Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Можно показать, что с точностью до линейного преобразования группами З)-9) исчерпываются группы линейных преобразований с одной предельной точкой (так называется предельная точка множества эквивалентных между собой точек). ю — 1; е — 1 ю — е „„г — е 2.72.
1) ю = е' з; 2) — = е' —; 3) —, = е'" —,; ю41 е+1' ю+1 гтВ ю — а ю е — а 4) = еге 1-1-аю 1+ аг 2.78. Ц и 2) Построение очевидно; 3) эквидистантами "прямой" о 3 (а и (3 — "бесконечно удаленные" точки этой прямой) являются дуги окружностей с концами а, Д (они называются гилерцикяами); 4) предельными линилми для пучка епараллельных прнмых" с общей "бесконечно удаленной" точкой а являются окружности, касающиеся (изнутри) единичной окружности в точке о (они называются орицикяаяги). 2.79.
2) Для построения "прлмолинейного" треугольника с углами ~ры уз, 1ез строим круговой сектор ОАВ с центральным углом г3 = л — (Чг~ + +егг + юг), проводим 'прямую'* АВ, а через точки А и  — "прямые" под углами Чгг и иге к АВ пересекающиеся в точке С. ЬАВС искомый. 2.80. 1) ю = 1(з — а ); 2) ю = )/л — — — 1|/ —.
2 г 2 1/2 ге А Ггч11г 2.81.1) ю= — „; 2) ю= /-; 3) = — ~ — ) . аз а 2 (,г — 2) 282. Область ограничена улиткой Паскаля; и = В(сое Чг+ тсоз 21в), о = = П(з1плг+ лгз(п21е). Если перенести начала координат в ю-плоскости в точку ю = -Лт, то получим уравнение улитки в обычном виде (в полярной системе координат); р = Л(1+ 2тгйпВ). При тл = 0 улитка Паскаля обращается в окружность, при т = 1/2 — в кардиоиду с точкой возврата ю = -Я/2.
Образами окружностей ф = г < 1 являются также улитки Паскаля, полярные уравнения которых легко получаются при переносе начала координат в точку ю = — Птг' р = йг(1+ 2тгсозВ). Образы радиусов окружности агб л = а — параболы, проходящие через наРнс. 63 г чнло координат: т(ие(п2а — исоя2сг) + + Яв1па(иа!па — исоагг) = О. Радиусам а = 0 и а = л соответствуют отрезки действительной оси 0 < и < В(1+ т) и В(т — 1) < и < О. 2.83. Область ограничена параболой и = — и~ и кривой р = 2 соеВ/3, /В) < Зл/4 (рис. бЗ).
/лава П 219 со«ию 1 2.84. 1) Область ограничена эпициклоидой: и = «»(созе»+ ), о = Е»П Ие»1 = ««(з(п»р+ ), имеющей (и — 1) точек возврата, которые являются и образами точек « = " К-Т; сое иэ»1 2) внешность гипоциклоиды: и = ««(сов 9»+ ), е = «х(в(пэ«вЂ” з»пию1 +1 — — ), имеющей (и+ 1) точек возврата (образы точек « = " »/ — Т).
2.85. 1) )гп( ( 1/и. Область ограничена удлиненной эпициклоидой (эпитрохоидой), т. е. треекторией точки, находящейся на расстоянии и«й от центра круга радиуса Щи, катящегося извне по кругу радиуса «1(и — 1)/и. 2) )«и) ( 1/и. В первом случае внешность единичного круга, а во втором случае его внутренность отобрал«лютея на внешность "укороченной" гипоциклоиды (гипотрохоиды). 2(1»/4+ 1)е '/«««/« 2.86. 1) ю = «"; 2) «е = « « «« 2.87. 1) ю = ( — ); 2) ю = —; 3) ю = (1 «/ ' 2« ' 2««.~.3«+2 «««- 3»«+ 1 . 2«« -~- 3»«+ 2 2.88.
1) ю = 2)ю= г«« .~- 2«Ч- » 2«« — 3»« -Ь 2 2.89.ю=( — ) . =( )' =(" 2.90. 1) ю = ); 2) и» = ( «»/» /г»/а) ' 1«1/а.~. о1/а ( - )', / - )'/'. [ - — 1' 2« — »»3 — «2« — ч'3 — » ' « — »/2(1 -~- «) « 2.94. ю = е" ( — ) . 2.93. ю = (, -1) ' Ч1-. ». 4. »/Гт«Г/" — ), 2.
5. «4 — Г»( - ц. .9 . '(»«)»(* — Я» 2.97. ю = е «'/'~/л — «. 2.98. ю = еи/Н'»о«» "/П ~/ « — 1' 2.99. ю = «/««+ /««. 2.100. ю = ».юь. = Д' ') +»'-'. а.»ю. 2.103. ю = 2.104. ю = ( ) . При одном выборе ветви х/«эта функции дает »/«+ 1» ,/1-1) решение задачи 1), а при другом — 2). 2.105. ю = «/(1 — «)«.
Ответы и решения 220 2.106. Окружностям )з) = Я (рис. 64) соответствуют софокусные Рис. 64 4и 4 ел эллипсы + = 1 (окружности )з) = 1 — отрезок о = О, (К+1/К)з (К-1/К)г — 1 ( и ( 1); лучам агбл = гг соответствуют ветви софокусных гипербол иг ег — — = 1 (лучу агй л = Π— луч о = О, и > 1, лучу агб з = я — луч соаг а з1пг о о = О, и ( -1; лучам агй з = их/2 — ось и = О). 4иг 4гг 2.107.
1), 2) В?гсщкость эллипса + „=1 (рис. 65, 1), 2)); (К.~-1/Ь)г (К-1/К)з 4) 3) р о "-%~ Рис. 65 3), 4) вся плоскость с разрезом по отрезку ( — 1,1) (рис. 65, 3), 4)); 5), 6) вся плоскость с разрезами вдоль лучей ( — оо, — 1] и (1, оо), лежагпих на действительной оси; Глава П 221 7) нижняя полуплоскостгб 8) верхняя полуплоскостгб 9) верхнян полуплоскостгя 4из 41г 10) верхняя половина внутренности эллипса + , = 1; (Я+1/Я)з (Я-1/Я)э 4ие 4из 11) нижняя половина внутренности эллипса „+, =1; (я+ !/я)э (я-1/я)а 4из 4 из 12) правая половина внутренности эллипса (Я !/Я)э (Я 1/Я)2 , + — =1 17 11 с разрезом вдоль отрезна, [1, — ~Я+ — )~; из е2 13) область между нетвями гиперболы — — — = 1.
з!п~ а соэз а 4иэ 2.108. 1) Окружностям )з( = Я соответствуют эллипсы + (Я вЂ” 1/Я)з 4из (я ж 1/я)' = 1 (окружности !з( = 1 — отрезок и = О, — 1 ( е ( 1), лучам агб з = а соответствуют ветви гипербол — — — = 1 (лучам р = 0 з!пз а созз а и р = и соответствует ось и = О, лучу ш = х/2 — луч и = О, о > 1, лучу !о = -я/2 — луч и = О, с ( — 1); 4и- 4и2) окружностям (з)=Я соответствуют эллипсы „+ (Я+аз/Я)! (Я-аз/ЯР = 1 (окружности (з~ = а — отрезок о = О, — а ( и ( а), лучам агб з = а и иэ соответствуют ветви гипербол, — „, = 1 (лучу агбз = 0— а! сова а аа з!оэ а луч о = О, и > а, лучу агб з = л — луч о = О, и ( — а, лучам агб - = а н/2— ось и = 0); 3) семейства софокусных эллипсов и гипербол, получаемые из соответствующих семейств для функции Жуковско! о (см.
задачу 2.106) поворотом на угол 7 и подобным преобразованием с коэффициентом подобия )с( (центр подобия — в начале координат). е"* 1 ь ор. и = — ! 7-"з); ~! = ! +~г:-ь' -— у)); с а+Ь обоих случаях при одном выборе ветви корня получаем отображение на внец!ность единичного круга, а при другом — на его внутренность. 2.110. и = "— ' ' — Р'-зч аз — Ьз — л + 'Р:|'- э),, А— а — Ь число; и = 'а +Ьт — 'У+1~' 1/ !1 2.112. Вся плоскость с разрезом по отрезку [ — 1, — !та+ — г!~, если а > '21 а > 0; вся плоскость с разрезами по лучам ( — со, — !1а+ — г!1 и ( — 1, +ос), 21 а если а ( О.
2.113. и = — . 2.114. и = 5/4 — (л + !/з)/2 1'лава П ггз образом окружности С' нвляетсн (рис. б7) е замкнутап кривап с угловой точкой ш = 1, причем касательные в этой точке наклонены соответственно под углами 2а — аб и 2а+ (л — а)6 к действительной оси; образ окружности С содержитсн в лд области, ограниченной образом окружности С'; внешность окружности С' отобража- -1 С и ется на внешность образа этой окружности. 2) Внутренность окружности С отображается на внешность области, ограни- Ркс.
67 ченной дугами окружностей, проходящих через точки -1, 1, причем в точке 1 касательные к этим окружностям образуют с действительной осью углы, соответственно равные: а) 2а+ +(л — а)б, 2а+ (2л — а)б, если функция ш(») определена в»-плоскости с разрезом по дуге окружности С, лежащей в нижней полуплоскостн; б) 2а — ад, 2а — (л+ а)б, если разрез, определяющий функцию пг(»), проведен по дуге окружности С, лежащей в верхней полуплоскости. ег — 1 г' »е'»+1»мгз 1 2.123.— =( . /, где 7=а, если )7>0, и 7=а+а, в -~- 1»с*э .Ь ае гам если )7 < О. 2.124. Вся плоскость с разрезами по лучам р = О, х ( — 1/2 и у = О, х > 1/2, 2.123. Полуплоскость х > 1/2 с разрезом по отрезку р = О, 1/2 ( х ( 1.
2.126. Вся плоскость с разрезами вдоль лучей р = О, 1 ( х < со и у = О, — гю < х ( — 1, 2.127. Угол — л/п ( а»8» < л/и с разрезом по лучу р = О, 7/1/4 ( х ( < оо. 1 2ьл 2.128. 1) Всп плоскость с разрезами по лучам )ш( > —, ахдш =— е4 (1 ж»")и" (гг = О, 1, ..., и — 1); 2) ш = К4» . г =ггЗ+~~= — 'ггзтг т:гг: ьг2 г = * = — (лг»г т:»г 2.130. 1) ш =(а" + а ") Решение. Функция (' = — г1»" + — ~ отображает сектор на нижнюю 2'1 полуплоскость, причем точки а и ае переходит в точки х — гха + — !. г11 Лалее, следует сжать полуплоскость (р = ь ы/ и отобразить ее на (а" + а ")/2/ единичный полукруг (т = р+,/ф — 1).
Функция ш = ,"/т будет искомой. 2), ( ж+а- ж)-зl (» Iз+»- lг+ (» 12 1»-пж)2 (а 72+а-э72)2)з1 Ответы в решения 2.134. ш = 2.135. При при Ь = 1 н~ 1-~-з 1-~-Ь вЂ”,ь,= —. 1 — з 1 — Ь при Ь > 1 2.136. ив ~ и~. = з/~~ + г ~ '~ ° ° ~ - я) т/2 -Ь,/б Решение. Функция Ь = з отображает верхнюю полуплоскость с разрезами по отрезкам (О, 1 + 1], (О, — 1 + г) на область задачи 2.132, которую и отображаем на верхнюю полуплоскость. Найденная функция, в силу принципа симметрии, отображает данную в условии область на плоскость с разрезом по некоторому отрезку, Остается отобразить внешность этого отрезка на внешность единичного круга.
2.136. ю = — [(з+ /З вЂ” ц 2 + (3+ /зз — ц 1" + 2)ыз = ~/2 + / з "ц Г(2 ~+( + / з ц — дз«~) Л Р е ш е н и е. С помощью функции т = ~ ге, где ~ = л + з/à — 1 — функцип, обратная по отношению к функции Жуковского, верхняя половина заданной области отображается на область )г( > 1, 1ш т > О, которая функцией Жуковского отображается на верхнюю полуплоскость. Применяя принцип симметрии, получаем отображение внутренности правой ветви гиперболы на всю плоскость с разрезом по лучу ( — оо, -Ц; зта последняя область легко отображается на верхнюю полуплоскость. П виме ч ание.
Множитель 1/1/2 не играет роли, так как преобразование ш = Ьш (Ь > О) отображает полуплоскость на себя. 2.139. ш = (е ' (л+ з/зз — Ц) /ид~ — (е ' (л+ т/в — 1)) г1~д~, где Д = к — а. = -'( 'азу+ + /ГР+зт г-7), ъ/Ьтжс' — ъ~З+с ' где о = — (з/аз+се — ь/Ьз+аз) 11 = — (з/аз+ел+ з/Ьз+се). 1 1 2 2 = /'зтз+ зтз. Глава Н 225 л+ ьГл' — — еГ 1э Ь 2.140. щ = [е '" ], где с = з/аз+ Ьз, о = эгсьб —, р = с а 2 ьгс45 (а/Ь) 2.141. 1) Область стРоитсЯ слеДУющим обРазом: кольцо г[ < [ю[ < гзз разрезается вдоль отрезка г[ < и < гз~ действительной оси и к нижнему краю разреза приклеивается часть такого же кольца: г, < [м[ < гм 2 3 О < агдщ < 2об если о = я, то второе кольцо — полное и его свободный край следует склеить со свободным краем первого кольца (в этом случае получаем двулистное кольцо г, < [и[ < гз); 2) если а < 1, то неравенство [з~ — Ц < а определяет две области (см. задачу 1.39), каждая из которых отображается иа однолистный круг [щ — Ц < < а; если же а > 1, то неравенство [з — Ц < а определяет одну область, которая отображается на двулистный круг ]щ — Ц < а (для того чтобы построить этот двулистный круг, достаточно два одинаковых экземпляра круга ]щ — Ц < а разрезать вдоль какого-либо радиуса и склеить нижний край разреза 1-го экземпляра с верхним краем разреза 2-го экземпляра, а верхний край разреза 1-го экземпляра — с нижним краем разреза 2-го экземпляра).
2.142. 1) Область строится следующим образом: к плоскости щ, разрезанной вдоль отрезка [ — 1, Ц, приклеивается внутренность эллипса 4о2 4эз „+, = 1, также разрезанного вдоль отрезка [ — 1, Ц, при(й+ 1/К) (Я вЂ” 1/Я) чем к нижнему краю разреза плоскости приклеивается верхний край разреза эллипса, а к верхнему краю разреза плоскости — нижний край разреза эллипса; 2 1м — 11 2) двулистная область ~ — ~ < Гс~ ~неравенство ~ — ~ < Я опредеи+1 лает внутренность круга, если П < 1; полуплоскость при П = 1 и внешность круга в случае, когда П > 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
