Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 35
Текст из файла (страница 35)
26л 1.3. « = сов я«+ з в!и взь, где сз« = —, /с = О, 1, ..., п — 1; « = О. и 1.4. 1) 1, — — я — ; 2) ш — + †, -з; 3) я — (1 + з),я — (1 — з); оЗ зс/3 «,Гг ., г 2 2 2 2 2 2 4) ~ — (Л+ '),~ — (Л- ),~/2«; с/2 . с/2 2 2 5) +! ~ з, ~ — (1 + з). ~ — (1 — з); Л . мй 2 2 6) ~ — (1/~2+ 1 — !Ь/Г2 — 1)' 7) ~(2+ з) 2 8) /2~со (26+3/4)л .. (26+3/4)л| (/с = о 1 2). 9) ~з«5 ~сов (21с Е 1)л — агсгп (5/4) .. (2/с +!)х — агсзб (3/4) ~ + з'в!п 5 5 (1=0,...,4) вппЬ=! при Ь>О, вбп Ь = -1 при Ь < О. ) впп 6 означает символ Кроиекервс 26« ..
26«1 1.15. «ь = «з(сов — + зяп — ) (Ь = 0,1,2,...,п — 1). 2л .. 2«! 1.16. «з = «з+ («с — «з)(сов — я з'в!и — г!. 1.17 «с = «! -1- «з — «ь и «з — «з 1.18. Отношение должна быть действительным числом (условие «з — «! необходимо и достаточно), «з — «з «з — «з 1.19. Ангармоническое отношение («з, «з, «з, «4) = должно «! — «с «з «4 быть действительным числом (условие необходимо и достаточно).
Глава 1 2О5 1.20. Р е ш е н и е. При доказательстве можно считать (не нарушая общности), что прямой, о которой идет речь, является мнимая ось и что все рассматриваемые точки находятся справа от нее (в противном случае следует умножить все ль на некоторое число вида сов се Ч-гэ!во), Тогда очевидно, что Вель > О и Ве(1/зл) > О при любом к. 1.23. Внутренность круга радиуса К с центром в точке з = зе, внешность этого же круга; окружность того же круга. 1.24. Эллипс с фокусами в точках л = ш2 и большой полуосью 5/2. 1.25.
Внутрснвость левой ветви гиперболы с фокусами в точках г =+2 и действительной полуосью 3/2. 1.26. Прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему точки з~ и зз, и проходящая через середину этого отрезка. 1.27. 1) Прямая х = С и полуплоскость, расположенная справа от нее; 2) полуплоскость, расположеннан снизу от прямой у = С. 1.28. Полоса — 1 < у < О. 1.29. Внутренность угла (содержащая положительную часть действительной оси) с вершиной в начале координат и сторонами, образующими с действительной осью углы, равные соответственно о и Д внутренность такого же угла с вершиной в точке эе. 1.30.
Парабола у' = 2х ж 1. 1.31. Полуплоскость, ограниченная прямой х ф у = 1 н содержащая начало координат. 1.32. Прямая, проходящая через точки щ и зз (из которой исключена точка л ); окружность, диаметром которой служит отрезок, соединяющий точки з~ и лз (из которой удалена точка х ), 1.33. Внутренность окружностей )л — ~) = ч'2 и ~л -Ь г) = ч'2, за исключением их общей части. 1.34.
1) Внутренность области, ограниченной отрезком О < х < 2х действительной оси н одним витком спирали Архимеда г = ф; 2) множество точек, определенное в п. 1) и дополненное интервалом (О, 2э) действительной оси. 1.35. 1) Семейство окружностей, касающихся в начале координат мнимой оси, и сама мнимая ось (уравнение семейства: С(х + у ) = х); 2) семейство окружностей, касающихся в начале координат действительной оси, и сами действительная ось 1.36. 1) Семейство гипербол х~ — у = С; 2) семейство гипербол ху = С/2. 1.37. Каждая линия — окружность, являющаяся геометрическим местом точен, отношение расстояний которых от точек з и ш постоянно (окружность Аполлонин относительно точек щ и ль 1.38. Семейство дуг окружностей с концами в точках з~ и зз (в это семейство входят также два прямолинейных отрезка с концами в точках з~ и эз, один из этих отрезков содержит бесконечно удаленную точку).
1.39. 1) Каждан линия — геометрическое место точек, произведение расстояний которых от точек э = — 1 и л = 1 постоянно (лемниската с фокусами л = ж1). При Л > 1 линии семейства — простые замкнутые кривые, 20б Ответы и решения при Л < 1 они распадаются на две простые замккутые кривые, которые при Л -2 0 стягиваются к точкам т1. При Л = 1 имеем лемнискату Бернулли; уравнение ее в полярных координатах г2 = 2 сов 222, 2) Лемнискаты с фокусами в точках х1 и зз, где х1, хз — корни уравнения ~!22 21~ хз+ ах ф Ь = О. Лемнискаты состоят из одной линии, если Л ) ! ( г (22 — 2!( )22 — 2!) и из двух, если Л < 2/ .
При Л = !/ — имеем лемнискату Бер- 2 1/ 2 2! ж 22 нулли с двойной точкой 2 1.40. 1) (х),е.„= — (Чае+ 4+ а), )х)„„„= — (1/а!+ 4 — а); 2 2 2) )2)„!„= — (-,/а' -~- 4)Ь( -~- а), !х!„а, = -(;/Ы -2- 4)Ь~ — а). 1.41. Спираль Архимеда г = 22. 1.42. Логарифмическая спираль г = ее. 1.43.
1) я; 2) —; 3) 2я; 4) я; 5) О. 3 ' 1 44,5=,, б=, „, С=; з=х+ !у= ~™. х2 -!- П1 ж 1' х2 ж Вз -2-1* х2 ч В2 ж 1* 1.45. (1/2, О, 1/2), ( — 1/2, О, — 1/2), (О, 1/2, 1/2), (2/2/4, - 1/2/4, 1/2). Все четыре точки лежат на экваторе, долготы их соответственно рав- ны О,я,я/2, -х/4 (долгота отсчитывается от начального меридиана, лежа- щего в плоскости с, С). 1.46. Окружность радиуса 28 ()2/2 + я/4) с центром в точке х = О. "Юж- ному" полюсу саотаетствует начало координат, "северному" — - бесконечно удаленная точка. 1.47. 1) Полумеридианы с долготой еб 2) параллели с широтой /) = = 2 а!с!8 2 — х/2.
1.48. 1) Диаметрально протиаоположные точки на одной параллели; 2) точки, взаимно симметричные относительно начального меридиана (т. е, с отличающимися по знаку долготами); 3) точки, взаимна симметричные относительно плоскости экватора (т. е. с одинаковой долготой и с широтами, отличающимися знаком). 1 "19 з1 з2 = — 1. 1.50. При повороте сферы на 180' вокруг диаметра, параллельного действительной оси х-плоскости. 1.51. 1) Восточное полушарие; 2) западное полушарие; 3) полушарие -я/2 < а < я/2; (о — долгота); 4) полушарие х/2 < (22) < я; 5) южное полушарие; 6) северное полушарие.
1.52. Семейство окружностей, касающихся друг друга в "северном по- люсе" (полюс проекций); прямой, проходящей через начало координат, со- ответствует большая окружность, а прямой, ей параллельной и отстоящей от начала координат на расстояние И, — окружность, лежащая в плоскости, наклоненной под углом агс$822 к меридиональной плоскости. 1.53. Прямым соответствуют окружности, проходящие через "север- ный" полюс. глаза Х 207 1.66.
)гг», а) =; )г!», оо) = ,/1 -/- )»)гг/! + )ар г/! + )»)7~ , — », ) з/! -~- )»г~з 1.57. Окружность Аполлония ~ — ~ =, в частности, пря.—.~~ =,! р,р' мая )» — »1) = ~» — »г~, если )»1) = )»БЬ и окружность )» — »1! = ф+ )»1)з, если гя = со. 1 69 1 е»гг — и з/2с 74 /2с- 1 г/2ез !4 г/2е-з 174 1.60. хг; г — 1)1 1.61. ез, 1; е', — 3; ез,4 — 2л; е з,2л — 4; а,гз — л,еслизз)0, о — 47 и х+ гг, если гр ( О; 1, -аг, если )зз) ( л, и л, если (Зз) = гг; 2яп —; 2 а -г- г9 -г- л о+ 47 — Зл , если а+13( л, и , если о -Л 13 > л.
2 2 (и -г- !)х их !и -г- 1)х их яп СОЗ вЂ” Зг П 2 2 2) 2 2 3) яп2их 4) яп пх Бги— Б!п— 2Б!пх ' япх 2 2 !и -г- ! )х их (и+ !)х их яп, соз— СОЗ Б1П— 5) , если и — нечетное число; соз— соз— 2 2 если и -- четное число. и+! и -~- ! Бса 6 яп — гз 1.63. 1) соз (а+ — ); 2) 2 яп )а+ — ). яп— яп— 2 2 1.67. 1) яп» = яп гх -г-гу) = япхсЬу -г- гсозхзЬ у, гг - . г„— гг *гг,~. ~-,~й „3*; .згизт —: —, 3) гб» =, ',, )464 = соз 2х -г- сь 2у спз 2х + сЬ 2у с.г.-.г* - ° г- °, гг.~-,ггг +.Рг,: гг .г. = г* - Бг г, гг4 =,Бг' -+ .*г! * ° гя б) »Ь» = сЛ2х+соз29 ' сЛ2»+соз2у яп4 — гБЛ2 $-з- !51 1.66.
1) соз2сЬ1 — зяп2БЬ1; 2) гБЬ2; 3) „; 4) 2(созг 2+ БЬ !) !7 БЬ4 — гяп2 40-';91 сЛ 4 — соз 2 41 1.69. 1ше' = О, если 11п» = йл; Кее* = О, если 1гп» = 1274+ 1)гг/2; 1ш соз» = О, если Ке» = йл или 1ш» = О; Ке соз» = », если Ке» = !2й+ +1)гг/2; 1пг зш» = О, если Ке» = 121+1)гг/2 или 1ш» = О, Ве яп» = О, если Ке» = йл; 1шзб» = О, если 1ш» = О; Ке!6» = О, если Ке» = йл/2; 1пг сЬ» = О, если 1пг» = йл или Ве» = О; Ке сЬ» = О, если 1пг» = 12)г + 1) л/2; 1пзсзЬ» = О, если 1ш» = 7гл/2; ВесзЬ» = О, если Ве» = О, Везде )г — целое число !й = О, я1, х2, ...). 1.70.
1) Ке» = — -г- —; 2) 1пг» = — + —. 4 2 4 2 293 Ответы и решения 1.Т1. 1) !п4+ 2)сггс, (2й+ 1)лс, зс; 2) (2й+ -/слс, —; 3) (2й ш -)слс; 11 . лс / 11 г' 31. ! Г 31. 4) — !п13+ (2йл — агсгб-)14, — !п13+ [(2й+ 1)л — эхо!8 — ~ г, 2/ ' 2 2] 1.72. Множество значений 2 Вп з составляет лишь часть множества значений !п (х') (см. (1, гл.
111, п. 19]). 1.73. 1) 4з-! 2) — 2сг; 3) О; 4) 4гг. 1.74. 1) соз(2йь/2 л) + г'е(п(2йт/2 л); 2) 2~(сов(2й+ 1)лх/2+ сзш (2й+ 1)лг/2]; 3) е'" (соа(п2+сяп!п2); 4) е "', 5) еп" Ог!; 6) ег ""/с'; ч'2 7) бг""гнгги '[соз (!п5 — агсгб — ) + !а!п (!пб — агсгб — )]; 8) — 5е'"'сс гцы ьс ! ![соз (!п5 — асс!8 — ) + сяп (!п5 — агссб — )]. Везде й — целое число (Гс = О, ш1, ш2, ...) 1.76. Множества значений аг" и (а )' совпадают между собой, но не совпадают, вообще говоря, с множеством значений (а ); общий случай, когда показатель степени 2 заменен произвольным комплексным показателем,З, рассмотрен в [1, гл.
П1, и. 20]. 1.80. 1) !шАгссозх = 1шАгсзшх = О, если — действительное число и ]х] ( 1; 1ш Асс!8 х = О, если х — действительное число; 2) Ве Ага)г х = О, если х -- чисто мнимое число и ]х] ( 1. 1.81. 1) — +2йз, — +2йл; 2) 2йсгя —; 3) 2йляс!п(2+т/3); б б 3 4) 2йл — с(и(х/2 — 1), (2й+ 1)л — с!п(ь/2+ 1); 5) — ![асс!8 — + (21+ 1)л~ 4- — !п 5; 2! 2 4 6) !п(ь/5 ш 2) + (2й я — )ггг; 7) — !п5-!- [-зхсг82 4- (й я -)л]г.
Всюду й — целое число (й.= О, ш1,*2, ...). 1.82. 1) з = — +2йл — г!п(т/2~1); 2) з = — +2йл — с!п Зй ьг7 4 ' 4 чг2 л ъ'3 — 1 Зл Л+1 3) х = — + 2йл — с'!п 4 ч2 4 и з — „. — — + 2йгг — г!п ъ'2 4) з = 2Ьп'; 5) х = — !п2+ (2й+1)лГ; 6) х = (2!с + — )лс и х = — !п 3+ (2й — — ) лс1 2г / ~ 2! Всюду й — целое число. 1.83. 1) з = йгг(1 ~ с); 2) х = йз.(1 4- г) и з =; 3) х = (2й -1-1)л (4й+ 1)л 1 -1- с ' 2(1 -1- 2с) (4й — 1)л их= , Всюду й — целое число. 2(1 — 2с) 1.96.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
