Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 68
Текст из файла (страница 68)
(105.1) Наружный контур Г, может стянуться в бесконечно удаленную точку, в этом случае функции 1р и»р ведут себя на бесконеч- ности так, как это было выяснено в $10.2, а именно, 1р = Гз+ 5р,(г), »р(з) = Г'г+»ра(г), где 1ра(з) и»ра(з) голоморфны на бесконечности и в области Я, тогда как постоянные Г и Г' определяются формулами (10.2.8). Вторая основная задача. Если на границе заданы перемеще- ния, на каждом из контуров Г„известна функция дуги г д»+ 1да» = 2)» (и, + Ш,) . Задача сводится к нахождению функций 1р и»р, удовлетворню- щих граничному условию д» =д»+ 1Я»» = х1Р(з) — 51Р'(з) — 5Р(з), з ж Г,. (1052) Кроме двух основных задач встречаются смешанные задачи, когда на части границы заданы усилия, а на другой части— перемещения или на,одном и том же участке границы задана некоторая линейная комбинация из усилий и перемещений, 2~ 10. Н.
Рабоммв 338 ГЛ. 10. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Задача о трещине, например, по существу представляет собой первую основную задачу, область, ограниченная контуром Г, превратилась в щель, поверхность этой щели свободна от усилий, на этой поверхности, т, е. на верхней и нижней сторонах разреза (~+ 1(1= О. Но примененный в 1 10.4 искусственный прием сводит дело по существу к смешанной задаче; зафиксировав функцию 1)1(з) с помощью (10.4.1), мы выбираем функцию так, чтобы было Оп =О„=О, х1= 0 при !х,) (а и и, =0 при !л,~ )а. Последнее условие вытекало из симметрии задачи.
Здесь мы рассмотрим в первую очередь основные задачи для трех случаев: а) для односвязной конечной области; б) для бесконечной плоскости, из которой выброшена часть, ограниченная контуром Г; в) для полубесконечнои области, лежащей по одну сторону незамкнутой кривой. Задача для многосвязных областей представляет значительно большие трудности, для решения их применяются специальные методы, изложение которых вышло бы за рамки данной книги. При решении задачи типа а) и б) обычно бывает удобно преобразовать область Я либо на круг единичного радиуса (случай а), либо на плоскость с выброшенным кругом единичного радиуса (случай б).
В том и другом случае функция я= 00(Ь), осуществляющая конформное отображение областей, устанавливает соответствие между точками контура з ш Г и точками окружности единичного радиуса Ь = с = егз в плоскости Ь. Функции 1р и 1р будут теперь функциями переменной Ь. Для краткости мы будем употреблять для них те же символы, т. е. вместо 0(1(г10(Ь)) будЕМ ПИСатъ ПрОСтО 1р(г), ХОтя СтрОГО ГОВОря ЭтО И НЕ- корректно. Нужно было бы писать 1Р (З) = 0Р(00 (1,) ) = 1Р, (1,), причем функции 1р и 10, различны.
Чтобы преобразовать граничные условия, заметим, что л10 1ьг л4 ~~' (1) <Ь зь ~Ь а' (ь) Теперь граничные условия будут выполняться на контуре окружности Ь = и и функции 1, + Ц1, так же как я, + 1д2 должны рассматриваться как функции и или, что то же, угла 6. Вместо (10.5.1) и (10.5.2) мы теперь получим ~ (О) = ~1(6) + 1~ (6) = 1р (и) + =,) 1р' (О) + 1)1(О)„(10.5.3) д(6) = д1(6) + 1яз(Ь) = х1р(О) — =, р'(1т) — 1)1(о). (10.5.4) = (5) Метод решения первой и второй задачи для круговой области 5 10в.
Основные плОские задАчи теОРии упРугости 339 (10.5.6) Если )'(з) голоморфна в Я и непрерывна в Я++ Г, то ( ((0 2 ',) геиЯ + г —. ) — 1(1 = — 7(З) + 1(оо), 3 ~ Я (' ((0 г (10.5.7) (10.5.8) Интегралом типа Коши называется выражение следующего вида: 5Й. Р Ь, (С) + 1Ь, (С) 2л13 ' С вЂ” 5 г Здесь Ь,(т) и Ь,(() — функции, заданные на контуре Г, при этом комплексная комбинация Ь, + 1Ь5 не является контурным значением какой-либо функции комплексной переменной.
Идею применения интегралов Коши к решешию плоской задачи теории упругости мы проиллюстрнруем на примере первой краевой задачи для круговой области. Пусть радиус круга равен единице, условие (10.5.1) выполняется при в=а=с". Умножим 1 оо обе части (10.5.1) на — „. — и проинтегрируем по окружности. Получим Интеграл в левой части представляет собою интеграл типа Коши, он всегда может быть вычислен, поскольку ), и 11 — известные функции от 6. Функция ф голоморфна в 31, первый интеграл в правой части есть интеграл Коши, по формуле (10.5.5) — — Й~ = ф(з).
( ( ф(о) Второй интеграл на первый взгляд не есть интеграл Коши. Од- 22ч илн плоскости с выброшенным кругом один и тот же; поскольку условия (10.5.3) и (10.5.4) имеют совершенно одинаковую структуру, этот метод основывается на применении интеграла Коши. Напомним некоторые свойства интеграла Коши. Пусть контур Г делит плоскость комплексной переменной з на внутреннюю конечную область Я+ и внешнюю бесконечную область Я . Если функция 7(з) голоморфна в Я~ и непрерывна в Я++ Г, то — — ) 5(( = 7'(з), з ~Я", (10.5.5) г — ) — 51(=0, гете г 540 Гл.
10. птоскАя ЗАдАчА теОРии упРуГОсти пако на самом деле он приводится к интегралу Коши. Это приведение основывается на том, что о= —, о' Голоморфная в Я~ функция 1р может быть представлена в виде ряда <р = а,г + а,г' + ... (мы принимаем, как было условлено ранее, 1р(0)=0), следовательно, 2а За 1р'(о) = а, + 2аоо + Заоо' + ,, ср (о) = а, + †' + †, + ... о о' Произведение о1р'(о) задается, таким образом, следующим рядом: За ага + 2ао + — ' + следовательно, оно представляет собою контурное значение аналитической функции За а,г+ 2а, + — о+ ...
Первый член этого ряда представляет собою функцию, голоморфную в Я~, вследствие (10.5.5) интеграл Коши от а,о есть а,г при г ш Я+. Остальная часть ряда голоморфна во внептней области Я, значение ее при г- есть 2а„поэтому по формуле (10.5.7) интеграл Коши от нее равен 2а,. Итак, = а,г+ 2а,. Г сйр' (о) до 2я1,) о — о г Поступим точно таким же образом с последним интегралом, положим 1=5,+Ьг+Ь +...
Тогда 'Ф(о) = 5о+ — + Эту функцию можно рассматривать как контурное значение аналитической функции, получающейся путем замены о на г, Она голоморфна в Я и принимает значение Ьо при г-, поэтому 1 ( 1р (о)а 2ш) о — г о' Итак, мы получили 1" 11+ 11о 1р(г) = —, ) ' ' г(о — а,г — 2а, — Ьо (10.5 10) 5 1Ол. Основные плоские 3АдАчи теОРии упРугости 341 Из этого соотношения необходимо исключить постоянные а„а1 и Ь,. Для этого разложим в ряд интеграл в правой части (10.5ЛО) Внесем это разложение в (10.5.10) и представим функцию 1р также в виде ряда.
Получим Г(ао г Г1ао аг+аг + ... = — ) — +,—.) — — аг — 2а,— Ьэ. 2~1,) 2ш 3 Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях г, найдем — — 1 Г(ао 1 Г1ао Ь + 2а = —. ) —, а + а = —. ) —. о 5 — 2л1) о| 1 1 2я ) 5 Вторая из этих формул определяет действительную часть коэффициента а,. Выше было показано (3 10.2), что мнимая часть его может быть выбрана произвольной. Положим ее равной нулю, тогда — 1 Г1л 1 1 4я13 ог' Теперь (10.5.10) можно переписать следующим образом: Г(ао г Грао 1 Грао 1р(г) = —.) — — —. ) — — —.
) —. (10.5Л1) 2в13 о в 1 4Я13 ог 2Я1,) о Последний член в формуле (10.5.11) есть постоянная, которую можно опустить. Но тогда не будет выполнено условие (впрочем произвольное и необязательное) 1р(0) = О. Чтобы определить функцию 1Р(г), перейдем от граничного условия (10.5Л) к комплексно сопряженному и разрешим его относительно 5р(г). Получим р (о) =7(о) — 1р (о) — о1р' (о) . Вычислим от обеих частей интеграл типа Коши, который в каждом случае будет сводиться к интегралу Коши вследствие (10.5.9). Не приводя детальных рассуждений, выпишем результат 5р (г) = —. ) — — — — —.
1 Г (ао ~р'(1) (10.5Л2) 2в1) о — г г 1' Очевидно, что реп1ение задачи теории упругости возможно лишь тогда, когда приложенные силы статически уравновешены. Главный вектор сил равен нулю тогда, когда функция 1 есть однозначная функция дуги контура граничной окружности. Выше мы 1 Г1ао убедились, что —.) — есть действительное число. Легко пока2я13 о 342 ГЛ. 1О. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУ1'ОСТИ зать, что это есть условие равенства нулю главного момента.
Заметим, что ао !1~ — = — 11~ — ~ = — ОО, оз поэтому Заменяя д7 его выражением 1(Т, + 1Т~), выпишем условие равенства пулю мнимой части контурного интеграла, а именно, ) (х,Т, — х, Т,) дз = О. Это и есть условие равенства нулю главного момента. Коли функция со(ь), отображающая окружность единичного радиуса па контур Г границы упругого тела, рациональна, метод остается по существу тем же самым и решение задачи всегда может быть доведено до конца и представлено в замкнутом виде.
Выражения, фигурирующие в равенствах (10.5.3) и (10.5.4), прн этом всегда могут быть представлены как контурные значения рациональных аналитических функций переменной Ь и интегралы типа Коши вычисляются как интегралы Коши. Метод комплексной переменной применительно к плоским задачам очень хорошо представлен в ряде монографий и учебной литературе (Мусхелишвили, Савин, Новожилов, Амен-Заде и др.), поэтому здесь он не будет развиваться более подробно н иллюстрироваться другими примерами. з 10.6. Функция напряжений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
