Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Вообще (1-Р!'Н1-Р ')" (1-Р 'К(е) =1+,'~ —,, (1) Глава 'г1 251 1 лз" 1 6.77. р = —, о = 1. Решение. ~ — = — (соз!/л+соз4т/л), 2~ (2г. и)! СЮ ™ г" 1 ФО л откуда ~ = — !1 соз !4/л + соз 4 фл) . Аналогично, (2з, и)! (2з . и)! =е — (сова (/л+ созаз (/с+ созе я+ созсл"!ул), где а = К вЂ” 1, откуда 4 и сова !з/з, и т. д. (2з и')! 4 6.78. р = со. 6.79.
Решение. Достаточно, как нетрудно видеть, рассмотреть 1 г,Р значения з > О. Тогда (~ е*' б!)/' е* < 1; с другой стороны, если 0 < < а<1,то 1 1 1 ( ( с*' В!) /е"* = / е™ ш Ж 3 (' е*!' " б! -+ оо при з -г со. о о Следовательно, р = 1, и = 1. 6.81. р = шах(рьрз).
6.82. 1) р' = р, а* < а~ + ог, '2) р* = р, о' = шах(око ). 6.83.1) р" <р,о'<2с02) р*<р,а' <н. 6.84. Решен ие. Если з = ге*г, то при любом заданном г величине г 1 — —,~ достигает наибольшего значения при у = х-; оно равно 1-!- —,. Лз! 2 ' Л-'„ С другой сторояы, при любом е > 0 (е < о) и и > п,(е) имеем — < Л„< !! + с < — и, следовательно, а — с з 1+' "" <1+ — "" <1+"""'. (*) пг Лз пз з!и!лтг е т" — с А так как Ц (1+ — ) = = (см.
задвчу 6.48 аз 1хтг 2хтг 1 или 6.53), то из неравенств (е), ввиду произвольности е и решения звде- чи 6.80, следует, что порндок р функции /(з) равен 1, а тип а пе мень- ше типа функции ез"* и не больше типа функции е Л", т. е. ла < и < х!). 6.88. Решение. Пусть М(г) р, о — максимум )/(л)! ( на окружности ф = г, порядок и тип функции /(з), а М~(г), р~ и п~ — соответствующие характеристики для функции /'(з). Из равенства /(з) = ~/'(!) б!+/(О) о следует М(г) < гМ~(г)//(0)/ и, следовательно, р < рь Твк как /'(л) = 1 г /(()<К , где в качестве Г можно взять окружность с центром в 2л!/ (0 — л)з' г точке л радиуса б (б > Π— любое), то М~(г) < М(г+ о)/и', т.
е. р~ < р, и, твким образом, р~ = р. Отсюда и из приведенных выше нерввенств за- Ответы и решения 252 ! лава НП Т.2, 1) Г~(«) = (» — а)", Г («) ел О; 2) Г~(») «а О, Г («) = — 1/(« — а)"; 1 3) Г" (») = , Г («) = О. Во всех трех случаях интеграл типа (» — а)" Коши обращается в интеграл Коши. 73. Ц Гг() =у( ) — ~ д,( ' ),Г-() =-~дь( ' ); 2) Г~(«) = ~ дь( )+д(»), Г («) = — у(»)+~ д«( )+ 1 +д(«). д«( 1 — главная часть разложения функции у(«) в окрест(« — а! ) ности полюса а«; д(«) — главная часть разложения у(«) в окрестности бесконечно удаленной точки, в которую включается свободный член. г » + 1а((» — 2)/(» — 3)) ! »! — 4 » + 1 1 2» 3 7.3.
Г" («) = с!3 « — — —,, в частности, Гч(О) = О, Г+(гг) = — —, «« — гг! 2«' 3 1 2« Г+( — гг) = — '; Г («) = — —— 2«г ' «! гг« ' 7.6. Г~(») = , Г («) =— 2(» + !) 2(» — !) 1 й" (а — «Ь ) 7.7. Гг(«) = — ) " ", Г (») = — — ~ " "; предельные 2 й" 2 «=О «=! значения: ОЭ Г+(Кем) = — ~ (а„— «Ь„)его '.=« = — +-уФ * ) ае 1 *Е 4 2 Г (Рсег~) = — -~ (а„+«Ь )ег" 2 ае 1 в = — — — у(Ге' ) 4 2 + — ) ( — Ь„соапд+а ыппВ); 2 е ! + — 'г '(-Ь„соа пВ+ а„вш пВ).
2 н=! ключаем, что а! = а, другой возможный способ доказательства основан на теореме, приведенной на с.. В.ВВ. р = 1, о = 1/е. 6.89. р = а, а = оо. 6.90. р = а, гт = О. 6.91. р = О. 6.92. р = О. 6.93. р = 1, гг = 1, 6.94. р = 1, а = 2. 6.95. р = 1; Цр) = сову, 6.96. р = 1; Ь(у) = соз р, если сову > 0; И(!р) = О, если сову < О. 6.9Т. р = 1; Ь(гр) = ! жп у). 6.98. р = 1; Ь(у) = ! жп у). 6.99. р = 1; Ц!р) = ! соа у!.
6.100. р = гк Цу) = сов пу. 6.101. р = 1/2; Ь(у) = ( вгп(у/2)1 6.102. 1) Ь (у) = Ь(у), если Ь(!р) > О; )г*(у) = О, если Цу) < О, Ь" (у) < О, если Ь(гр) = 0; 2) всегда Ь'(у) = Ь(у). 6.103. Пример /(») = е' — Р(«), л/2 < у < Зл/2. Глава УП 253 7.0. 1) Если точка х лежит в круге 4„!гк [х — йя[ < и/2, то 11(х) = /(х— — йн), 1х(х) = (-1)~/(х — йя). В частности, если [х[ < я/2, то Г!(х) = Гх(х) = = /(х).
Если точка х лежит вне всех замкнутых ф„то 7!(х) = 74(х) = О. 2) Пусть 4„!ь — круг [х — йя[ < х. Тогда 1!(х) = /(х — йх) + /[х— — (й — 1)я[, 1 (х) = ( — 1)~[/(х — йх) — /(х — (й — 1)х)), если х В б)ь-ьЯЫ Гг(х) /(х йл) + У[х (й + 1)л[ Хз(х) ( 1)ь[/(х йя) /(х (й 4 1)я)) если х б !ее4хьгг; 1ь(х) = /(х — Угя), 7з(х) = ( — 1)ь/(х — йя), если х лежит внутри области 44ь — !сь !!.)ь — (4ь!4ьы, П(х) = О, Гх(х) = О, если х лежит внутри дополнения ко всем 1,!ы 7.0. Р(х) = — !и ); Яа(~) = —,!п ~ —, Г(~) = — !и 2х! х+1 ' 21п 1+( 2 2гге !+Ь ( — 1 < ь < 1); Р(ш!) = ш —, Р (0) = ш —, Г(0) = О.
4' 2' 1 х-!-Я 7.10. Р(х) = — Ьп — — однозначная ветвь в х-плоскости с раз2хе х Я !" Я !х"!-Я ревом вдоль С, определяемая значением Ьп1 = 0; Ьп — = 1и [ — ~ + — Я [ — Я + (ьс агя (~ — х), где !1с агб(!, — х) — приращение жй (ь — х) вдоль с; 2~п !С вЂ” Я! 4' 2т! !ь — Я 4 Г~(!Я) = —, Г ((Я) = — —, Р(!К) = —; Е (0) = —— 4 4' 4' хЯ 1 (+Я 7.11.
Г(х) = — 1п — (однозначная ветвь в х-плоскости с разрезом 2ле ь" — Я вдоль С, определяемая значением 1 и 1 = 0; для [х[ > Я она совпадает с ! !(4- Я! 1 аналогичной ветвью из задачи 7.10); Р "(ь) = —. !и [ — [+ — г (ь) = 2хе [ь — Я [ 4' 1 !сч-Я! 3 1 = — Ра ~ ~— [! — —; Г(0) = --, Г'(О) = — —. 2х! [( — Я[ 4' 2' 1гЯ 7.12. 1) О, если [х[ < г или [х[ > Я, и 1/х", если г < [х[ < Я; 2) 1/х", если 1гл х > я, и О, если 1щ х < я; 3) О, если [1щх[ < и, и — 1/х", если [1щ х[ > л; 1 Я+с Гп! Я+ х 4) — Ьп — — 2Т, если т= Н, Ьп— 2 ! ~ Я вЂ” - (йй — !)Язь 12[' Я вЂ” х ьм Я-1- х = 1п) — (+ п2с(ага(ь — х) — вгдД -- однозначная ветвь в х-плоскости Я вЂ” х ) На первый взгляд решение очевидно; 1 1 Г Ис 1 1 х — 1 — / — = — [!и (1 — х) — !о ( — 1 — х)] = — !л —.
2х! / (-х 2х! 2хе х -!- 1 -1 Необходимо, однако, проверить, что заключительное преобразование действительно приводит к укаэанной ветви логарифма, так как равенство 1паз — !и х1 = = !п(хз/х!), вообще говоря, несправедливо. Это замечение следует иметь в виду и в дальнейшем. Ответы и решения 254 с разрезом вдоль С, определяемая значением Ьп 1 = О. Предельное значение гг г' Зн1 этой ветви на С слева имеет мнимую часть —, а справа — ( — — ).
Этим 2' г)' ( це-! определяются предельные значения Г (г,) нв С; Г(0) =— 2гг! нно Е+х 5) функция Г(х) тв же, что и в предыдущем пункте, толька Ьп —— й — х однозначная ветвь в х-плоскости с разрезом по другой полуокружности С, с тем же значением Ьп 1 = О. Предельное значение этой ветви на С слева Згг г' н1 имеет мнимую часть —, а справа — ( — -) . Этим определнются предель- 2 г)' ( 1)а — 1 ные значения Г (г,) на С; Г(0) =— 2гг! ай" й+х Примечание. В пп. 4) и 5) ветви Ьп — совпадают в круге (х) ( Я, й — х вообще же они различны; так, например, на со в первом случае ветвь имеет значение — нг, во втором +н!.
Однако Г(оо) = О. Ь вЂ” х гЬ вЂ” х Т.13. Ьп — = 1и ~ — ~ + гг1с агй ((' — х) — однозначная ветвь а — х а — х в х-плоскости с разрезом вдоль С, определяемая значением Ьп1 = 0 (так же определяются ветви в задачах 7.14-7.17). 7.14. Ь вЂ” а+ х Ьп ((6 — х)/(а — х)). о га Т.15. 1) ~А яхь '+х" Ьп —; 2) ) ) с„Аььхх '+1е(х)Ьп —, а — х а — х я=! =гь ! 6" "+! — а" где А„о = н †6 1 г' Ь вЂ” х Ь вЂ” хо 1 7.18. — (Ьп — — 1 и — ).
х — хо(! а — х а — хо) и ь — * ь— 7.17. Ьп — — Ьп — + ~ Ао(х — хо) ~, Аь = — х (х — хо) ~ а — х а — хо Ь вЂ” 1 1 1 х (, — „,~, Г(хо) = — А„о!. ~(6 — хо)ь ! (а — хо)" Т 18. 1) Го(х) = 1п(х+ Я), Г (х) = 1и (1+ — 1; Г+(~) =!и 2Ясоа — + +! —, Г (Ь) = 1п2соз — — ! —; 2) Г+(х) = 1п(К вЂ” х)+гг! ), Г (х) = 2 2 2 = 1и (1 — — ); Г (г,) = 1п гй~ зги — ! + ! —, Г (Ь) =!п 2! агп — г+ !— (отсчет угла оо = агй г, соответствует условиям задачи).
7.19. 1) Г+(х) = О, Г (х) = 1п(1 — 1/х) Г~(ь) = О, Г (ь) = 1п(1 — 1/ь); 2) Г+(х) = 1п(х/(х — 1)), Г (х) = 0; Г+(~) ы 1п((/(~ — 1)), Г (~) = О. 7.20. Г(х) = — ~ — 11п — — 2~ ~, где он = Нг Е- ( — )Е -г~' Ы' и ! ь ! о) Если Ьн * н 1о х — ветен, указанные а условии задачи, то Ьо * = 1и (-х) + н!. Глава )г/1 255 /Г+ х а Ьп — имеет то же значение, что в задаче 7.12, 4). Этим определяются 11 — х «« и предельные значения Р~(г,") на С.
Если [х[ ( Я, то Р(х) = ~ с„х", с„= «=е 1 / 4 гас' = — / !и— 2ка/ б — 1("+' с Т.21. Р+(х) = — —, [2 + а/х !п — ~ г Р (х) = — — ~2 + а/х 1и 1 Г 1 — а/»1 1 Г 1 — а/х 1 ! +,/-1 1+ чгх~ — /». 7.22.
Р+(х) «в О, Р (х) = Ьп Ях — Ь)/(х — а)) (ветвь логарифма определяется условием задачи). 737. 1)!и! ); 2) !и~ (; 2« 2гг 7АЗ. и(х) = — ( и(Ь) йВг и(со) = — ! иЯгГВ. 2гг / Яа — 2Кг сох( — Чг) + га 2гг В о о 7.45. 1) /(х) = г/г(х) + а/г(йа/х), /г(х) = — г/г(лаа/х) — а/г(х)г причем о(0) = = 1па /(О) = 1гп [ах(0) + г/г(со)); 2) /(х) = — ааааа(х) + аг/г(хаа/Х), /\(х) = ааг(»ах/х) + аа/г(х), о(0) = 1па/(0) = = 1иа [ — арго(О) ь аг/г(оо)). Т.46.
1) /(х) = х", /,(х) = — Га'"/х" (здесь и в ответах к задачам 7.46— 7.50 значение о(О) взято равным нулю). 7.47. /(х) = х /11 «, /г(х) = — 1/х". 7.48. /(х) = — !п(1 — х/га~) (1и 1 = О), /г(х) = 1п(1 — 1/х). 7.49 /(х) = 1/(О) = ~)г /а(х) = — „/— 7.30. /(х) ы!п В, /г(х) гн — 1и В. 3) ! /'., '.,! 7.23. Р"(х) = 1, Р (х) = 1 — , а(( х — Ь 7.24. Р+(х) =х — Ло — (1 — Л)Ь, Р (х) =х — Ла — (1 — Л)Ь вЂ” (х — а)" х х (х — Ь)' Т.25. Р~(х) = Ьп — ", Р (х) = Ьи —.
х — Ь » †х 1/ 7.27. — х +х — 3,5. 7.28. 1) — [!п — /а; 2) — а1!и — / 21. х — 1/ 2 1 — г 2 1 х и-';х 7.30. Если [х[ > 1 и х к С то Р(х) = — 1и — 1 п — + Ра(х), где 2 ага х — 1 й — х га -~- х Рг(х) — авалитическая функция при [х[ > 1, а ветвь Ьп — выбрена так д — х же, как в задаче 7.12. 4). Отсюда видно поведение Р(х) в точках хû— концах дуги С. 7.31. Р(/) — площадь области С', на которую /(х) отображает область С. Ответы и решения 256 иг 'г и я(! — — ) — в случае иг(», Г).
2) 7.62. иг(г, Г) = — а»8 гг,,/» -1- чггг !и !»~ — !и В и для !»( = и. !и» вЂ” 1и Н 2» — В 7.61. иг(»,Г) = — а»8 —. т»жд 7.63. для !»( = гг 1и й — 1и г 7.66. и(») = ~г с иг (»). =! Глава ггП1 8.1. 7'(») = ~ ! этим разложением г" (») аналитически продол- (1 — а)ам =о жается внутрь круга )» — а) < )1 — а), который не лежит целиком внутри круга !») < 1, если а не принадлежит интервалу [О, 1), 2 г'2 г " (» -!- 1/2)и 8.2. Д») = !и — + ~1и !х — г! ! круг сходимости этого ряда ) +1)2~ <3Д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
