Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 45
Текст из файла (страница 45)
7.52. и(») = — ( в(1) 1 уж 1 Г и(!) аг У(») = —. У + гС (для сущест(-*) +" вования первого ийтеграла достаточна кусочная непрерывность и ограни- ченность и(1) во всем интервале (-со,со), для второго — дополнитель- но, например, функция и(1) должна иметь на бесконечности порядок 1!'(1( (а > 0)), 7.53. У(»)=и(»)+го(») = — ~ и(1) с»Ъ г(1- — ( иг(1) т)г г(1, 17 т(г-») ! Т т(г — ») 21/ 2 2г,/ 2 где и,(1) = и(1+ г) (для существованил интегралов достаточно, например, чтобы и(1) убывала на бесконечности, как 1Щ'+, о > 0 ). 7.55. Окружности в круге ф < 1, касательные к окружности !») = 1 в точке е'~.
Т.57. Дуги окружностей, соединяющие внутри круга ф < 1 точ- ки е дг егхи !» — ь 1 7.58. ы(»;а,Ь) = — агб, иг(»1-со,Ь) = — агб(» — Ь); ш(»;а,со) = т» — а т 1 = 1 — — агб(» — а). Геометрическое значение этих гармонических мерв деленный на л угол, нод которым виден отрезок или луч из точки». 1 1 Т.59. 1 — — агд» для луча агб» = О и — аг8» для луча агб» = у. т т 2» — й х 2йу 7.60.
иг(»,.бг) = — агб — — 1 = 1 — — агс»8, иг(», Г) + й г йэ — ~ !ы = 1 — иг(», !»). Линии уровня — дуги окружностей, соединяющие точки ж!й, из точек которых диаметр гэ виден под углом — (1-Ь ге) в случае ьг(», гз) 2 Глава Р!11 257 8.15. Решение. Подстановка е' = х приводит интеграл к виду 1(в) = 1ощ ля* — (х' = е' *). Интегрируя по частим, получим 1(в) = соз1— х' 1с — бх. Последний интеграл сходится в полуплоскости Вел > -1.
/*э 1 8.19. 0 < Пел < 1, — 1 < Ке л < 1. 8.21. Точка з = 1 — простой полюс с вычетом равным единице. 821. Решение. Обозначим через 1о(л) = /е 'Чо(зл) Ж. Аналитичность о функции й(з) в круге )з) < 1 следует из результата задачи 3.150 и общих свойств интеграла Лапласа (см. с. ). Интегрирун по частям (и+ 1) раз и пользуясь неравенствами задачи 3.150, получим при (з) < 1 1о(л) = — ~з [е 17~ ~(зо)), +з ~~/е ~Оршами(зг)оЫ = ь о о а„з" + з"+'о~ е 'Ооше н(ео) <й. о=о о Из оценки для )ужоц) следует, что второе слагаемое а правой части по- следнего равенства стремится к нулю при и -о оо ( )з) < г). Для доказа- тельства второго утверждения возьмем любую точку з б С.
Тогда внутри и на границе круга, длн которого Оз явлнется диаметром, не будет, как это нетрудно доказать, ни одной особой точки функции 1(з). Поэтому при достаточно малом б ) 0 внутри и на границе С круга радиуса )з)7'2 + б, концентрического с уже построенным, функция 1(е) также будет аналити- ческой. Таким образом, для коэффициентов е„разложения 7(з) = ~ с„з" 1 1 У(о) =о справедливы равенства с„ = — ~ — б~ и, следовательно, гл11' ( о С оос" Г([()бо оо(зГ) = — ~о — ) 2яа о' о о з"о" УИ) Так как ряд ) о!( м сходится равномерно на С, то оо(зо) = =о = — ~ 1(С)е —. Максимум величины Пе(з/Ь) на С равен «ОГ Лг ~г) / С = д < 1 (при доказательстве этого утверждения достаточно рассмотреть случай, когда з действительно и положительно, так как поворот вокруг начала координат не изменяет величины Ке (з1о,'), и, следовательно, )у(зл)) < < Аео' (А — постоянная).
Отсюда и следует, что интеграл ~е '1о(лз) ой сходится. о 0)з оо з ео 8.26. Если Ьп — — ветвь функции Ьп, аналитическая в е — ло л — ео з-плоскости с разрезом по дуге ч~ и обращающаяся в 0 при з = оо, то 17 Л.И. Волкоаыскяй н лр. Ответы в решения Е (э) = (а — Ь)1пп! ', Е+(х) = (а — Ь)1пн! — ~+2яЬС; внутри Сс: х х! з — з! Г (л) = (а — Ь)1п! ! — 2э.с(а — Ь) при аналитическом продолжении ! х — хс х л! через /! и Е (з) = (а — Ь) 1 и — при аналитическом продолжении чеСп х — зс с х! рез 1с. 8.28.
1) з = в3; 2) э = в21; 3) з = в2сд Во всех трех случанх значения ю'(э) различные. 8.30. Над з = 1 два элемента: х = 1+ С, 1 — (1 — с)'/' в = = — + — С+..., )1~<1, С 2 3 1+ (1 — С) /с 2 Вг= = — — — +еа 0<(С(<1; С С 2 над з = 2 один алгебраический элемент; х = 2+ Сс, ю = — = 1 — Ы— 1+и — С'+..., ф <1. 8.31.
Над з = 1 два алгебраических элемента: х = 1+ Сс, в = вС!/2(1— — с/2)'/с = вс!/2(1 — с/4+ ...), )с( < 2; над х = 5 один алгебраический эле- мент: э = 5 + Сс, ю = (с/2)(1 — Сс/32 + ...), )С! < 2, и два правильных элемен- та! л = 5 + с, в = в21(1 + сс/32 + ...), (с( < 4; над х = оо один алгебраический элемент; з = С ', в = 1/С вЂ” С + ..., О < (С( < ф/5.
8.32. Нэд з = 1 два алгебраических элемента: з = 1+ С', ю = в(1 + + с)с/2 = М1+ с/2 — ...), )Ц < 1. 8.33. Над г = 1 три алгебраических элемента: з = 1-г С~; в = ва(1+ +С/3+ ...), ф < 1, где ач =1, всл = енс !/з. Над «= 2 один алгебраический элемент; х = 2 + Сс, ю = — (С/!з/22)(1 — сс/12 + ...), ф < 1 и три правильных элемента: а = 2 + С ю = в!!/2(1+ С/12+ ...), ф < 1. Над з = со один алгебраический элемент: х = С с, ю = 1/!+ С!/3+ ..., О < <)с~ < Ф/ 8.34.
Над э = оо два алгебраических элемента: х = С ', в = в-(1 — аС) (1 — ЬС) = в — ~1 — — С+ .../, 0 < )С! < псш 1 с/! с/с 1 / а + Ь /1 11 с СХ 2 "'/' /а/ /ь/ 8.35. з = 0 — существенно особан точка, двузначная: з = Сс, в = = е'/' = 1+ 1/С + 1/(г!Сс) +, О < Щ < о . 8.36. Над з = 0 алгебраический элемент; з = Сс, ю = зшС/Сс = 1/С!в — 1/(3! С) + С/5! — ..., 0 < Щ < оо.
8.37. Над з = 0 алгебраический элемент: з = С!. ю = ссб с = 1/С вЂ” С/3 + ..., 0<(С(<э. 8.38. Над з = 0 алгебраический элемент: з = С, ю = С(1 — С'/12+ ...), !с! <,/я. 8.39. Над л = 1 — одна трансцендентная точка ветвления 1-го порядка; над з = со одна а.т.в. 1-го порядка. Глава У!11 259 8.40. Над л = О и л = со — по одной а.т.в. 1-гп пврядка; над л = 1— одна правильная точка и одна существенно особая точка однозначного характера. 8.41. Над л = О и л = оо — по одной а.т.в. 1-го порядка; над каждой из точек л = (1+ 1/(ля)) (Й = ш1, ш2, ...) по одной правильной точке и по одному полюсу 1-го порядка; над л = 1 — одна правильная точка и одна неизолированная особая точка однозначного характера (предельная для полюсов).
8.42. Над л = Π— одна а.т.в. 1-го порядка; над каждой из точек л = й~л' (1с = ш1, ш2, ...) по два полюсе 1-го порядка; над л = со адил неизолированная точка ветвлении (пределызая для полюсов). 8.43. Над каждой из точек л = О, л = 2 — по шесть а.т.в. 1-го порядка; иад л = 1 две а.т.в. 2-го порядка и шесть правильных точек; над з = со две а.т.в. 5-го порядка.
8.44. Над каждой из точек л = 1, л = -1 — бесконечное множество полюсов 1-го порядка; над л = О и л = са по одной л.т.в. 8.4б. Над х = 1 — бесконечное множество правильных точек и бесконечное множество полюсов 1-го порядка; над л = О и з = оо по одной л.т.в. 8.46. ш = 1/4, ш = оо — а.т.в. 1-го порядка. 8.47. ш = ш2 — а.т.в. 1-порядка; ш = со — а.т.в. 2-го порядка.
8.48. ш = 1/4, ш = оз — а.т.в. 1-го порядка. 8.40. ш = О, ш = со — а.т.в. 1-го порядка. 8.80. ш = е~' /2 (а = сова) — а.т.в. 1-го порядка. 8.81. ш = оо — а.т.в, (и — 1)-го порядка. Каждому нулю производной ш'(л) порядка 7с соответствует а.т.в. функции л(ш) того же порядка. 8.52. Нулям производной ш'(л) соответствуют а.т.в. такие же, как в предыдущем случае.
Полюсам функции ш(л), порядок которых больше еди- Рпс. 72 17' Отеежы и решения 260 ницы, соответствуют а.т.в. порядка на единицу меньше порядка полюса. Если на ос функция ю(з) =юе+ с ь/з" + ... (/с > 1), то з = со соответствует а.т.в. (/с — 1)-го порядка над ю = юе. 8.53. Поверхность для з(ю) та же, что для (/ю; ее точки ветвления лежат над ю = О, ю = со и соответствуют з = -н, з = оо.
Листам ю-плоскости с разрезами О < и < оо, о = О соответствуют углы 2н/я с вершиной в точке з = -я. При и -з оо эти углы превращаются в горизонтальные полосы шириной 2з., функция ю(з) — в е', поверхность для л(ю) — в поверхность для Ьпю. 8.54. Поверхность для з(ю) та же, что длн (/ю. Листам ю-плоскости с разрезами — со < и < О, о = О соответствуют круговые двуугольники с углеми 2х/н в точках з = а, з = 6 (рис. 72, где я = 3)"). 8.55. Поверхность для з(ю) получаетсн склеиванием двух листов ю-плоскости с разрезами ]и] < 1, о = О, соответствующих областям ]з] < < 1 н ]з] > 1.
Точки ветвления лежат над ю = ш1 и соответствуют л = = ю1. Полярной сетке ]з] = г. агбз = ~р соответствуют эллипсы и гиперпг л „з болы с фокусами ж1; + =1; — — =1. (1/2(г + 1/г)]з (1/2(г — 1/г)]з ' созе и зшз И 8.58. ю(з) = з = з + 2з + Ззз + ... — известная экстремальная з (1 — з)з функция в теории однолистных конформных отображений (см. (4, гл. Х111, 2 1]). Она отображает единичный круг ]з] < 1 на ю-плоскость с разрезом — оо < и < — 1/4, о = О. Поверхность з(ю) получается склеиванием двух таких листов. 8.57. Поверхность для «(ю) получаетсн последовательным склеиванием 2я листов ю-плоскости с разрезами 1 < ]и] < оо, с = О.
Она имеет 2н точек ветвления 1-го порядка над ю = ю1 и 2 точки ветвления (и — 1)-го порядка О 1 Гг Рас. 73 над ю = оо. Основное отображение показано на рис. 73. Функция ю(з) автоморфна (инвариантна) относительно группы линейных преобразований, порождаемой преобразованиями Т = юз(ю = с~юг"), я = 1/з. Этим преобразованиям соответствуют преобразования поверхности для з(ю) в себя, ) Нз рисунках к задачам етой главы соответствующие друг другу точки обозначены одинакоеымн буквами.
Лля бесконечно удаленных точек использованы, кек правило, обозначения О и й' Глава Р111 при которых листы циклически переходят друг в друга с сохРанением проекций точек на «е-плоскость. 8.58. Поверхность длп «(«и) 2и-листна, с точкой ветвления (2и — 1)-го порядка над и = О, соответствующей « = оо, и с 2и точками ветвления 1-га порядка, из которых и расположены над и = -со и соответствуют л $/ точкам «л = е '/"м~ (ы = е "'/", л = О, 1,2, ..., и — 1), а и — над точке/2и — 11 ми вь — — ~ ! «ь и соответствуют точкам «ь —— ~ ы .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
