Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 43
Текст из файла (страница 43)
4.270. Областзч содержащая положительную полуось а и ограниченная линиями а+ Ь = О и . ' О ~(1 ~( —. (а = — 1соятг/сбпт1, !! Ь = 1/гбпте, 2 4.271. Область, ле!кащея н первом квадранте и ограниченная линиями ( Ь =1 /соаг1, 2г' 4„272. Конечная область, ограниченная отрезком Ь = О, 0 ~ (а ~ (я/(2т) ( а = 1з!пт1, я кдугоя,, ' 0<1( —, ( Ь=1 соет1, 2т' 7Ю 2 р ик-! 4.282. з = а Ч- —, /(а) Ч- —, — Ц/(а)]!) + ., + —, ([/(а)]" ) + ... 4 288 1 + ~ ( )„!п(п.1-1)...(2п — 2) 2 т" 2!к — ! . и! 1 „п(п Ч- 1)...(2п — 2) 2 г!.-' сд =! ш1 2 4.284.
л = а + — — (а — 1) + — — „— ](а — 1)е] + ... 1! 2 21 2з Иа 2 — — ((а — 1)"]+ ... и! 2" На" и — ! ап — ! ап + Ь)" 4.286. 1) з = ), ш"; 2) еь* = Ь) ', ш". «=! к=о Галла !г 247 1и - 1 4.287. л = а+ ~ — — (з(пи а). о1 лаи =1 з — гг/2 л 4.288.
Решение. Функции ш = — аналитична в круге )з — -) < э!о з 2 < г, если г < —, и не имеет в этом круге других нулей, кроме з = —. 2' 2 2г На окружности этого круга )нг) >, поэтому круг )нг( < р радиуса е" + е 2г гг р < отображается на соответствуюшую окрестность точки л =— ег -!- е 2 взаимно однозначно и разложение л(ш) в этом круге сходится. Функция 2г 1„* и" 41 7, л1 имеет максимум при г = г', где е!"* = (г' = 1,19...
< — 71, е' -!- е г* — 1 ' 2 2г и этот максимум равен,, = /г"- — 1 = О,бб27... Таким образом, е" * -1-е искомый радиус сходнмости не меньше чем О, бб27,. В та же время тачки 11гл гг ш, в которых — = О, т. е !8 х = з — —, не могут находиться внутри круга г1з ' 2' сходимасти разложеннл з(нг). Обозначив л — — = й преобразуем уравнение 2 лгс !и !1+ 1 — = О к виду с!81 = — 1 или е ' = —. Следовательно, В = г" — корень ез И вЂ” 1 Лгл 1 2!и' уравнения — = О.
Саответствуюшее значение ег = 41 созс е'* -Ь е —" 2г' откуда )нг( =, . = ъ'г*! = О, бб27... Эта точка находится, таким обе" же разом, на окружности круга сходимости, и радиус сходимости равен, следовательно, !/г 1 = О,бб27... Глава Ч 5.1. Кольцо 1/2 < ~з( < 1. 5.2. Внешность единичного круга (~л~ > 1). 5.3, ф ( 1. 5.4. Полуплоскость Вез < — 1. 5.5. Действительная ось. 5.8. Вся плоскость, кроме точек л = О,к1,ш2,...
5.7. ф > 1. 5.8. ф < 1. 5.9. Вся плоскость, кроме единичной окружности ()з! ф 1). 5.10. Вен плоскость, кроме точек з = 4!гие111+!! 17 (/с,н = 1,2,, ) 5.11. Решение. Если ряд ~ аи сходится, то при )з~ < 1 сходии=! ОО О аихи алли мость ряда ~ очевидна> а из тождества 2 = — ) а 1 — ли 1 зи =1 =1 и=1 (1/з)и следует, что ряд сходится и ири )л! > 1. Если ряд ~г а , 1 — (1/л)и расходится, то ряд ) а зи имеет радиус сходимости П ~( 1. При (л) > и=! 243 Омлеты и решения а л» > 1 расходимость ряда ): " следует из того, что в противном случае о» =! а а а»л сходился бы ряд ) †, а следоветельно, и ряд э 1 — л" Х1 — л" 1 — л" =! «=1 а„.
Если же ф < 1, то модуль отношения о общих членов рядов »=! о! а л" и ~ эанлючен в пределах 1 — (л) ( 7 ( 2 и, следоеатель- 1 — г" «=! но, оба ряда сходятся или расходятся однонременно. 5.12. 1) ) Ь„л", где Ь„ = 2 аю причем суммирование распространено .=1 на те индексы р, которые нвляются делителями числа и, включая 1 и и. Радиус схадимости Н = ппп (г, Ц, где г — радиус схадимости ряда ~ а„х". »=! ( — 1) (1ад)« / 1 то1 5.13. ') о„(х — 2)", где а„= — ~ (оо = ~ —, = — ); »1 РД (, Ьэ 6!' =о о=! ь-.! 1 1 5.14. —, если (э! < 1, и — —, если )л) > 1.
2' 2' 5.15., если )л! < 1, и,, если (л( > 1. о 1 (1 — о12 (1 — о!2 5 16. л, если ф < 1, и 1, если )л( > 1. о 1 5.17., если )л) < 1, и, если )х! > 1. о — !' х — 1 5.19. 1) и 2) сходятся равномерно во всяком круге ф ( г < 1 и во всякой области (х~ > В > 1; 3) сходится равномерно на всей действительной оси; в остальных точках расходится. 5.21. Сходитсн равномерно на окружности (л! = 1; во всех остальных точках расходится. 5.22. Сходится равномерно в любой полуплоскости Кех > 6, где 6 > О. 5.23.
Сходится равномерно в любой полуплоскости Вел > 1 + 6, где 6 > О. 5.24. Сходится равномерно на действительной оси; во всех остальных точках расходится. 5.25. Сходится равномерно на всяком отреэке (2кп+е,2(й+1)н — е) .
действительной оси (Ь = О, 1, 2, ...). 5.26. Нет. 5.33.х, = х = -оо. 5.34. х, = -со,х» = 1. 5.35. х, = -оо, х, = +со. 5.36. х, = О,:о = +со. 5.37. х, = О, х = 1. 5.36. х = х = — 1. 5.39. х, = х« =+оо. 5.42. х = О; расходитсн во всех точках границы. 5.43. х, = х = — 2; расходится во всех точках границы. 5.44. х, = х, = О; сходится (неабсолютно) в точках л = (2)о+ 1)л! (Ь = О, х1, х2, ...), а в остальных точках границы расходится.
5.45. х, = х, = О; сходится абсолютно во всех точках границы. Глава Н1 249 5.46. х, = х, = О; сходится неэбсолютно во всех точках границы. 5.54. Интегрвл сходится рваномерно во всякой полосе О < а ( Кез ( ( А < оо. 5.55. Интеграл сходится равномерно во всякой полуплоскости Кез > > а > О. 5.56. Интеграл сходится равномерно во всякой полосе а ( Кех < 2 — а, где а> О. 5.57.
Интеграл сходится равномерно во всякой полосе а < В.ел < 1 — а, где а > О. 5.58, 5.59. Интегрэл сходится равномерно а любом замкнутом интервале действительной оси, не содержащем начала координвт. 5.60. Интеграл сходится равномерно в полуплоскости 11п з > О с удаленным полукругом (з~ < г, где г — сколь угодно малое положительное число. 5.61. Интеграл сходится равномерно в интервалах О < а ( (л ~ (В ( 1 и 1 ( т ( з < оо.
5.62. Пример: 1(1) = е' при и <1 < и+е " ( п = 1,2,...) и 1'(1) = О для всех остальных 1. 5.63. х, = х = О, 5.64. х, = х, = — оо. 5.65. х; = ха = +ос. 5.66. х, = — оо; х, = 1. 5.67. х, = — со; х„= ч-со. 5.68. х, = — 1; х, =+оо. 5.69. х, = О; х, = 1. 5.70. Рвсходится во всех точках грэницы. 5.71. Сходится абсолютна. 5.72. В точке з = О расходится, в остальных точках границы сходится неабсолютно. 5.73.
Во всех точках границы сходится неабсолютно. Глава Н1 6.9. Решение. Вычисляя интегралы, входящие в очевидные неравенства уз л/2 л)2 э1п'"+' х с(х < / жп " х 4х < / зш " ' х 4х, получвем (2п)!! 1 л )' (2п)!! ~ 1 (2я — 1)!! 3 2п .~- 1 2 1(зп — 1)!! 1 2п Ллл доквзэтельства формулы Валлисе остэется установить, что разность между крайними членами в этой системе неравенств стремится к нулю при п — 1 О. 6.12. 1) Ие сохранится; 2) сохрвнится. 6.14. 1) Расходится; 2) расходится (к нулю); 3) сходится; 4) сходится.
6.15. Сходится неабсолютно. 6.16. Расходится. 6.17. Сходится, если р > 1/2, причем сходится абсолютно, если р > 1; ресходитсн, если р < 1/2. 6.18. Сходится абсолютно, если р > 1; расходится, если р < 1. 250 Ответы и решения причем суммирование в правой части (1) распространено на те индексы и (большие единицы), которые не делятся ни на одно из чисел Рг, рг, ..., р,„. Легко доказать, что при Бее > 1+ 5 (д > 0) сумма ряда в правой части (1) стремится к нулю при т — ! оо и, следовательно, Де) П(1 — р ') = 1.
е=! 2) Так как из признака абсолютной сходимости (см. задачу 6.13) следует, что произведение П(1 — Р ') при Бее > 1 ч-5 сходится, то функция =! Де) не имеет нулей при Бее > 1. 6.37. Решение. Из доказанного в предыдущей задаче следует, что при любом 5 > 0 П(1 — Р ) = 'П -ОМ! и Д1+5)' . Отсюда легко заключить, что Вгш П(1 — Р„"б !) = О.
Так как (1 — р„') < (1 — р„! !), то ясно, что проб-гЕЯЯ =! изведение П(1 — Р„) расходится (к нулю), а следовательно, и ряд ) р„' г =! =1 также расходится. „г гггс! ее я! 6.57.. 6.58.. 6.59.— е!пг гга е!и гге 5 6.61. —,'„(1+ — '1. 6.62. —,. Зае ~ епее/ 52 1)ббгтгь-геен 6.63. (Збг)! Вгь 8.64. — —. 8.67. р = 2 Шпгго 6.69. р = 1, а = 3. 6.70. 6.71. р = 3, а = 2. 6.72. (Вгь — число Бернулли; см.
задачу 3.100). О. 6.68. р = п, а = о. р=1,о =3. р = 2, а = т/5. 6.73. р = 1, т = 1. 1 6.76. р = —, а т 1. 2' 8.74. р = 1, а = 1. 6.75. р = 1, а т т/2. 6.19. Сходится абсолютно. 6.21. (з) < 1. 6.22. (х( < 2. 6.23. ф < оо. 8.24. (л( > 1. 6.25. )з! < 1/е. 6.26. 1з( < оо.
6.27. Ц < оо. 6.28. )л) < сю. 6.29. )з( < оо. 1 1 6.36. Решение. 1) Вычитая из ряда Де) = 1+ — + — + ... ряд для 2г Зв 1 2 'Де), получим (1 — 2 ')Де) = 1+ — + — + — + ...; в правой части зтоЗг 5* 7 1 го равенства отсутствуют те члена! —, для которых я делитсн на 2. Анап' 1 1 логично (1 — 2 ')(1 — е ')Де) = 1+ — + — + ..., причем в правой части 5' 7' 1 отсутствуют члены —, для которых и делится на 2 или на 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
