Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 51
Текст из файла (страница 51)
10.21. 1) Во всех случаях особенности течения должны быть расположены симметрично относительно окружности ф = гг (см. задачу 10.20). В частности, оси диполей, расположенных на этой окружности, должны быть касательными к ней. Сумма обильностей должна равняться нулю, для чего 1 1/» -~- — ~ 4,), = О, где ге» вЂ” обильности источников внутри ф = П и 2 »Г( — обильности источников на )з) = В. Вихрей на )з) = Я не должно быть; 2) Особенности течения должны быть расположены симметрично относительно окружности )з) = Я. В частности, оси дилолей, расположенных на )л) = Л., должны быть к ней ортогональны. Сумма интенсивностей долж- 1 на равняться нулю, для чего ~ Г» + — ~ Г', = О, где Г» -- интенсивности 2 ~ вихрей внутри )л) = й и Г', — интенсивности вихрей на )л) = В; источников на ф = й не должно быль.
Г з — а 10.22. 1) иг = )ге+ с (с — постоянная); 2) ш = — 1п — +с; 2ггг г — а 3) в = — 1п((л — а)(л — а)) + с (нв оо источник обильности -2О); 2з р 1 р 1 4) ш= — — + — — +с; 2лг — а 2лг — а " (Г»4 д» вЂ” Г» -г- »ГО» 1 р 1 б) ш = ~ ~ 1и (з — а») + ' 1п(л — а»)~ + — — + 2ггг 2ггг' 2л з — а »=г р 1 + — — + 1'г+ с (на оо источник обильности — ~ Я»); 2гг г — а »=1 б) Течение возможно только при Г = О, 1щр = О; тогда и = — + Р 2 гл ж — 1пл+ с.
2гг Гласа Х 295 10.23. 1) ю = — )п —, +с; 2) ю = — — +— Г » — а р ! р* 2»!' О« — а» 2г㻠— а 2»«вЂ” а ф О [а' = —, р = — — руг, и ги = — + — х+ с, если а = О р а ' а» 2гг» 2л л 10 24. 1) ю = ~ — » !п[(« — ае)(Г»» — ааь»)) + с, если 2 !е» 2» »=! »=! 2) ю = ~ — (п [(» — аь)(Я вЂ” аьх)[+ ~ — ' !и (» — а,) + с, г»» г'г[ 2гг 2л л=! =! + с, если а" ( = —.') если —,'~ д', =О.
г=! 10.25. 1) ю = — )п — + с; 2ггг К! — а» р ! р* ! у , й« . 6« 2г㻠— а 2лх — а' ! а а! Л»!ге* д»!ге а ! 3) ю = )ге га«+ + г«4) о! = !ге ' «+ + — (п»+ с. » 2л! 10.26. ю = — )п Г (» — га)(а» -!- !) + с. 2»!' (» -!- га)(໠— !) 10.27. ю = — (и («» + а ) + с. 10.28. ю = — !и («! — !) + с. 2л 2» 10.20.
1) ю = — !и — -!-с; 2) ю = — !п (1+ — ! +с. О»! — ! ~'> г' 4 Д 2» «2 2л х! 10.30. ю = ~ [ !п(х — ал) + !п(х — аал)~ + — —— " (Г„ч-гО„ Г, -гЯ!. ! р 2»! 2л! 2л « — а »! р гг г — — — + )ге ' »+ с. Течение нозможно, если о = ю — [если 2 Г» г'- О, 2л» вЂ” а »=.! то на оо — вихрь с интенсивностью — 2~! Г»). л=! 10.31. ю = ~ ~ ~ ~ (и(« — аь)+ " " !п(Г»~ — агх)[+!ге * «вЂ” 2л! 2л! п»!ге а л + с. Течение возможно, если ~ Гь = О, а = О, и р = -2лГ»~!ге'".
»=! 10.32. Пусть ! = 1(«) конформпо отображает Р на единичный круг [![ ( 1. Тогда ю = Ф[у'(»)), где Ф()=~ ~Г"+'с)'! (1-! )+ ' *'~"! (1-! !)1+, 2л!' 2гг! !» = 1(а»), при непременном условии ~ 1,)» = О. ь=! 10.33. Пусть ! = 1(х) ковформно отображает Р на область [![ > ! с нормировкой 1(оо) = оо, т" (оо) > О. Тогда при условии ) 'Ц» = О Олгееглы и решения ю = Ф[/(ю)], где !ге-га !ге /'(оо) /'(со) С ь=г 1 (С вЂ” Со)+ Г" .— ° 2яг + '" + *~о !п(1 - ССС)~ + с, С, = /(ао).
2лг 10.34. В обозначениях задачи 10.33. в = Ф[/(ю)], где !ге Го 1 его Г Ф(С) =, С+, + — !пС+с. /'(оо) /'(со) С 2лС При Г = О в(ю) отображает внешность С на внешность отрезка [ — 21///'(оо), 2!///'(оо)] действительной оси ю-плоскости с нормировкой в(со) = оо, гог(гго) !/е — га 10 35. 1) в(ю) = — [(ею — Ьъ/Р— сю) соа а + г(Ью — аг/юс - сс) яп а] + а — Ь + сопаС (Ко = !/е'~, с = х/аС вЂ” Ь~); 2) в(ю) = — [(аю — Ьъ/л~ — сс) соло+ а — Ь -!- г(Ью — аъ/юг - с') агп а] + — ! и (ю + ъ/юс — сг) + салос . 2лС 10.36.
1) в(ю) = !/(юсова — Съ/Р -оса!по)+сопл! (Ъ" = Ъ'е* ); Г 2) в(ю) = 1/(юсоаа — с~й- '— оса!па) + — !п(ю+ г/юо — с') + сопас, где 2ггг Г = — 2яс!/з!па (с — точка схода). 10.37. Пусть профиль Жуковского получается при отображении ю = 1( 1] = — (г;+ — ! окружности [г, — (о[ = [1 — г,о[ = /с ) 1, ьо = 1 — Ве 'л (О < < /1 < — 1!.
Тогда при циркуляции Г и $/ = )/ег" 2/ Ий/ю — (о+ г/ют — 1 ()= — ! е г"+ 2 1 и + ) + — Г !и (ю — ~о + ~/Р: 1) + с, ю Со+ Огюг — 1 2хг причем Г = -2хЕ(/з!п(а + /2) (Г определяется из условия ю'(1) = О в соответствий с постулатом Жуковского — Чаплыгина). 10.33. в(ю) = 1/" — р/2+ с — обтекание параболы извне; о/2ю — р го(ю) = гс!г — обтекание параболы изнутри.
2 /и 10 30 в(,) 1 [(ю+,~р —,л) долг; /гглг о/2 — (ю — ъ/юс — со)"/Г~ЛГе' /гса']+ сопл! Ь вЂ” обтекание правой ветви гиперболы извне (Сба = —, /Р = гг — а, с = = /ас Ф Ьс) и в(ю) = — [(ю -1- ~/юс — со)" /па1.1- (ю — г/юс — со) "/(гаг] -1- соплов г/2 обтекание правой ветви гиперболы изнутри. 10.40. ю(ю) определяется из уравнения ю = е /" + ггог/о (значения Глава Х 297 функции тока на обтекаемых полупрямых взяты равными шс). 10.41. ш = Агс)г л = 1п (з+ ~/зг — 1) (значения функдии тока на обтекаемых полупрямых взнты равными О и х), 10.42. 1) Течение с периодом и; в точках Ьг ()г — целое) — источники обильности 1„г;точки гг/2 + йх — критические. Скорость На СЮ В ПОЛОСЕ ПЕрИОдОВ ЬГг, ж 1Г(Х ~ ГСО) = = ш(„гг/(2я).
Линии тока и эквипотенциальные линии см, на рис. 120. 2) То жег только вместо источников в тачках кя — вихри обильности Г и г'(х ж Рис. 120 шсо) = ~Г/(2п). Лля построения поля следует линии тока и эквипотенциальные линии на рис, 120 поменять ролями. 10.43. Течение с периодом и; в точках )гп — диполи с моментом р; агар= 2 Рнс. 121 скорость Ъ'(х ш гоо) = О. Линии токе приведены на рис.
121. 10.44. Решение возможно при гг = 1' — 1)/ьг; Г+ЙГ . т(з — а) — Г+гГ> . х(а+а) .Г)г ог = )пз!и + 1пшп 2лг 2ьг 2 2м згл 10.45. ш = — ссб р х(г — а) Р х(г + а) — — ссп + г)гл+ с. 2х 2ьг 2гг 2ы 10.46. Пусть 1 = /(з) конформно отображает Я на прямолинейную полосу Яг, причем йг, йз переходят в бесконечно удаленные точки Яг. Если существуют не рваные нулю производные /'(йг), /'(йз), скорости К, Ьгз касаются границы Я на оо и произвольно задана одна из них, то для Яг зада- 29 Л.И. Волкоеысккд н лр. Ответи п решения ') В С В С СО С=ел 4) О С С<ез В С В А В А ез<С<ез 4 А С=ее О С О С С С В А с=, сз<С<е, А О С С С с~<С<со Рис.
122 ча приводится к задачам 10.44, 10.45, решение существует и единственно. 10.47. 1) Необходимо и достаточно, чтобы числа М и С были действительными. В этом же случае линии Неи = шш лвляютсн эквипотенциальными линиями. На рис. 122 показано отображение 1 = г(о) = Дп) -~- Сн при различных действительных С.
Рис. 122 соответствует случаю ы > > ~ы'~. Согласно решению задачи ОА5 при этом сз < 0 < сз < е~ и )с~ > 1/2. 2) г"(и) =— М д',((е — о)Д2и)) + с. Для о = 0 и М = 2з. отображение 1 = 4гы д1((н — о)/(2ы)) = 1(н) = ь(н) — — и = — ', показано на рис. 123 (заметим, что ез < О 1 д'(н/2ы) и 2и д1(и/2ы) <-ОУ <.,). М Ж 10.51.
у(н) = — г'(и — о) + — С(н — Д) + Сн + с. Чтобы функция ((в) 2л 2л М была эллиптической, она должна иметь вид /(н) = — [ь(н — а) — ь(н — Д)) + 2л + с. Если 1ш и = ш 1глы' — линии тока, то М должно быть действительным, Глава Х 299 0 с в с В Рис. 123 а если зквипотснпиальные линни, то — чисто мнимым. Для сс и с3 возможны только значения О, ыь ()с = 1,2,3).
Лля о=б, 1)=асса М=2л У(и) = ч(и) — ч(и — всл) = р'(и) = пь 2 р(и) — ес сс,(и)ве(и) = ле -~- в(и)вь(п) (с, ь й -- перестановка из 1, 2, 3). Точки и = —,ь (псос1вс,св') 2 критические, т. е. в ссих Г(и) = = О. Основные отображенин см. на рис 124. Указанные там прямоугольники отображаются на полуплоскость, ограниченную горизонтальной прямой (й 1), полуплоскость ограниченную вертикальной прямой (1 = 2), и на лвулистный квадрант с линией склеивания, представляющей горизонтальную полупрямую, соответствующую штрпковой линии на прямоугольнике (й = 3).
Эти отображения продолжают~я по принципу симметрии. 10.52. Периоды течения 4К и 2сК', диполи 2гпК -~- (2п+ +1)сК' с моментами 2п( — 1/сс), критические точки (2гп+ 1)К+ ясК' (пс, п — целые числа). Отображение см. на рис. 125. Рис. 124 20* Ответы и решения ЗОО 1К' Я вЂ” К вЂ” 1К Ркс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
