Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Г„. получаетсн склеиванием двух л-плоскостей с разрезами [ — 1, Ц, Р' — склеиванием трех щ-плоскостей, имеющих соответственно один разрез [ — 1Ь, ЬЬ[, два разреза [ — а,а), [0,1Ь) и два разреза [ — а,а), [О, -4Ь), где у/5 — 1 ° ч'5 -~- 1 т а = у/ъ'5 — 2, Ь = ~'Я+2.
Отображение и три ииплоскос- 2 ' 2 ти с разрезами показаны на рис. 87 (рис, не в масштабе). 8.87. а) и нечетное. Е', п-листна, имеет о а.т.в. [и — 1)-го порядка нвд точками х =ы~ [ы = е Я", Ь = 1,2, ...,и), Е„, 2п-листка, имеет иа в,т.в. 1-го порндка, по и иад точками ш = я" "~/Т/4 [О = ез '~", и = О, 1,2, ..., я — 1), Ответы и решения 288 О 1 3 Рнс.
86 й С С вЂ” 1 О 1 © В й" В © ф~~ф ЯБВ Рас. 87 соответствующих точкам Р. над з = ц', и и а.т.в. 1-го порядка вад ш = со, соответствующих а.т.в. Е'., над з = ш~. Отображение показано на рис. 88 (для исследования использована замена С = з", В' = щ"). Функция ш(з) отображает круг )з! < 1 на о а\ ф ш-плоскость с и лучевыми А(е") разрезами, выходящими из точек ц" ~/1/4. н В~ ) С " А б) п четное. Если и=2т, то В("./Х\ С ш(з) распадается на две функ- 14) г ции: ш~,г = ш . Для пост- С .~.
зз роения Г„ берем и "полулистов" ф ( 1 и и "полулистов" Рис. 88 )з) ) 1. Обозначим их соответственно через Не и Нь", а граничные дуги, определяемые точками ш~,— через 7ы Приклеиваем к Н~~, вдоль 7ь полулисты Н~~, идель там — полулисты Нз, вдоль 7ьез — полулисты Нзе и т. д. циклически. Этим определнется Глава Ъг!П зба и порядок склеивания Р~ из 2и листов, представляющих кг-плоскости с п лучевыми разрезами, указанными выше. 8.88. ш = зз", з = 0 и з = сю — а.т.в. 2-го порядка.
8.89. ш = з"гг ' (пг!тг — несократимая дробь, равная и/т), з = 0 и з = оо — а.т.в. (пц — 1)-го порядка. 8.90. з = 0 и з = оо — а.т.в. 1-го порядка; з = 1 — существенно особая точка длн одной из двух ветвей функции. 8.91. ш = 1 — з!3! + зс/5! — ... — целая функция; з = со — существенно особая тачка.
8.92. -" = 0 и - = сю — а.т.в. 1-го порядка; з = 1 — существенно особая точка для одной из двух ветвей функции, предельная для ее полюсов 1-го гг1 — алд гг порядка в точках зл = ( - — ), аь = — -!- ггй (Ь = О, ш1, ...). Согласно зала- Ь .ь) че 4 76, область неопределенности в точке з = 1 совпадает со всей плоскостью. 8.93. Если и = О, то з = 0 и з = оо — устранимые особые точки и ги щ 1; если и < О, то з = 0 и з = оо — л. т.
в., причем !пп и, = !пп ш = 1 с и з = 1 — существенна особая точка для одной из ветвей функции; если и = 1, то вг = -; если п > 1, то "= 0 и з = ос л.та., причем область неопределенности вг(з) в этих точках совпадает со всей расширенной иг-плоскостью. 8.94г 8.95.
- = 0 и з = оо -- л т.в. с областью аеопределенности для ш(л), совпадающей с расширенной ш-плосгсостью. 8.96. з = 1 и з = со — а.т.в., причем 1пп и = !пп иг = сю и з = 0— полюс 1-го порядка для всех нетвей ш(з), кроме одной. 8.97. з = 0 и з = оо — л. т. в. и !пп ш = )нп ш = оо. 0 — с 8.98. Точки ветвления те же, что для Агсз)аз (т. е бесконечное множество а.т.в. 1-го парндка над з = ж! и две л.т в. над з = сю, !пп аг = 0; з = 0 — полюс 1-го порядка длл всех ветвей функций, кроме одной).
8.99. з = жг' — л.т.в !пп ш = сю; з = 0 — полюс 2-го порядка длл всех ветвей функции. 8.100. Поверхности ш(з) и з(га) те же, что длл логарифмической функции (л.т.в. над 0 и сю). Отображение легко получаетсн с помощью параметрического представления з = с,ш = е'~. 8.101.
Риыанова поверхность для ш(з) бесконечнолистна, с одной л.т.в. над каждой из точек з = а, з = Ь и двуми л.т.в. над з = сю. Поверхность получается склеиванием бесконечнога числа листов з-плоскости с разрезалги, идущими из точек з = а, з = Ь в сю. Эти листы соответствуют однозначным ветвям функции ш + 2ясп (и = О, ж1, ш2, ...). При обходе вокруг з = а и з = Ь эти ветви переходят последовательно друг в друга, чем определяется характер склеивания листов. 8.102. Риманова поверхность для ш(з) бесконечнолистна, с одной л.т,в. над каждой из точек с = а, з = Ь, а =с и тремя л.т.в. над з = со. Построение, подобное предыдущему. 8.103. Риманова поверхность для ш(з) бесконечнолистна, с одной л.т.в.
над каждой из точек з = !ся (!с = О, ш1, ж2, ...). В качестве листов можно 270 Ответы и решения взять л-плоскости с разрезами, идушими из точек "= ня в со (например, по вертикальным полупрямым). Два листа склеиваются сразу по всем разрезам, по одной стороне, как при построении поверхности логарифмической функции. В ао — трансцендентная особенность, предельная для л.т.в. 8.104. 1) В каждой связной части римановой поверхности функции Л = цг(з) над з-плоскостью, которой соответствует связная часть риманаоой поверхности обратной функции з = уг (с,) над с7с, ю(з) представлнет единую аналитическую функцию; 2) в кажлой снязной части римановой поверхности функции Ь = гр(з), расположенной над С.
(зта область СС, перенесенная в з-плоскость), ю(з) представляет единую аналитическую функцию. 3) То же, что в п. 2). В указанном в условии задачи частном случае гл(з) всегда представляет одну аналитическую функцию. 8.105. ю(з) состоит из двух аналитических фувкций юз. 8.100. ю(з) состоит из двух аналитических функций юз г~. 8.107. ю(з) состоит из р аналитических функций юле 'О" (ю = е р = н.о.д. (т, и); Л = О, 1, ...,р — 1; тг = т/р, пг = и/р). 8.108. ю(з) состоит из и целых функций юле г" (ю = е 'г", )г = 0,1, ... ..., гг — 1).
8.109. ю(з) — одна и-звачная функция с а.т.в. (п — 1)-го порядка над з = дх (к = О, ю1, ...). На ао она имеет неизолированную особую точку, предельную для а.т в. 8.110. ю = и 1.п з ф 2яйс (1 = О, 1,, и — 1) — п различных аналитических функций. 8.111. ю(е) состоит из функций з+ 2яг/г (й = О, ю1,,). 8.112. Одна бесконечнозначная функцин с л.т.в. над з = О, ю1оа. 8.113.
ю(е) — - одна бесконечнозначная аналитическая функция с одной л.т.в, над зл = 2хгй (к = О, ю1,. ). На сю она имеет неизолированную особую точку, предельную лля л.т.в. Риманова поверхность функпии ю(е) односвязная и получается склеиванием бесконечного числа листов ю-плоскостей с разрезами (попарно без обших точек), идушими из зл в оо (два листа склеиваютсн одновременно по всем разрезам, но только по определенной их стороне). 8.114. Риманова поверхность та же, что в задаче 8.113, только с л.т.в над л = кх (й = О, ю1, ...). 8.115. Риманова поверхность та гке.
что в задаче 8 113, только с л.т.в. над з = я)г/2 (1 = О,ю1, ...). 8.116. ю(з) состоит из функций ~з+ 2йх (к = О, ю1, ...). 8.117. аг(з) состоит из функций з -Л Ьг (1 = О, ю1, ...). 8.118. 1) Пусть гг — — тг/иг, га = тз/пм г = гггг = ги/и — несократимые дроби и р =н.о.д. (тг, пг), а =н.о.д. (тз, пг).
Тогда (з"')'з состоит из р различных и-зиачных аналитических функций, равных ю з', ю = е л' = 0,1, ..., р — 1, а (з"')"' состоит из 0 функций юг'з', ьч = е й = О, 1, ..., а — 1. Олив из них, а именно л", всегда принадлежит к обоим случаям. В частности, (зы~)~~~ = *а, (зз7з)з~'" = л/1х. 2) Пусть гг = тг/иы гг = тз/пм г = гг + ге - -т/и — иесократимые дроби и р = н.о.д. (пг, пг). Тогда л" зсм состоит из р различных и-значных Глава )lШ 271 аналитических функций, равных ы л', ы = е' нц "гг, рг = н.о,д. (тгпг+ +тги(,р), пг = иг/р, пг = пг/!г, Й = О, 1, ...„р1 1. 3) Пусть р =н.а.д.
(ими ) и гз' =н.к. (пинг) = игпг/р. Тогда ш(з) состоит из р различных Х-значных аналитических функций. 8 119. Пусть Х =н к. (т п), р = н о д. (т п), 9 = н а д. ((т+ п)/2, тп/2) и 1/т+ 1/п = р/и. Тогда ш(з) — единая М-значнэя аналитическая функция, имеющая )г/и а.т.в. (и — 1)-го порндка над г = О, 1г/)тгг а.т.в. (т — !)-га парлдка над г = 1 и М/9 -- а.т.в. (гг — 1)-го порядка над л = оо. 8.120.
Одна пт-значная аналитическая функция, имеющая одну а.т.в. (п — 1)-га порядка над г = 1, тг а.т.в. (т — 1)-го порядка нэд г = 0 и одну а.т.в (тп — 1)-го, порядка над г = со. 8.121. Лве различные четырехзначные функции, отличающиеся знакам, с такой же риманавой поверхностыа, как у функции ',Й. Каждая из этих функций имеет па одной ветви, для которой точка г = 1 является полюсом перного порядка.
8.122. Бесконечнозначная функция с одной в.т.в. (и — ! Рго порядка над з = 1 и и л.т.в. над каждой из точек з = О, з = сю. Для пострае- Я;! Я (2~~~(!) (з), о) (1) Р .Вн ния панерхности нугкно скдсить п новерхностей для Ьп з с разрезом [ 1, со) на одном из листов у каждой. Линии р" з!пггд = 1я (9 = О,ж1,х2, ) разбинают ш-плоскость нэ области, соответствующие полуплоскостям р ) 0 (рис. 89, для п = 2, 0 = шг -- осномогательная плоскость). 8.123. Беснонечнозначная функция с одной л.т.а.
над г = 1 и бесконечным числом только л т.в. над л = 0 и з = со. Риманова поверхность получается склеиванием бесконечного числа поаерхностей длн Ьп з с разрезам (1,са) на одном из листов. Поверхность имеет над з = О, з = оо толька л.т.в., притом бесконечно много, и над з = 1 — обыкновенные точки и одну л т в, Линии е" з!по = (2к+ 1)я и о = 2йя (я = О, ж1, щ2, ...) разбивают нг-плоскость не области, соответствующие каждан г-плоскости с резрезом — со < х ( О, у = 0 и дополнительным разрезом 1 ( х < со, 9 = 0 лля областей, в границу которых входят прямые о = 2лл (рис. 90, ь = е вспомогательная плоскость). 8.124.
Бесконечнозначная функция с тай же римановой поверхностью, чта у Ьп Ьпг. 8.123. Риманова поверхность бесконечнолистна, имеет э.т.в. (и — 1)- го порядка над з = О, только а.т.в. 1-го паряцкэ нед з = ж! и 2и л,т.в. над з = оо. Лля построения иоверхности нужно склеить п поверхностей Глава *и'111 + йх (й = О, х1, х2, ...) разбивают ю-плоскость на области, соответствую- щие каждая х-плоскости с разрезом — оо < х < О, у = 0 и дополнительными двумя разрезами: 0 ( х ( 1/е, у = 0 и е ( х < со, у = 0 — для облас- тей, в границу которых входят прямые и = я/2+ йя (рис. 92; С = сйп ш— вспомогательная плоскость), 8.127.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
