Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 53
Текст из файла (страница 53)
ь=о сй !'г 10.104. 1) и!(«) = — !и «+ сопл!, и(«) = — !пг+ соне!, где р = —; !и р !и р т! сй Н 2) ю(«) = — !и!(«) + сопл!, и(«) = — !и )!(«И + сопл!, где р — модуль !па !ар области В (см, с. 35) и г(«) конформно отображает В на круговое кольцо. 10.106. и!(«) определяетсн формулой, указанной в тексте задачи 10.105, где: « — х! ( — х! х 2) и 3) !(«) =,/р, р = ( ), хг, хг определяются из урва« в хг ~ — хг ,л кения х + + х+ П~ = 0 (х! < тг); а а+Ь 4) !(«) = — («+ г/«г — сг),,и = —, с = г/а! — Ьг; с с 5) ! = ежк«ыlк, « = вп (и Гс), р = ег к«к (!!се и! < К /!!пи! < К'; см.
задачу 9,48, 1); 2КЛ Г Йп и сп и! 6) ! = е ' «"П, « = !У(и) + ~, р = е ~, где Й опредевп и г ляется из уравнений: КЯ(р) = —, !)п /Г = — (см. задачу 9.48, 15), 2а' К 10.108. 1) ач(«) = 1 — —, ыг(«) = —; !и!«! !и!«! !пр' !пр' Ответы и решения 310 2) ыг(з) = 1 — ыг(з),а!г(з) = 1п /г(х)/ 1и и 1 Рг! = Ргг = -Ри = -Рп = —, 1п и где г(з) конформно отображает Р на кольцо 1 < ф < д, причем контур Г! переходит в окружность ф = 1. 10.110. о(г) =!ш((з) — ) оыоь(з), где г'(г) конформно отображает Р ь-! на плоскость с горизонтальными разрезами, причем р' — + ..., если а Р' со, У(з) = г а рга + ..., если а = со.
10.111. о(х) = 2дд(з,а) + ~оьыь(з), ыь(з) = — — д! ' сж 1 Г дд((,г) 2х l да ь=! г„ 10.112. Если 7" (а) = оо, то поле образовано диполем (а; р), где р опреде- ляетсн из разложения Д(з) вблизи тачки а: — +..., если афсо, Р! гл)= г — а рва+ ..., если а = со.
10.113. 1) Если 7(а) = О, 7(Ь) = со, то поле образовано точечными зарн- дами (а; 2д), (Ь; — 2д), причем поток вектора напряженности через каждый граничный контур равен нулю; 2) если 7(а) = О, то поле образовано точечным зарядом (а; 2д), причем поток вектора напряженности через граничный контур, соответствующий окружности. в направлении нормали, внешней к области Р, равен 4лд, а через каждый другой контур равен нулю; 3) лоле всюду регулярное. Поток вектора напряженности через гранич- ные контуры, переходящие в окружности, в напрвплении нормали, внешней к Р, равен ж4кд (+ для контура, переходящего во внешшого окружность), а через каждый другой контур равен нулю.
10.114. См, задачи 10.61 и 10.63. ! — 1 10.116. 1) о(з) = ~ аьыь(з) + с, где аь однозначно определяются из ь=! системы ) р,ьаь = 2д, (! = 1,2, ...,п — 1) ь=! (см. задачу 7.70) и с — произвольное действительное число. Задача эквивалентна построению течения в Р, обтекающего граничные контуры Гь с циркуляциями 4лдь (Ь = 1,2,...,п), если оо 6 Р, и циркуляциями 4хдь (й = 1,2,...,п — 1), — 4кд„, если оо 6 Р (Г„ — внешний контур). 2) п(з) = оа(з) — 2дд(з,а), причем оа(г) определяетсн, как в и.
1), по зарядам обложения 2дь + 2дь, где !7„= — — 7! ' !ха. 7 дд(4,а) 2 l д г„ Глава Х1 зп „г 10.116. и(») = 21г!и — +с, если д = О, и о(») = 2(Ф вЂ” Лд) !и —— !»! [»[ -2дд(»,а) + с, где !па ...,х ~ дг((!и» -!-!па)/(2ю)) !пр' ' дг !и» вЂ” !па 2тгт (( )/( И !и р при т = —, причем р < а < 1, если д ф 0 (в обозначениях задачи 10.63 функции Грина д(», а) = 1гл Ф( — )и») при Г = 2х и Гт = -2л; последнее— из условия ф = 0 на границе кольца).
10.117. Источник (а;д) переходит в источник (а"; †), где а' — тачка, силтметричная а. Функции и = д/(2») )п(1/[/(, а) [) + с, где /(», а) конформно отображает область Р на единичный круг (здесь и в дальнейшем коэффициент теплолроводности /т принят равным 1). 10.118. и ж — !и [ [+ с. 10.119. и = — !и ~+с. 2т. !» — а ! 2тг и(» — а) г! [вга(лг/(2аЯ -!- таь (тгИ/(2а)) ~ 2.т [а!п(л»/(2а)) — твь (лИ/(2а)) ! ! -'г !/т/И ! 1 К 10.121. и = — )и ~ ~ ф с, ! = зп ! — ( -ь тЬ), и], где )т определяется 2 тг ! — т'/ т/И а К' 2Ь из соотношения — = —.
К а 10.122. 1) Функцию Грина д(», а) области Р можно рассматривать ьак температуру, создаваемую в Р источником тепла (а: 2л), когда на границе температура равна нулю; „ 2) и(») = — д(»,а) + ) иьтвь(»), где ыь(») — гармоническая мера Гь. Д 2.т ь-.г Ч и — иг 10.123. и= — д(»,а) ф )п[»[/гт + иг, где д(»,а) — функция Гри!и— г г на (см. ответ к задаче 10.116). Глава Х1 1 1 11.3. 1), 2) А = — [(аг+ Ьт) + т(ат — Ьг)), В = — [(аг — Ьт) +т(а + Ьг)], 2 2 1 2тЛ С = сг + тот; Аг = — [(ат + Ьт) + т(Ьт — аз][, 1 Вт = — [(Ьт — ат) — т(а» + Ьг)], Сг = — ((стЬг — сгЬ») + т(сгат — стог)[.
2ГЛ 4) Отображение (2) сводитсн к проектированию»-точек на прямую ш = = ретд "!1' (-со < и < оо), повороту вокруг начала на угол )т и преобра- зованию подобия с коэффициентом [А[ Вся»-плоскость лреобразуетсн при этом в прямую ш = Ле'!"чд!1т ( — оо < Л < со). 11.13. Можно построить искомое квазиконформное преобразование с характеристикой р ( ((В+ )а[)/(Й вЂ” )а[).
312 Ответы а решения 11 14. и = х/сова, е = р — хгйа, р = (1+шпа)/сова. г — а 11.14. Решение. При помощи функции С = !и — (значения л = а г — Ь и з = Ь соответствуют точкам А и В) конформно отображаем заданный двуугольник нэ полосу ширины л+ Во. Эту полосу сжимаем до полосы шириной л (квазикоиформиое отображение с характеристикой р = 1+ /!о/л) и, пользуясь обратной функцией л(С), отображаем последнюю полосу на полосу шириной л.
При этом дуга АМ (рис. 137) длины е займет до положение отрезка АМ' длины х; точка М перемещается по окружности Аполлония относительно точек А и В (показано штриховой ли- В пней) причем Их соог(до/2) > г !3о 5 оег > соз В х М' Ае М гг с (д/2) 2 (доказать!).
В полученной полуплоскости расширяем вертикальную полу- полосу, опираюшуюсн на отрезок АВ до длины дуггг АВ, и притом так, чтобы а результате сохранить длины всюду на дуге АВ. Результирующее квазиконформное отображение имев~ характеристику р ( ((1 + До/л) аес (Во/2). 11.17. А = -((а — г!) + г(с + Ь)), В = — ((а + о!) + г(с — Ь)), Г = -(/ + !й). 1 1 1 4 2 11.18. Ь ш 9г(з)а илн Ь = а/у(л). В частности, можно взять ш = ог+ +чг(л)ш. Преобразование ш = аог+Ы невырожденное, если /дг(з)! ф 1. 11.19.
Ь = Ла, где Л определяется из уравнения чгЛ вЂ” Л(1 + /7г! — !о!г! ) + +по = 0 или (Л вЂ” г7г)(1/Л вЂ” 9г) = /чг/-'. Преобразование невырожденное, если !дг!+ !9г! с 1 или !19!! — !9г!! > 1. 11.20. Старшие члены уравнения задачи определяют кввзиконформное отображение с двумя парами характеристик (р, д), (рпдг), зависящими от д,(г) и пг(л). Преобразование С(з) есть квазиконформное отображение с ° Р 1 ьо * Рг — ! ге, одной парой характеристик р, д; пг' = — — е ', 9г' = — е ' ' (см.
задар.,-г ' р +1 чи 11.7 и 11 9) 11.28. Е(з) = — 2з !п1п(1/г) + 2л 1и !п(1/В); дР 1 е'е соо Ог 1 — = -21п1п — — 2 + 2!п!и —, дя г !пг и дР 1 Его о!Пгг . 1 — = -24!и!п — — 2 +24!и!и —, дч г 1ог й' дР 1 1 1 — = — 2 1и !п — — 1п — + 2 1и 1и —, д г и' дР егге = = р(з) оо —. дг Рз Мг .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
