Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 41
Текст из файла (страница 41)
л = со — существенно особая точка. 4.29. г = оо — существенно особая точка. 4.30. л = 25л! (Й = ш1, ш2, ...) — полюсы 1-го порндка; а = со — точка, предельная для полюсов. 4.31. е = 0 — полюс 2-го порядка; л = 2йхг (й = ш1, ш2, ...) — полюсы 1-го порядка; х = со — точка, предельная для полюсов.
4 32. г = (2!!+ 1)я! (/с = О, ш1,ш2, ...) — полюсы 1-го порндка; х = сю— точка, предельная для полюсов. 1лааа 1'г' 237 4 33. л = Π— полюс 3 го порядка; л = 2йп ~11п(2+ т/3) (й = О й1, ~2, ...) — полюсы 1-го порядка; л = оо — точка, предельная для полюсов, 4.34. л = йх1 (й = О, й1, й2, ...) — полюсы 1-го порядка; х = со — точка, предельная для полюсов. 4,35. л = Π— существенно особая точка; л = со — правильная точка. 4.36. л = Π— существенно особея точка; л = оо — полюс 1-го порядка.
4.37. з = 1 — существенно особая точка; л = со — правильная точка. 4.38. л = Π— существенно особая точка; л = со — существенно особая точка. 4.39. л = 1 — существенно особая точка; л = 2йхг (lг = О, й1, ~2, ...)— полюсы 1-го порядка; х = оо — точка, предельная для полюсов. 4.40. л = йх (й = О, й1, ~2, ...) — полюсы 1-го порндка; х = оо — точка, предельная для полюсов. 4.41.
л = Π— полюс 2-го порядка; х = оо — существенно особая точка. 4.42. л = (2й + 1)- (й = О, ~1, +2, ...) — полюсы 1-го порндка; л = со— 2 точка, предельная для полюсов. 4.43. л = (2й + 1) — (й = О, ~1, й2, ...) — полюсы 2-го порядка; л = сов 2 точка, предельная для полюсов. 4.44. л = Π— полюс 3-го порядка; х = йх (й = й1, й2, ...) — полюсы 1-го порпдка; л = сс — точка, предельная для полюсов. 4.45. л = йх (й = й1, й2, ...) — полюсы 1-го порядка; л = со — точка, предельная для полюсов. 4.46. х = йх (й = О, й1, й2, ...) — полюсы 1-го порядка; л = оо — точка, предельная для полюсов.
4.47. Если а ф та+ х/2 (гп = О, й1, ~2, ...), то л = 2йгг+ а и л = (2й+ -Ь1)х — а (й = О, ~1, й2, ..) — простые полюсы; если а = игл+ я/2, то при гп четном л = 2йх -Ь х/2 и при пг нечетном л = (2й+ 1)х+ х/2 являются полюсами 2-го порядка; л = оо во всех случаях точкц предельная для полюсов. 4.48. Если а ~ гпх (гп = О, й1, й2, ...), то л = (2й -Ь 1) х й а (й = О, й1, ~2, ...) — полюсы 1-го порядка; если а = гя.г, та при гп нечетном л = 2йх, а при гп четном л = (2й + 1)х — полюсы 2-го порядка, л = со во всех случаях точка, предельная для полюсов.
4.49. а = 1 — существенно особан точка, л = оо — правильная точка (нуль 1-го порндка). 4.50. х =- — 2 — полюс 2-го порядка; л = 2 — существенно особая точка; х = оо — полюс 3-го порядка. 4.51, 4.52. х = 1/(йх) (й = с1, ~2, ...) -- полюсы 1-го порядка; л = О— точка, предельная для полюсов; л = со — полюс 1-го порядка. 4.53.
л = Π— существенно особая точка; л = со — правильная точка (нуль 1-го порндка). 4.54. х = Π— существенно особаи точка; л = со — существенно особая точка. 4.55. а = 1/(йгг) (й = й1, ~2, ...) — существенно особые точки; л = О— точка, предельная для существенно особых точек; л = со — существенно особаи точка. 238 Ошеешы и решения 4.56. л ш г ((с = О, ж1, ж2, ...) — существенно особые точки; з = (2Ь+ Цл = 0 — точка, предельнан для существенно особых точек; з = оо — правильная точка. 4.57. з = 1/(/сл) (/г = ж1, ж2, ...) — существенно особые точки; з = 0— точка, предельная для существенно особых точек; з = оо — существенно особая точка. 2 4.58. л = (/с = О, ж1, ж2, ...) — существенно особые точки; з = (2Л ж 1)я = 0 — точка, предельная для существенно особых точек; з = оо — правильная точка.
4.59. Для одной ветви пранильная точка, для другой — полюс 1-го порядка. 4.60. Длн одаой ветви полюс 1-го порядка, для остальных пяти ветвей правильная точка. 4.61. Для одной ветви правильная точка, для другой — полюс 2-го порндка. 4.62. Для одной ветви правильнан точка, для другой — существенно особая точка. 4.63. Для обеих ветвей полюс 1-го порядка.
4,64. з = (1 -> 1/()сл)) — правильная точка для одной петви и полюс 1-го порядка для другой; з = 1 — правильная точка для одной ветви и неизолированная особая точка, предельная для полюсов, для другой ветви. 4.65. Каждая из заданных точек — правильная для одной ветви и полюс 1-го порядка для другой. 4.66. Правильная точка для одной ветни и существенно особая точка для другой. 4.67. 1) Для нсех ветвей полюс 1-го порядка; 2) для одного бесконечного множества ветвей правильная точка, для остального бесконечного множества ветвей полюс 1-го порядка. 4.68. Для одного бесконечного множества ветвей правильная точка, для остального бесконечного множества ветвей существенно особая точка.
4.69. 1) Точка з = оо — полюс порядка к = гпах (я, т), если и ф т; если же я = т, то з = оо — либо полюс порядка Й ( (п, либо правильная точка; 2) полюс порядка я — пз, если я ) т, и правильная точка, если н ( нн если в ( яз, то з = оо — нуль порядка т — н; 3) полюс порядка н+ яь 4.71. Примеры: 1) з-; 2) 1/з'+з; 3) 1/з" — 1.
4. 72. 1) — (а ~ О) или аз + б (а ~ 0); з — а 2) (а ЗЕ О) или аз+ а>з+ ... +а„з" (а„ф О); 3) —, + С; (з — а)" зз 'Ц ~ + (а ~Оа~~~О); 3" 5) аа + а~г -~- ... -~- а„з" (сзь зе си при к ф 1 и па крайней мере од(а — а1)(з — ол)...(з — а„) ее + аул+,.. Е а„л" но из чисел а отлично от нуля) или " " (а„за О, (л — а~)(л — оз)...(л — а -а) аь ~ пч ври й;а!). 4.74.
1) за — устранимая особая точка; 2) хо — полюс порядка п, если 1о(л) однолистна в окрестности точки зм и полюс порядка пт, если х(х) т-листка в окрестности этой точки; 3) за — существенно особая точка. 4.75. 1) Точка з," — полюс порпдка и, если 7' — прямолинейный отрезок, и правильная точка кратности п, если ч' — дуга окружности, т. е.
/(х) — /(зо) = (з — зл)" У(х), где 1с(з) аналитична в окРестности точки з," и у(зе ) ,-а О. Если лс = оо, то это условие записывается в виде /(з) — /(оо) = з "х(з), где 1о(л) аналитична на оо н у(оо) ~ 0; 2) хс— существенно особая точка. 4.77. 1) — 1; 2) 0; 3) 0; 4) О. 4.78. 1) Существенна особая точка х = оо; исключительное значение 0 (и со); с* -+ О, если х -+ — оо (е* -+ оо, если х — > -Ьоо); 2) существенно особая точка л = 0; исключительное значение 0 (и со); ем' -+ О, если х -~ О, вапример, вдоль пути р = О, х ( 0 (ем* -+ оо при х -+ 0 вдоль пути р = О, х > 0); 3) существенно особвя точка л = 0; исключительных значений нет (не считая со); сов(1/з) — э со при х = О, р -+ О; 4) существенна особая точка з = сю; исключительные значения 1 и — 1.
4.79. тев [/(з)],=а~ = -1/2; сев [/(л)! =о = 1; тев [/(з)], ~ = О. 4.80. тев [/(з)],=; = — 1/4; тев [/(х)],=; = 1/4; гев [/(л)], ~ О. 4.81. гев [/(з)],=-~ = ( — 1)"+,; сев[/(х)],=„= ( ( ) (2п)! (и — 1) Ф(п,— 1). ' 4.82. гев[/(з)].=е =1; сев[/(х)]*=~з = — 1/2; сев[/(х)], =О. 4.83.
тев [/(з)]*=о = 0; тев [/(х)],=~ = 1; тев фх)],=, = -1. 4.84 сев[/(л)], ~ = 2вш2; сев[/(з)], ~ = — 2в1п2. 4.85. гев [/(з)]*=о = 1/9, гев [/(л)],=з, = — 1/64(ми 3 — асов 3); сев [/(х)] =-з = — 1/54(вшЗ+1совЗ); алев[/(з)].=~ = 1/27(в1п3 — 3). 4.86. гев [/(х)], Иьеи лз — — — 1 (/с = О, х1, х2, ...).
4.87. сев[/(з)]„л = ( — 1)ь (1с = О, х1,х2,...). 4.88. гев [/(л)]. ь = 0 (х = О, х1, ш2, ...). 4.89. гев[/(з)],=ь = -1 (я = О,х1,ш2,...). 4.90. 1) гев [/(з)],=з = сев [/(х)]*= = О; 2) сев [/(х)]*=г = -тев [5(з)],=~ = — 143/24. 4.91. тев [/(л)]*=а = -сев [/(х)],= 1 =о 4.92. сев [/(з)]*=а = гев[/(л)].= ь = О. 4.93. сев[/(х)],= ~ = -сев[/(л)],= = — сов1. 240 Ответы и ресиениа 494. г'в[Пл)]с=-з = — гевУ(з)] = = — я!н2 У 4г 4г" ы + с- (2п — 1)!(2п)! с (2п)!(2п+ 1)!1 4.95. гев [У(з)]*=с = 1/2! гев [1(з)], гл„ссл = —, ()с = т1, т2, ...).
1 2Ьг! 4.96. гея[У(з)] =с = О, если п ( О, а также если п > 0 нечетное; гея[1(з)]„с =, если и = 0 или п > Π— четное; гея[1(г)],=„= (- )ти (и+ 1)! ' = -сея[У(з)]с=с 4.97. гея [1(з)],ы~дл ! — — ( — 1)лы —, (й = ~1, ~2, ...); тел [1(з)],.=с, = лс! 2 (-1)' 4 98. сея[1(г)]с лг г = (-1)л2кглг (!с = 1,2, ...). 4.99. тел [1(г)], с = О, если и нечетное; 2гл(2гл ц гев[г(г)],=с = (-1)л+' Вгл, если п = 21 (к = 0,1,2,...), где (2!с)! Всл — числа Бернулли (см. задачу 3.100); гея[с(г)] с с = — (1 = 0,~1,х2,...). =(лыса) (Л+ !/2)"х 4.100.
1; -1. 4.101. О; 2. 4.102. -2е'л"", если ~/1 = 1 и Ьн1 = 2!схс'; О для ветвей, определнемых значением ~/Т = -1. 4.103. т(а — Ь)~/8. 4.104. 1) а — Г! (длн всех ветвей); 2) е — ея (длл всех ветвей). 1 1 4.105. 1) 2)слс+ — — — + ..., если 1 и 1 = 2!схс; 2 3! 4 5! 1 ! 1 2) — — + — — + ... (длн всех ветвей). 2! 3 4! 5 6! 4.100. ген [!(з)]с=с = Ьг, если Агс180 = Ьг! гея [1(г)],=; =— (2л+ !)сг 2 (21 4 1)х если Агсгйсо = 2 4.107. гея [1(з)], с = О, если п > О, гев [1(з)]с=с = Ьн —, если и = — 1, и д' тел [У(г)]*=с = — (а" ' — Р"+'), если п < — 2; гея [1(з)],=. = — (а" ив а+1 и+ ! — )1"~'), если п > О; тел[1(з)],=~ = — 2)схс, если п = — 1 и Еп1 = 2)снс, и гев [У(з)],= = О, если п < — 2. 4.108.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
