Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 49
Текст из файла (страница 49)
лв р-! р а! гз 2) ю= — ) ~ ) р1з. Если в= —, тою=†к:.(- — зВ) (, з ), .~ В(вв 1) 1 =с 278 Ответы и решения 2/ / л Ь /=55 52 9.16. 1) ш = — (Н агссб / — + й агЬЬ вЂ” / — /1, где а = 1+ —; Н)/. —.1 Нз' 2) ш = — (Н ахсЬб у/ — +Ь ахЬЬ вЂ” )/ /5, где а = 1+ —; е2 22 Н 15' аз — »2/ Н 3) ш=С/ Г,Л 42 где С, а, Ь определяются из уравнений / (1 — 2)(2 — а)(2 ж Ь) ' о Ст Сзг»/е Ст»/Ь (а — 1)(а + Ь) (а — 1)(а + Ь) ' (Ь + 1)(а + Ь) 9.17. 1) = / (1 — 1") /" Ж; В(1/п, 1 — 2/и),/ В ' В(1/и + 1/2,1/2) 5 (т, 15 22/5 Ц 5.2 "( ~5)-5/5(1 15)2/541 В(1/10,1/5) о Г( — — -/Г( — ) 51п ш(1) 55 5!о— п ) — 2/ 9.29.
иг = СС ) з П (л — 55 — /5 ггх, если и = 2т, и тт / 2 22» 5»г -2/ 'гт / 2 2ТЬ вЂ” 55,/(,55~, — г — ) г... =5 гг, с= о ) »=г — С = — 22(2п) 2/"е ' /" и С, = — 22 2 2/" В(1/о,1 — 2/о) 9.21. Параметры определяются с помощью уравнения (3) для Ь», из равенств (/(Ь»)! = 1» (/г = 1,2, ..., п) и направления одной из сторон звезды. Одно значение а» выбирается произвольно.
9 22 — С(2 1) ( +1) С вЂ” Ь (1 ) 2 2 4 9.24. Параметры определяются из значений ~/(Ьг)), (/(г(5)(, известных из задания Р и направления одной из сторон Р. Три параметра (о», Ьг, с, гг,) выбираются произвольно. Если один из параметров а» или с равен оо, то (4) и (5) остаются в силе, если отбросить множитель и слагаемое с этим параметром. Если один из параметров Ьг или 55, равен оо, то (4) и (5) остаются н силе без изменения. 25)5/5(1+ 55)-2/5 2-'/'Г(7/10) 2)ш=С И+1, с »=С= С Г(0/10)Г(4/5) о 9.19. Па многоугольную звезду с углами л — 2Т/и — Ля и л+ Лн цопеременно, с центром в начале координат и одной из вершин первого вида углов в точке Рлоеа 1Х 279 )«, ) , )-ег )-„ аг — аг аг+ аг 122 2 9.27.
ш = С) (, С = гЯН, о = )/ —. )/ 1 — аггг' ' )/ Н 9.23. =С"-"("-Ц", С=ЬЬ"-1(1-ьг)-, Ь=,/Г-2 . 9.29. ш = /ЬН( г! ( — 21, где о и 6 определяютсн из сис- ~1+,/ (,1 Ь,1 темы уравнений о 'Ь ' = Ь/ЦН, аг(1/о — о) = аг(1/Ь вЂ” Ь). 9.30. 1) ш =(Те(г)~ы", где Т„(з) = -[(з+ г/22 — 1)" + (2 — г/зг — 1)"]— полиномы Чебышева; 2)ш= Т„'(2) И:1 Н" 9.31. Параметры определяются из значений Ве/(Ьг) и Ве/(А), извест- ных из задания Р и положения одной из сторон Р.
Три параметра (оь, Ьг, с;, 12,) выбираются произвольно. Если один из параметров ог илн сг равен со, то (6) и (7) остаются в силе, если отбросить соответствующие слагае- мые. Если один из параметров Ьг или 11, равен со, то (б) и (7) остаются в силе без изменения (см. ответ к задаче 9.24). 9.32. Параметры определяются из значений ВеДЬ; ), ВеД21,). Три па- раметра ог, Ь„сг, 11, выбираются произвольно. В формуле (10) два пара- метра аг, Ь„с,, 12, выбираются произвольно. 9.33. Параметры определяются из значений Ве /(Ь,) н положения одной из сторон Р. Два параметра выбираются произвольно.
9.34. Параметры определяютсн из знечений Ве/(Ьг) и Ве/(4,) и по- ложения одной из сторон Р. Три параметра выбираютсл произвольно. В формуле (11) два параметра, соответствующие вершинам, выбираются про- извольно. 9.35. 1) ш = — ' !и (з + 1) + — !и (2 — 1) + С, С = — — "' !и (Ь+ 1) — — "'!и (1 — -Ь), Ь = "' гг з Л1+ Ь2 2) ш = — 1и (2 — 1) + — !и з + С, л л С = — — ' !и(1 — Ьг) — — г!и6, Ь = т т ' !! 2Ь1+Ьг Ь1 2+аг Лг г — аг 3) ш = — 1и — + — 1и —. Параметры ог, ог определнются из т 1 +е12 з 1 е22 системы уравнений: а,"'аг' = е ", Ь1(1/аг — ог) = Ьг(1/ог — аг); Г1 1! 4) ш = /'(-(з+ -)~, где Дг) — отображение из п.
3; Ь Ь 5) ш = — 1иТ„(з), где Т„(х) — полиномы Чебышева (см. ответ к задаче 9.30); б) =-„(.(.-1)+ ); Ь Ответы и решения 260 »+1 2 7) ш = !п — + А», А = —, где Ь определяется из уравнения 1 — » ' Ьз — 1' 6-!- 1 26 1и — + — = Ы; Ь вЂ” 1 Ьз — 1 8) ш = !и(»+1) — А»~ — »+ соиле, где А = 1/(2а) и а определяется из уравнения !па+ 1/2(а — 1/а) + а = О. В частности, если а = О, то а = 1; Л С Ь Ь з 9) ш = — 1п(» — а) + — + А»+соиас, где А = —, С = — (1 — а ) и л » — а 2ла' 2»а 1-а 2 ла' а определнется из уравнения !и — + — = —. В частности, если Ь = О, то 1+а а Л а = О, А = С = д/4. 9.36.
Соответствие между плоскостями и, » и ш показано на рис. 95, Рис. 96 ЬКР Рнс. 96 л 1+6~ Аффиксы точек С и С' в плоскости у равны ш- + ! !и —. Штриховому 2 й отрезку в плоскости и соответствует штриховая полуокружность радиуса 1/~/Х в плоскости » (см., например, книгу Г. Бейтмена и А. Эрдейи, указанную на с. 162, п. 13.26). а» гш 93. =ЬГ,*= 1-,~).
л й с-.л- К' Ь из соотношений — = —, а = ЛК. К а 9.33. См. рис. 96. 9.39. См. рис. 97. Ответы и решения 282 9.40. Отображение л-плоскости на плоскость и показано на рис. 98 (имеющаяся на этом же рисунке в-плоскость относится к ответу задачи 9.41). 9.41. Соответствие между плоскостями л и э показано на рис. 98. Выражения длн1 и Ь указаны в табл. 1. 9.42.
Решение. Лля определения параметров Сы й и Ь имеем три следующих уравнения: 1) ш(1) = а или С~[(й'Ьг— -1) к ж е) = а; 2) ш(1) = ш(1/й) или (АгЬг— Таблице 1 -ЦК+ Е = (Ьгь' — 1)(К+ К') + Е 3) ш(Ь) — ш(1) = 19, Из уравнения (2) имеем Ь = + 1(К' — Е') (см. указание к задаче 9.41); 1 Е' — ~/ †,. Подставляя в уравнение (1), ь')( к' г) Рве. Эа 1Е'К вЂ” КК' Ч- ЕК'1 2аК' получим Сг [, 1 = а, т.
е. Сг = — (см. формулу (10). на К' в с. 1бб). Тогда для определения й получаем из 3) трансцендентное уравнение (е' — к) ( — 1/ —,,«) + к' (-~ — „~) =-( ~го. Глава 1Х 283 Подробности решения и графики для определения параметров см. в книге: В е 2 е А. Коп(огше АЬЬПбцпй.— Вег1щ, 1948. 9.44.
Случай 1), 2), 3) и 4) изображены соответственно на рис. 99, 100, Во всех случаях для сравнения приведено отображение на и-плоскость с помощью нормального эллиптического интеграла 1-го рода. Продолжение отображения первого квадранта 1л-плоскости по принципу симметрии приводит в цс-плоскости к полосе с прямоугольной выемкой (см.
области 1+ Низ рис. 99, 1), 2)), к полосе с прямоугольным выступом (см. области 1+ 11 на рис. 100, 1), 2)), а также к другим областям (некоторые из них показаны на рисунках). Основные возникающие при этом размеры Н, 1, 6 Таблипа П см. в табл. П.
Заметим, что второй ела'чай пссиводится к первому, а четвертый — к третьему заменой 2 на и й 22+ й' 1 = 1. При этом вместо ьц й в 2 случанх 2) и 4) возниссают значения и = — й', й' и соответствующие йг -~- и ос-фигуры получаются из вс-фигур длн случаев 1) и 3) посредством целых (ой)2 й2 ж р линейных преобразований с коэффициентами растяжения = =— (ой), йг (об)с йг -~- сс — — (индекс указывает случай). Для случаев и = -1 и и = — й (Ц)2 й2 на рис. 101 приведено соответствие между и и- и цс-плоскостями.
ВоспольЗеааВШИСЬ табЛ. П, ПОЛУЧИМ дЛя сс = — 1 1 1и зподпи1 с с'., 1 1 цс = — ~й и — Е(и) + 2 = — -Е212й и, — 12, сои .( й' с )с' 1 = —,2(Š— й' К), й = —,2(Е" — йгК') И ДЛЯ сг = -й г й й й'2 1 1, 19* Ответы и решения 284 Рие. 100 1К Рие. 101 Гаева /Х 285 9.45. Решен не, Иэ условия Ь > 0 следует, что ез, ез, ез вещественны и различны и дз > О. Будем считать ез > ез > ез Верхняя полуплоскость 1пзл > 0 отображается на прямоугольник с вершинами О, ы, ы — ьз', — ьз' (принято 1шы'/ы > 0), соответствуюшими точкам оо, еь ез, ез Средним линиям прямоугольника соответствуют дне полуокружности (рис. 102): (з) Г l I г р~1 е Р(з езз ез 1Р Рнс.
102 первая с центром в точке ез, относительно которой ез и ез симметричны ь *- -,-з з,з -'ХХ *- е."* - °-- м---- "*,-З -".,~~ — з(е —.З) Продолжая отображение Р(нз) по принципу симметрии, находим полупериоды ьз, ьз' этой функции: зз е~ — Оо Иэ рассмотрения рис, 102 находим соотношения звз(Кзл/ы, Л) ' ез — ез Если дз > О, то ез < ез < 0 < ез и ьз < (ьз'( (ибо гз < л', следовательно, К < К'); если дз < О, то ез < 0 < ез < ез, следовательно, ьз > )ы'(. Если дз = О, то ез = О, ез = — ез и ез = (ез'(.
В этом случае отображение симметрично еще относительно вертикальной оси. Всей з-плоскости с разрезами ( — со,ез], (ез, со), (О, зоо) соответствует треугольник (О, 2ьз, 2ьз'), составляющий половину параллелограмма периодов (теперь это квадрат) (рис. 103). Заметим еще, что в случае произвольных ез, ез, ез (ез + ез + ез = 0) половине параллелограмма периодов соответствует л-плоскость с раэреэамн, вообще криволинейными, выходящими иэ еь ез, ез и идущими в оо (см. схематический рис.
104). 9.40. Реш е н не. Основное отображение показано на рис. 105. Оно получается с помощью принципа симметрии иэ отображения полукруга 11. Ответы и решении 286 Рие. 103 Рис. 104 Рие. 105 Глава РХ Замечая, что йи = и беря Агб(-1) = юя, имеем Агбе(ю = юя+Агбе(з— 1 — — ~Агя(х — еь), откуда сле- 2 ь:о дует, что Агб йю на сторонах ечетырехугольникае РВМС имеет соответственно значения -гг/2, О, н/2, -я, что приводит к указанному на рис. 105 отображению. Так, например, на дуге РВ имеем (рис. 106) вгбйю = — я + + (о + а./2) — ( — оз + аз + + аз)/2 = — гг/2 + (оз + ог— — оз)/2 = — гг/2 и т, д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
