Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Стесненное кручение и изгиб тонкостенных стержней Предположив, что изгиб отсутствует и продольная сила равна нулю, мы получим формулу (9.14.3) для нормальных напряжений, связанных только с кручением. Рассматривая равновесие малого элемента, изображенного на рис. 3.7.3, мы найдем, что нормальные напрнжения, меняющиеся с координатой х„влекут за собою появление касательных напряжений, и дифференциальное уравнение рановесия элемента будет д (тд) д 1ад) — + — = О. до дхо Отсюда тб = — ~ (сб)л Ыю о (9Л5.1) (9.15.2) Заметим, что вывод этой формулы буквально повторяет вывод формулы касательных напряжений при изгибе в э 3.7, но теперь величина с связана с кручением и определяется формулой (9Л4.3).
Внося это выражение в (9.15.1), находим $ 316 Гл. О. АнтиплоскАя деФОРмАция, кРучение, изГиБ Теперь крутящий момент в сечении будет состоять из двух частеи: МО Мк+М . (9Л5.3) Первая составляющая М, находится обычным способом, по формуле М„ЛООС, где жесткость С определяется формулой (9.13.6), тогда как вторая составляющая это — момент от напряжения т, даваемого выражением (9.15.2), Мх — — Еб" ~ йо ) Фбдг. О О Интегрируя по частям с учетом последнего из условий (9.14.6), получим М = — Е1„6".
(9Л5.4)' Здесь величина с 1„= ~оРбдг О называется секторнальным моментом инерции. Если крутящий момент М, задан, то, подставляя М„и М„в соотношение (9.15.3), получим следующее дифференциальное уравнение стесненного кручения: (9Л5.5) Е1 йх — С1гб = — М,(Х,). Решение однородного уравнения может быть представлено в виде б = ехр ~~ — ') Х сопзс.
х Ы Здесь линейный размер д представляет собою то расстояние от торца, на котором концевой эффект заметно ослабевает. Из урав- нения (9.15.5) следует Е/, ОР = — ". рС' Возвращаясь к примеру с трубой ($9Л4), мы легко находим, что секториальный момент инерции имеет порядок В'б, геомет- рическая жесткость С вЂ” порядок Вб', следовательно, д - В'/6. Как видно, второй малый параметр б/В, о котором шла речь в а 9.14, появляется в знаменателе и значительно увеличивает зону концевого эффекта по сравнению с той, которую предполагает принцип Сен-Венана. Полагая — Е1„0' = В,перепишем формулу для нормальных напряжений в виде а = Вв/1„.
(9Л5.6) Эта формула до чрезвычайности похожа на формулу для напря- 5 зла. стесненнОе НРучение и изГиБ стеРжнеи З(7 жений при изгибе. Роль координаты играет секторнальная площадь, роль момента инерции — сенториальный момент инерции. Величину В называют бимоментом. Условие ортогональности четырех функций от г, а именно, б, х„ха, в, устанавливаемое формулами (9Л5.6), (9.14.7), позволяет представить нагрузку р, заданную на торце стержня, следующим образом: 6Г Вв та+ а г+ +77 (9Л5.7) Здесь Л вЂ” некоторый остаток, ортогональный к четырем перечис- ленным функциям. Умножая на вб и интегрируя, вследствие ус- ловий ортогональности, получаем В = — ) рвбг)з. (9Л5.8) Выполняя интегрирование, находим отсюда а = 2В и, следовательно, вс = Ва(ф + 2 ып ф).
ва по дуге Секториальвый момент инерции находится как интеграл от контура, реаультат получается следующий: 1„= — я В 6. 2 в 3 Теперь ваходим размер Ва; Ва А = я ~/2 (1 + т) — = 6,06— 6 ' 6 Бимоментная нагрузка, таким образом, характеризует самоуравновешенную систему сил, приложенных на конце стержня. Первые три члена формулы (9Л5.7) определяют напряженное состояние, распространяющееся сколь угодно далеко от торца, бнмоментная нагрузка в тонкостенных стержнях вызывает напряжения, затухающие на характерной длине 51, наконец, оставшаяся самоуравновешенная нагрузка вызывает напряжения, которые в рассматриваемой приближенной теории не принимаются во внимание.
Прим е р 1. Трубка радиусом В с толщиной стенки 6 разрезана вдоль образующей ка длине й Концы трубки остаются веразрезаивыми. Требуется определить жесткость ее при кручении. Принимая за начало отсчета секториальяой площади точку А (рис.
9А4.1), получим ва = Ваф, са = В зт ф. По формуле (9А4.4) вс = Ваф+ аВ зшф. Чтобы точка С была центром изгиба, необходимо выполнение условия +я в (ф) В з(пф~р = 9. 3$6 Гл. з. АнтиплоскАя дкс>ОРмхция, КРучкния, изГЫБ (при т = 0,3) и переписываем уравнение (9.15.5) в виде О М 1 0 Аз Руи Аз Граничные уравнения должны выражать тот факт, что в сечениях х> = 0 н л> = ! депланация отсутствует, следовательно, д(0) = 069 = О. Интеграл атого уравнения х з д = Оо+ А ей — '+ В з!» —. »1 ' ' д' Из граничных условий находим с!> (!/»О — 1 4 — Ое В=со е),(!(Л) Интегрируя 0(х>) от л> —— 0 до х, = 1, получим полный угол закручивания. После подстановки найденных констант, окончательный результат получается следующим: »1 с)> (!7»О — 11 зй (((А) Величина 0» представляет собою погонный угол закручивания разрезаннов трубы без стеснения депланации.
Пример 2. Четыре силы, равные по абсолютной величине Р и приложенные к торцу двухтаврового стержня, как покааано ка рис. 3.7.6, служат примером чисто бнмоментпой нагрузки. Если к торцу приложены сосредоточенные силы Рь то интеграл в формуле (9.15.8) заменяется конечной суммой Здесь (»» — секторнальная площадь, определяющая положение силы ()». В случае, изображенном ва рис. 3.7.6, элементарный расчет приводит к ре. зультату В = РЬЬ.
Этот пример привел Власов, чтобы пояснить медленное затухание бимоментных напряжений. Если стенка балки исчезает, каждая из полос оказывается в состоянии чистого изгиба моментом РЬ, напряжения изгиба передаются сколь угодно далеко без всякого ослабления. Связывающая полки стенка закручивается, поэтому изгибающий момент в каждой из полок постепенно уменьшается и ва некотором расстоянии от торца нормальные напря>кения в сечении балки становятся пренебрежимо малыин.
Но это расстонвие определяется соотношением между большой изгнбной жесткостью полки и малой крутильпой жесткостью стенки, это расстояние во всяком случае много больше, чем размеры Ь и Ь. 3 9.16. Касательные напряжения прн изгибе стержней сплошного сечения Элементарная теория касательных напряжений при изгибе относится к сечениям балок, изгибаемых в плоскости симметрии х,Ох,. В основу ее полагаются следующие грубые предположения. а.
Касательное напряжение т= оз> направлено по оси х„ составляющая о»» = О. 9 9.16. НАБАтельные нАпРяжения пРи изГиБе стеРжнея 319 Величина интеграла представляет собою статический момент площади той части сечения, которая отстоит от оси х, на расстоянии, большем чем х,. Обозначим этот статический момент о1. Появившаяся сила уравновешивается касательными напряжениями т, равномерно распределенными по нижней граничной площадке Ь(хс)с)х,. Уравнение равновесия получается следующим: 3, — = тб«хз. 1 -,сг Отсюда, вспоминая, что ссМЯх, = 11 есть перерезывающая сила, получаем формулу .с (?8 1 1,ь' (9 16.1) Рвс. 9лзд Эта формула была выведена Журавским в середине прошлого века и применена при проектировании деревянных мостов.
Дерево слабо сопротивляется сдвигу в продольной плоскости и для коротких деревянных балок касательные напряжения могут быть более опасными, чем нормальные. Деревянные балки, как правило, имеют прямоугольное сечение, для прямоугольника с высотой 2Ь формула (9.16.1) дает следующий результат: 3 (1)' 2 Р ) (9 16.2) Здесь г' — площадь поперечного сечения. По этой формуле наибольшее касательное напряжение тм,х =- 3 0 — — достигается при х, =О т. е.
на нейтральном слое балки, 2 Р где нормальное напряжение равно нулю. В действительности, для касательных напряжений должно быть выполнено граничное условие (9 1.3). Это значит, что в точках контура вектор касательного напряжения должен быть на- б. Величина т зависит только от х,. Выделим элемент балки, изображенный на рис. 9.16.1, он ограничен плоскостями: хс=сопэ1, х, + ссх1 = сонэк В плоскости М х, = сопэ1 действует нормальное напряжение и — — — †'х„ в плоско- 1~ М, +РМ сти х, + дх, = сопз1 — нормальное напряжение и + Пп= ' х„ у таким образом, в направлении оси появляется сила 326 гл.
9. АытиплоскАя деФСРИАция, кРучение, изГиБ правлен по касательной к контуру. Предположение (а) удовлетворяет этому условию для прямоугольного сечения, поэтому можно ожидать, что именно для прямоугольного сечения элементарная теория окажется точной. Для других форм поперечного сечения нарушение граничного условия приводит к серьезной погрешности. Рис. 9Л6.2 Заметим, что при выводе формулы для касательных напряжений при изгибе тонкостенных стержней (9 3.7) был использован совершенно тот же способ рассуждений, что и при выводе формулы (9.16.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
