчки 414 а а а аа р= —. ж —, Т=ася — щ —. зша а' 2 2' Сфера находится в состоянии равномерного всестороннего растяжения с напряжением о. Уравнение равновесия будет следующее: 2йо 2ях.а дяа'. Отсюда да о= —. 4йсс ' (12.10.7) Легко убедиться в том, что полученное нами непосредственно уравнение равновесия представляет собою уравнение (12.10.3), Действительно, в окрестностей среднеи точки уравнение изогнутой по сферической поверхности пластины запишется так: 2 с~г + ~з) 1 з При этом локальные оси координат выбраны так, что плоскость хь хг касается сферы, ось хс направлена по нормали. Предположив поверхность изогнутой мембраны сферической, мы поставили все ее влементы в одинаковые условия, поэтому такая же локальная система координат может быть привяаана к любой точке, Подставляя в (12.10.3) юэс = юлэ = 1/р, Тп = Тгг = 2йп, хэг = Ти —— О, получим выражение (12Л0.7).
Рис. 12ЛОЛ Относительное удлинение е, одинаковое для всех направлений, представляет собою разность между длиной дуги и,длиной хорды, поделенную на длину хорды, ра — р з(па сс з е= рсс В упругой мембране о и е связаны между собой ваконом Тука 1 — т е = — и. Е Поэтому а 1 — и ох з 6 Е 4йа Отсюда находим ,„ /31 — т да Стрела прогиба г' дается следующей формулои: а з/ 1 — тра 2 ~ Е 2й При т = 0,3, получаем з г г' = схюах = 0'640а у меридиоиального сечения поверхности мембраны связаны следующими оче- видными соотношениями (см. рис. 12.10Л): р 12.11. устойчивость пластин Полученный результат меньше точного на 3,3ея, такая ошибка, конечно, очень мала. Йапряжения, одинаковые повсюду, получаются следующими: 3 Гозз о = О,ЗЕО 1 у 1I (2ь)з йта величина на 7,8ее меньше, чем наибольшее напряжение е центре и иа 19е3 больше, чем минимальное напряжение на краю. Оценка для максимального напряжения тоже окааызается удозлетворвтельной.
Построенное грубо приближенное решение содержит з себе язпое протнворечие; из условия равенства напряжений с неиабежностью вытекает равенство всех деформаций, но контур мембраны закреплен и величина деформации контурной линии равна нулю. 5 12Л1.
Устойчивость пластин на свободно опертом контуре, Представим себе, что пластина нагружена таким образом, что усилия Тар отличны от нуля, а прогиб и и, следовательно, мое менты М„е равны нулю. Будем называть такое плоское напряженное состояние в пластине начальным напряженным состоянием. В отношении него будем употреблять термин безмоментное состояние. Поставим задачу об устойчивости пластины по отношению к весьма малым (бесконечно малым) искривлениям срединной плоскости. При определении усилий Тар мы должны были пользоваться обычными уравнениями плоской задачи теории упругости, а следовательно, лннеаризированными выражениями для еаз Если пластина получает малое изгибное возмущение ш, то, конечно, величины и „ш е малы по сравнению с и з, но при варьировании прогиба в (12.10.2) именно зти члены, являющиеся множителями прн больших Т,е, должны варьироваться.
Таким образом, уравнение (12.10.3) сохраняет силу. Мы перепишем его, опустив величину поперечной нагрузки РЛйш — Тарш,ар = О. (12Л1Лу Это уравнение служит основным уравнением теории устойчивости изотропных пластин. Здесь усилия Т р считаются ааданными, т. е. найденными в результате предварительного решения плоской задачи теории упругости. Заметим, что обычно начальное напряженное состояние бывает достаточно простым, анализ уравнения (12Л1Л) в случае, когда Тар суть функции координат, оказывается затруднителен. К уравнению (12.11.1) нужно присоединить однородные граничные условия, например: дю ш=О, — =0 да на защемленном контуре 6=0, ш=О дй е ы = 0 —, + 9 — Тарй,анр = 0 на свободном крае.
гл. 22. стержни, плхстипы и ОБОлОчки Здесь 6, Н и () представляют собой линейные дифференциальные операторы над прогибом, которые вычисляются по формулам, приведенным выше. Такая постановка задачи совершенно аналогична постановке задачи Эйлера об устойчивости сжатого стержня. Требуется найти критическое значение параметра нагрузки, т. е. множителя прн Таз, при котором линейное однородное уравнение (12.11.1) при однородных граничных условиях имеет нетривиальное решение, т. е.
решение, отличное от тождественного нуля. Ограниченность и неполнота анализа подобного рода были разъяснены в гл. 4 и мы не возвращаемся к сделанным там разъяснениям. Здесь в качестве примера мы рассмотрим одну только задачу устойчивости: прямоугольная пластина длиной а в направлении оси ле шириной б в направлении оси х, равномерно сжимается вдоль оси х, усилием Т„= — Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
