Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 40
Текст из файла (страница 40)
3.58 Сходится (неабсолютно) во всех точках, кроме» = — 1. 3.59. Сходится (неабсолютно) во всех точках, кроме точек» = = е»ь где (к = О, 1,, р — 1). ! Л 4»гЗ 3.60. Сходится (неабсолютно) во всех точках, кроме точек» = 2 и»= — 1. 3.61. Сходится абсолютно. 3.62. Например, с =(-1)". 230 Ответы н решения 3.64. Решение. Сначала исследуем сходимость в точке л = 1.
Члены ( ц~Л ряда ) со знаменателями 12', (о + 1, ..., (12+ ц — 1 имеют знак и о=1 ( — 1); обозначим сумму этих членов через ( — 1) оь и докажем, что оо -+ 0 ь 2 (я + цз — Во 2ь -2- 1 монотонно. Имеем 0 < ио < = -+ О при й -+ со. Далее, лз л2 разность 1 1 ) ( 1 1 Ь2 (Ь+Ц21 Ыз-21 (Лч Ц2+1~+"' —.[ 1 1 ) 1 1 (1с+ Ц2 — 1 (к+2)2 — 31 (к+2)2 — 2 (л Ч-2)2 — 1 (ы~ ) '- 1 (Э,- Ц' — 1 (Д + 2)2 — 3 ) (Д + г)2 — 2 (Д + 2Р Этим доказано, что данный ряд сходится при э = 1. Если (з( = 1, но э ф 1, то, согласно указанию, пользуемся признаком сходимости из задачи 1.90 положив о„= ( — Ц(ек)э", б„= 1/и.
Первые два условия, очевидно, справедливы; для доказательства третьего оцениваем К,! 2 2+ 1+ + ( 1)У!!3) о 2 1 — 2 ! 1 — 2 о 1 — 22 ро 1 — за+ !ро1! Б ! = — з — +л — з +...жэо ~(22 +...+з"), 1 — 2 1 — 2 2 1 — 2 ГдЕ р = (2/й] — 1.
ОтСЮде (5о( < -!- 2р+ 3, СЛЕдОВатЕЛЬНО, дЛя Каж2р !1 — 2( дога з существует такое Й, что ф ( < кр < Ач1й, и этим доказательство завершена. о 3.67. ~ —, Л = оо. 3.68. ), В = со. (2 )' (2 +Ц! 22 -! 2 1 о! 22 — 1 2! 3.69. ~ (-1)"+', Я = со. 3.70. - + ~, Л = оо. (2п)! ' 2 (2п)! о„~ (а) (2)" (а) 1 (а) о(о — ц...(а — и+ ц =о (п = 1, 2...); Я = (о). 3.72.
— [1+- — +~ ( — 1)" ' "' ( —,) 1,К=1. 3.73. ~"(-Ц"' —,'„, Л= )-'). =о ! ч (2 — 3!)" — (2 + 3!)" Л" = ~ С„э", ГДЕ 6 13" о=! 1=1 йо-и/2) ( 12 -2 — !32 а ч2ГЗ 1т+ 1) о о оо 22оо1 3.75. ~( — 1)" (п — 1)л", В = 1. 3.76. 2~, Я = 1. 2п+1 2 -о Глава 111 231 з +! 3 „„1 ) ( ц» з 11 1 378 +~ ( ц»1 ° 3...(2п — 1)лз„»! 2п ! 1' ' 2п.и!(2и.!.Ц ззпп! 3.80.
~, В = оэ. и!(2и+ Ц' 3.79.!п 2 — ) (1+ — ~ —, В = 1 2» п п=! зп»! 3.81. ~ ( — Цп, Я = со. (2п -!- Ц!(2п 4 Ц ' 3.82. — + 2) (-Цпг',, В = 3. »=0 3.83. — ~ ((л — Цзп + (л — Ц и+'), й = 2. »=О 3.84. — + ~ ( — Ц", Гз = 2. »=0 3.85. '",' '~( 'г~ )( -Ц",Л=1. »=0 3.86. ~ (-Цп+', й = 1, п =! з' 3.87.
~ (» — Цз", Н = оо. 3.88. 1+ аз+ — + ... =О з 1 з 5 4 3 з 3.89 1 — — — — + .. 3.90. 1+ л — — л + — з — — лз+ ... 4 96 2 6 4 3.91. 1-9 в+л + -з — -л + — л + ... 3.92. в+ — 4- — -'; — + ... 5 з 5 ! 13 з зг 2зз 9зз б 8 30 2! 3! 5! 3.93. !92+ — + — — — + ... = 192+ Ъ " в""', св = —, 2 8 192 л (и+Ц 2 аз+ пс! + п(п — Цс + ... + и!с„! + 2п)сп = 1, и ) 1.
3.94. 2 [ — + (1 + -) — + (1 + — + -) — + ... ( 2 3 г! — 1)п 1 з 3.95. — 4згз + 2 [ — 2тзл+ (1 — 2лз) — + (1+ — — 2згз) — + ... 2 2 3 1 1 п ... + (1 + — + ... + — — 2згз) — + ...~. 2 п — 1 3.96. в~ — (1+ — ) — + (1+ — + -)— ( 3 5 2и — 1) и ] 232 Ответы и решения 3.02. 2 [(1+ -) — ' — ~1+ -+ -+ -) — + ...
1 1 1 2 41 ... + (-1)""' (1+ — + -+ — + ... + — ) — +,.1. 3 4 '" 2 гп+1 3.03.1+~- ф „",( "„-, ')~«-. 221 В2й «сй 3.102. 1+ ) ( — 1)", )1 = сг. (2й)! й 22йВ й 3.103. 1) 1+ ~ ( — 1)" ««й, Л = сг; 2й(2й)! с сй 2й 2) ~ ( 1)й 2«(2 — 1)В«й сй Д (26)1 3) ~( 1)й 2 (2 — 1)Всй, й=1 2й(2й)г ' 2 ' сс 22" — 2 В ,, (гс — г)В«„„ (2й)! 3104 с„= — ~( ) — ( ) ~ п)О Л= —. Л а — ВЛ аеС вЂ” аГЗВ + (191 — а«)Л 3.105. сс = —, сг =,, сс = а а- ас ас„+ Вс„г+ ус„е + бс -з = 0 (и = 3,4, ...). е "В' О ; А„„г(«) — (2п+ 1 — «)К„(«) 4- п~6 — 1(«) = О (и > 1). 1 — Г «' «Сйсг 4 5 4 5 8 9 4 5 5 9 Ап(еп й1) п(п 4- 1) — 1 ° 2 1 [п(п+ 1) — 1 2][п(п -~- 1) — 3 4] 3.113. «вЂ” «+ « + ... 3! 5! ...+ [п(п-~-1) — 1 2][п(п+ 1) — 3 4]..
[п(я+ 1) — (2й — 1)2й] гйы (2й + 1)! « + +..4 ]«]<1. 3.114.— 1 — «1 ™ 1+ ™(т -21) 21 4! т« (тс — 21),[гп« вЂ” (2п — 2)1] (2п)! 3.116. гс = с'(а,6, с, «) = 1 + — «+ аЬ а(а + 1)Ь(Ь 4- 1) « + ... 1 с 2!с(с + 1) а(а 4- 1)...(а + п — 1)Ь(Ь -й 1)...(Ь + п — 1) «"; ]«] < 1. пгс(с+ 1)...(с+ и — 1) Гаева ХП 233 3.117. Решение. Продифференцнровав гипергеометрическое уравнение, получаем уравнение, которому удовлетворяет функция 4 = — К(а,Ь,с,»): 4'( 4( »(1 — ») —, + ((с+ 1) — (а+ Ь+ 3)») — — (а+ 1)(Ь+ 1)Ь = О. (1) а»з а» 4 Так как функция — г (а,Ь,с, »), будучи производной функции г'(а,Ь,г, »), 4» аналитической в точке » = О,тоже янляется функцией, аналитической в точке » = О, а нсякое решение уравнения (1), аналитическое в точке » = О, должно иметь вид ЬЕ(а + 1, Ь + 1, с+ 1, ») (см.
задачу 3 116), где Ь вЂ” посто- 4 янвая, то — Р(а Ь с») = ИГ(а ч-1Ь+ 1 с+ 1, »). Положив» = О, найдем, 4» что й = аЬ/с. 3.120. 1) 4; 2) 15; 3) 3. 3.121. 1) Нулем порядка л+1; 2) нулем, порядок которого не ниже, чем пйп(1,1): 3) нулем порядка Ь вЂ” 1, если 1 ) 1; правильной точкой., не являющейся нулем, если 1 = 1, и особой точкой, если й < 1. 3.122. Точки» = ~31 — нули 1-го ворндка. 3.123. Точки» = х31 — нули 1-го порядка; бесконечно удаленная точка — нуль 2-го порядка. 3.124. » = Π— нуль 2-го порядка; » = Ьп (Ь = к1, 42, ...) — нули 1-го порядка.
3.125. » = ш2 — нули 3-го порядка; » = 21кг(Ь = О,ш1, ~2,...) — нули 1-го порядка. 3.126. » = 21п (Ь = О, ~1, 42, ...) — нули 2-го порндкэ. 3.127. » = лк — нули 3-го порядка; все остальные точки вида» = Ьп (Ь = О,к2,4:3,...) — нули 1-го порядка. 3.126. » = л/4 ~ Ьл (А. = О, ~1, ~2, ...) — нули 1-го порядка. 3.129. Нулей нет. 3,130. » = 1п (Ь = О, ~1, ~2, ...) — нули 3-го порядка. 3.131. » = Π— нуль 2-го порядка; » = Ьп (Ь = ~1, »2, ...) — нули 3-го порядка.
3.132. » = Π— нуль 3-го порядка; » = ~ъГЬл и» = — 4%т(1 + гчгЗ) 2 (1 = ~1, ~2, ...) — нули 1-го порядка. 3.133. » = (21 + 1) — (Ь = О, ~1, к2, ...) — нули 3-го порядка. 2 3 134»= з (21-'г 1) — и»= з (21+ 1) — (1+1чГЗ) (1=О ~1 ~2 ) —— 2 2 2 нули 1-го порядка. 3.135. » = 4 — нуль 3-го порядка для одной из ветвей. 3,136. Здесь заданы две функции: одна из них имеет нули 2-го порлдка в точках» = 21п ш к/6, другая — нули 2-го порядка в точках» = (21 + 1)п * ~я/6 (Ь = О, ~1, ~2, ...).
3.137. Предельной точкой может быть только бесконечно удаленная точка. Ответы и решения 3.138. 1) 2) и 3) Не существует; 4) существует (/(х) = 1/(х+ 1)). 3.139. 1) Существует (/(а) = хг); 2) не существует. 3.140. Не противоречит, так как точка х = 1 не принадлежит области аналитичности функции. 3.141. Решение.
Из разложении /(з) = ~ с„(х — хо)" следует О «.=о н(х, у) = — + ~ (с„[(х — хо) + г(у — уо)[" + с«[(х — хо) — г(у — уо))"). 2 =1 ( ж ( — го Положив здесь х = хо+ —, у = уо+, где С достаточно близко 2 21 (-" (- к х, получим (обосновать это) и(хо + —, уо + —.) = — [со + М)[ 2 2г 2 заменив С через з, придем к доказываемому Равенству. 3.143. хо+2+ СО 3.144. хе' — г/э+ СС 3.145.
(1+4)х — Зг+ С. 3.146. сбв г — с)г з + С (С вЂ” произвольная действительнан постоянная). 3.153. 2) 2ягЛХ. Глава ГЧ 41. — — ) ( — ) при[э[<2; ~ —, при ф >2. =о «=о 4.2. — „~ ( )( — ) при [х[ < [а!; — ) ( )(-) =о =о при [з[ > )а[. «о 4.3. — + ~ э" при [э[ < 1; — + ~( — 1)"(г — 1)" при О < [з — Ц < 1; о г — 1 =о «=о 1 — приф>1. г =г =о «=о Ь" г — а" О<[э — а[<[Ь вЂ” а[; — ) при)г[>[а); ~ ( + Ь вЂ” а г" а — Ь Ь" «г =г »=.о а" + —,) при )а! < [з) < [Ь[.
1 . (2 + г)" +г — (2 — о)" 4.5. + г ~ (-1)", (х — 2)" при О < [з — 2[ < г/з: ~=о 2 ~( — 1)" —, — ~ „, при 1 < [х[ < 2. г «=о 4.6. — — +) при О < [з — г[ < 2; г 1 (гг 4 3)о (о — г) 4(г — г) 4(о — г)г 2«ж =о ( — 1)" — при [х[ > 1, 1 236 Ответы и решения 4.16. — + ~ (-1) — л, где Вг„— числа Бернулли (см. зада- 1 а 2™Вг га-! г (2я) ! чу 3.100), при 0 < )л) < 2а-, — + 2 ~ — + ) ~( — 1)" — г" + — 1ег" г ы ~ (2п)! „г =1 =1 при я < )г) < 2гг. Ь" — а" 4.17.
~ при )х) > шах()а),)Ь)). е=! с- . Г гь, 2г" г 2г" ! ( — 1)"в!21 4.18. г:", где с-ш = — г(2 ь ! — + — — "+ 3 5 25 — 1 сО еа г с — ! с ! ьеп = 2с гг (Ь = 1,2, ...), при (г) ) 2; !агсг8 — ~ — + ~:, где 2 2" гп =е а=! с ! = 2!агсг8 —, с гь = 2 ьг асс!8 — — ~ -,, с !ыгп = 2с-м (-1)"' ~- (г ж цвг =а (й = 1, 2, ...), при 1 < !г) < 2.
4.19. 1) Да; 2) да; 3) нет (точка з = 1 не янляется изолированной особой точкой); 4) нет; 5) нет, 6) нет; 7) нет; 8) яет (в любом кольце, окружающем точку г = О, функция не являетсн непрерывной); 9) нет; 10) ла; 11) да, если о — целое число илн нуль; нет во всех остальных случаях. 4.20. 1) Нет; 2) да, разложение допускают обе ветви; 3) пет; 4) да, все три ветви допускают разложение; 5) нет; 6) разложение допуска- ют две ветви (из четырех), определнемые условиями;/1 ф г/1 = шг/2; 7) нет; 8) нет; 9) нет; 10) да, развожение допускают все шесть ветвей; 11) нет; 12), 13) и 14) да, любая из ветвей допускает разложение; 15) нет; 16) нет; 17) разложение допускают все ветви, кроме двух, определяемых значением Ассе!в (г/2/2) = я/4.
4.23. х = О, г = ш1 — полюсы 1-го порндка, е = со — правильная точка (нуль 3-го порядка). 4.24. г = (1 ш !)/г/2, з = ( — 1 ш !)/г/2 — полюсы 1-го порядка; г = сов правильная точка. 4.25. г = 1 — полюс 2-го порядка; г = оо — полюс 3-го порядка. 4.26. з = 0 — полюс 1-го порядка; г = ш2! — полюсы 2-го порядка; е = со — правильная точка (нуль о-го порндка). 4.27. г = ш! — поаюсы 1-го порндка; г = оо — существенно особая точка, 4.28.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
