Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Бесконечнозначная функция. Ее риманова поверхность получа- ется склеиванием бесконечного числа экземпляров римановой поверхнос- ти функции (/з — 1, снабженных на одном из листов разрезом вдоль луча 1 ( х < со, у = О. Склеивание производится как при построении римановой поверхности логарифмической функции. 8.128.
Бесконечнозяачная функция с одними лишь а.т.в. 1-го порндка над з = 0 и з = оо и двумл л т в. над з = 1. 8.129. Бесконечкозначная функция с двумя л.т.в. над з = -1 и беско- нечным числом только а.т.в. 1-го порядка над з = 0 и з = сс. 8.130. Если а = —, то ю = — Ьпз+ — й (й = О, 1, ..., гп — 1) — т разгп гп 2тг' и а и личных аналитических функций; если а иррационально, то ю = аЬпз+ + 2я1й (й = О, х1, ...) — бесконечно много различных функций. 8.131. Две различные бесконечнозначныс аналитические функции с той же римановой поверхностью, что у Ьп з, 8.132.
Две различные аналитические функции, равные соответственно 2Ьггз и 21п( — з). 8.133. ю = я/2+ 2яй, й = О, х1, ..., ю = я/2+ 2Агссозз; ш = — Зя/2+ + 2Агссоэ з. 8.134. ш = х/2 + хй (й = О, *1, ...). 8.135. ю = г(я/2+ хй) (й = О, х1, ...). 8.136. ю — бесконечнозначная функцил с той же римановой поверх- ностью, что ЬпЬпз (см. задачу 8.123). Если С = реса = Ьпл = 1пг+ ир (~р = Агбз), то ю = е'юг = сю" е'е" - 'а Ь Для /е(з) = е вмиг (О ( 0 ( 2я) указанные в задаче множества предельных значений представляют соот- ветственно: 1) и 2) окружность ~ш! = е 3) окружности (ю! = е Г' при р -++ос и (ш! = е '"Гз при ~р -+ — со; 4) кольцо е "Г' < (ю! < е "Г-'.
Для других групп ветвей добавляется множитель е ~ (й = х1, х2, ...). 8.137. Во всех пунктах ю(з) представляет одну аналитическую функ- цию, если ~а) ( 1; если )а~ 3 1, то в и. 1) и 3) функция распадаетсл на и, в в и. 2) и 4) — на бесконечное число ра зли ч н ы х аналитических функций. 8.138. Если ~а( < 1, то в обоих случаях ю(з) представлнет собой одну аналитическую функцию; если )а~ ) 1, то в п. 1) будет я, а в и. 2) бесконечно много различных аналитических функций.
8.139. 1) Пусть з = геге и С = ре*е = 1.п х. Тогда ю(з) состоит из мно- гозначных аналитических функций, равных соответственно т(з)ег "л (~~ ' л+г'б з +ь), — а б < Зя/2 (й = О, х1, ...). Все они имеют по одной л.т.в. над з = О, в окрест- ности которой область неопределенности — кольцо (в частности, для й = 0 кольцо д(0)е з М ( (ш! ( д(0)е "~~).
181/2 Л.И. Волкоеыский и лр. Ответы и решения 2) Пусть з — 1 = ге!" и !, = реш = 1п(з — 1). Тогда ш(з) состоит из однозначных аналитических функций, равных соответственно „! !*"' '""!ь ! = Р +!„+и !', ю= ![! °,~ (! г )!, причем к/2 < !д < Зк/2, О < В < 2я; !с,п = О,ж1, ...). Для различных л, и это различные аналитические функции, Если существует Х(1) = 1!ш х(з), *-!! то область неопределенности при з -э 1 — окружность (в частности, при к = п = О окружность (ш! =;г(1)е ). 8.140. 1) Если /(г) не имеет нулей нечетного порндка, то Я~) распадается на две целые функции.
Если а!,аз, ... — нули нечетного порядка функции /(з), то риманова поверхность для,//(з) двулистна с а.т.в. над а!,аз, ... и над оо, если /(з) имеет там полюс нечетного порядка. Если /(з) — трансцендентная функции, то над з = оо — две существенно особые точки однозначного характера, если /(з) имеет четное число нулей нечетного порядка, и одна существенно особая точка двузначного характера, если число таких нулей нечетко или бесконечно велико. 2) Если /(з) имеет нулк а!, аз, ..., то риманова поверхность для Ьп/(з) имеет над а!,аз, ...
по одной л.т.в. и никаких других точек. Если /(з) нулей не имеет, то Ьп/(з) распадается на бесконечное число целых функций, отличаюн!ихся одна от другой слагаемыми вида 2М!' (к = О, ж1, ~2, ...). 3) Если /(з) имеет нули, то риманова поверхность для (/(з))8 та же, что для Ьп/(з) (см. и. 2)). Если /(з) не имеет нулей, то [/(л))~ распадается на бесконечное число целых функций, отличающихся одна от другой множителями вида е ~ ' (к = О, ш1, +2, ...).
8.141. Двулистный круг ф < 1 с а.т.в. в нулях функции ~ з'. в частности, в точке з = О. 8.142. 1) Двулистный круг ф < 1 с единственной точкой ветвления при з = 0 (часть римановой поверхности функции т/зщ расположенная над кругом (з! < 1); 2) часть римановой поверхности функции Ьп з, расположенная над кругом Ц < 1; 3) часть римановой поверхности функции Ьп з расположенная над кольцом, 1/2 < ф < 2. Глава 1Х 9.3. 1) В вершине А! а! = О; 2) в вершинах А! и А! а! = аз = 0; 3) в вершине Аз аз = 0; 4) в вершинах А! и А! аз = ои = — 1; 5) в вершине А! !хг = — 2, в вершине Ал и! — — 0; 6) в вершинах А, Аз и А! пз = сзз = а4 = 0' 7) в вершине Аз с!з = — 2, в вершинах А! и Аа о! = !хе = 0; 8) в вершине Аа сг! = — 2, в вершине А! с!! = о — 2.
9.5. Необходимо и достаточно, чтобы ол = 1/(пь) (пл — натуральные 11 числа или оо) и ~ !11 — — ) = 2, что возможно только для п = 4 с и! = ь=! оь = пз = пз = и! = 2 (т. е. для прямоугольника) и для и = 3: Глава ГХ 275 Л 9.6. 1) ю = — 1пл+ о, з = е ое "И~ (о — действительный параметр), з(ш) —.- периодическая функция с периодом ш = 261; группа С порождаетсн преобразованием Т(ю) = ю+ ш; ее фундаментнльная область В состоит из удвоенной полосы и одной ее граничной стороны; Л ! -1- е н(ю — е) 2) ю = — 1и — -1- о, л = сЬ (о — действительный параметр); н 1 — л ' 2Л л(ю) — периодическая функция с периодом ш = 291; группа С и ее фундаментальнан область В те же, что в и. 1.
9.7. ю = а!сын 2, з = сйпю; л(ю) — периодическая функция с периодом ш = 2н; группа С порождается преобразованиями: Т(ю) = ю+ш, Я(ш) = — ю; ее фундаментальная область В состоит из паласы О < и < я и граничных полупрямых и = О, и = я, о ( О. 9.9'). 1) ю = С(л '74(! — л) !7'сЬ, где С = (В(р,д) = В(1/б. 1/2) а тн '(1 — х)е ' Их — интеграл Эйлера 1-го рода); л(ю) — двонкапе- а риодическая функция с периодами 2ш и 2ш ИЕ; группа С порождается преобразованинми: Т(ю) = и~ + 2ш, Я(ш) = юе~ Ие; ее фундаментальнан область В состоит из удвоенного треугольника и двух разноименных граничных сторон; 2) ю = С/ з зм(1 — л) Вз<Ь, где С = ; з(ю) — дволко- В(!/4, 1/2) а периодическая функции с периодами 2ш и 2ш1; группа С порождается преобразованиями: Т(ш) = ю+ 2ш, 5(ю) = 1ю; ее фундаментальнал область В состоит из квадрата со стороной ю и двух граничных сторон одного из составляющих квадрат треугольников; 1 3) ю = С/л М~(! — л) ттздл, где С =; л(ю) — двоякопери- В(1/3,1/3) а одическая функция с периодами 2Л( и 2Ле"Ие, где Л = шт/3/2; группа С порождается преобразованиями: Т(ю) = ю+ 2Л1, Я(и!) = юет Мз; ее фундаментальная область В состоит из удвоенного треугольника и двух разноименных граничных сторон.
Е) Схемы фундаментальных областей даны не рнс. б2. Ответы и решения 9.9. "Треугольник" с двумя вершинами в точках ш = О, ш = г( = В(а,)3) и углями яа, п,3 а этих вершинах. Если а+ г3 < 1, то третья вершине конечнея; если а+)3 ) 1, то третья вершина лежит в бесконечности; если а+ 53 = 1, то г( = Я/Япакг а "тРеУгольник" имеет фоРмУ полУполосы косой, если а ~ г3; в случае а+ г3 = 2 стороны "треугольника", выходящие из вершин основании, параллельны, направлены в противоположные стороны а+г3<1 а+)3=1 а+г3>1 Рис. 93 гг(а — 1) 3 иг)= ; если а = 13 = —, то "треугольник" представляет собой его х(а — 1) ' 2 внешность прямой полуполосы (рис. 93). 2) "Треугольник" с одной конечной вершиной в точке иг = О, с углом яа и двумя вершинами в са.
Две стороны "треугольника" представляют лучи, выходящие из начала, третья сторона -- прямая, отстоящая от на- егп еД Г(а)Г(13 -~. 1) чала на расстоянии 6 = — . (О вычислении величины гг см ,3 Г(а -~- ~3) книгу В. Коппенфельса и Ф. Штальмана, указанную на с. 148, и. 13.2.) В случае а = 1 получается полоса шириной и; в случае а+ 13 = 1 две стороны параллельны и Ь = и; в случае а = 2 получеется полуплоскость с разрезом 5!п хг3 вдоль действительной положительной полуоси и )г = , в частности, )1(г3 + 1) ' 1 6 = 4, если )3 = — —, и л = я, если г3 = — 1 (см.
рис. 93). 2 9.10. 1) См. рис. 94, 1); шг ш ш(1) = — гя(1/2 — Л); шх = ш(Л). 2) см. рис. 94, 2); шх = ш(Л). 9.11. 1) ш = — [ахсвш ~/х — (1 — 2л) 5ггх — 55]; 2 2 2) ю = — ]весе!и ьге — 5/я — л ]; Глава /Х 222 3) ю = — ( 1п — 2р/з) = — (ахСЬ!/з — т/з); Л !' 1+из '! 2Л ) 4) рв = 2Л(ахс19 рр/а+ агСЬ рр/з — 2рр/з)/я„5) рв = ъа(-~з(з — 3)/2 — 1) 1) л<о о<л<$ л<1 ° в! О 12 < л< 1 Л>1 ф~~~~ч """л 2) л<о О О<Л<1 Л>1 "фс, 1 зч 1 2 р ср Рис.
94 — —, где Г и 1 имеют те же значения, что и и и. 1). ! /~ а 1!' 2й 1 — ЙЛ Гз — 1 9.13. ю = -, где ч = — ~ — + 1п — ), —.~1-Вз 1+!) ~/ 9.14. ю = 2Л/я(р/зз — 1+ ахсжп (1/з)). 9.15. ю = )й '(1 — й ) ~ рй. В(а/2,1 — а) 2 о 3 р — ! ах аз 9 12. 1) ю = — — ) . Если 0 = -, то ю = — з — 1п ~1 — — ), зр-в(з цв ' вв Л в. ) ' 1 =в глеб= ( ) их„=с!" *~Р (в=0,1,...,д — 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
