Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 31
Текст из файла (страница 31)
е. каждый такой контур является проводником). Коли а — полюс т'(х) и ю вблизи а имеет разложение с р1 1 вз(х) = „+ ... + — + 2д11п — + со+ сь(г — а) + ..., (э — а)" х — а э — а 1 то член 2д11п — определяет в точке а плоский точечный заряд э — а величины р = 2д, обозначаемый (а; 2у) (в пространстве на единицу длины прямолинейного проводника, перпендикулярного к г-плоскости в точке а, приходится заряд у); член р1/(х — а) определяет в точке а диполь с моментом р, обозначаемый (а;р) (р — комплексное число; аргумент р определяет направление оси диполя); остальные члены с ь1(х — а)ь (й = 2, ...,и) определяют в точке а мультиполи порядка 2)ь.
Соответственно, если на со зв(х) = с„х" + ... + рйх + 2уь' 1п х + со + + ..., то член 2у11пл определяет на оо плоский точечный заряд величины р = 2д, член р1х — диполь с моментом р. Гл. Х. Прияозкения к механике и физике Если функцию ш = и+во рассматривать как комплексный потЕНЦИап ЗЛЕКтРОСтатИЧЕСКОГО ПОЛИ Е = — 1Шг(З) И ОДНОВРЕМЕННО— течения жидкости со скоростью Ъг = шг(з), то это приводит к следующей злектрогидродинамической аналогии: Течение жидкости Электростатическое поле Потенциальная функции Эквипотенцивльные линии функция тока (может быть многозначной) Ликии тока Расход жидкости Силонвя функции Силовые линни Потенциальная функции (всегда однозначна) Эквнпотенциальные линии Разность потенциалов Поток Ж = )г Е„сга Точечный заряд (а;2д) П = Гг'лп и = сопа1 а = сопвс с — сг ~Ни Циркуляция Г = ~ ггл г(л Вихрь (о; Г) Источник Диполь с моментом Ргг(2хг) Поле с заданными зарядвмн.
диполями и зкеипотенциазьными граничными линиями диполь с моментом р Обтенание с заданными вихрями и диполями Н задачах 10.64-10.71 по заданным комплексным потенциалам ш(л) требуетсл определить силовую и потенциальную функции, напряженность поля, характер особенностей (в том числе и на со), а также построить схематически семейства силовых и зквипотенциальных линий (г) — действительное число).
Сравнить с решенилми задач 10.1-10.14. 10.64. ш = сз (с = сх + 113). 10.65. ш = 2г)1 )и —. 1 10.66. ш = 2г)г!и —. 10.67. ш = 2г)г(и(зз — зз) (о > О). л — 6 10.68. ш = — (р = (р(е' ). 10.69. ш = дш —. 1 10.70. ш = ргз + 2дг' )и — (р > О, г) > О). л 10.71. ш = ргв+2з~~г г)ь)и 1 (р > О, дь > О, ог ( аз < ... з — аь ... <а„). а=1 10.72. Найти закон изменения точечного заряда (а;2г)) и диполн (а;р); 1) при однолистном конформном отображении; 2) при продолжении по принципу симметрии через прямолинейный или круговой участок эквипотенциальной линии.
Эк. Приложения к электростатике 183 10.73. Показать, что комплексный потенциал электростатическо- го поля, образованного точечным зарядом (а;2д) в произвольной од- носвязной области Р, определяется формулой 1 ш = 2дг1п — + с, Пэ,и) где 1(з,а) — функция, конформно отображающая область Р на еди- ничный круг так, что 1(а, а) = О, и с — действительная постоянная. Установить связь между потенциальной функцией и(з) и функ- цией Грина области .Р (см.
задачу 7.36), В задачах 10.74-10.80 пользуясь результатами задачи 10.73 или принципом симметрии, найти комплексные потенциалы электростатических полей, образованных заданными точечными зарядами н указанных областях. 10.74. В верхней полуплоскости 1шэ > О, зарядом (хо,24). 10.75. 1) В круге ф < Л, зарядом (го,2е); 2) во внешности круга ф > Л, зарядом (хо,.2о). 10.76. Во внешности эллипса — + — ' = 1 зарядом (оо; 2д). пэ иэ Ьэ 10.77. Во внешности отрезка )х! < Л, у = О, зарядом (со;2д).
10.78. Во внешности квадрата )х( < 4, (у! < 4, зарядом (со;24). 10.79. В прямоугольнике (х! < а, 1у! < Ь, зарядом (О;2о). 10.80. В прямоугольнике 0 < х < 2а, 0 < р < 2Ь, зарядом (хо, .24). В задачах 10.81-10.85 построить электростатические поля, образованныс заданными диполями.
10.81. В круге ф < Л, диполем (а:р). 10.82. Во внешности круга ф > Л, диполем (а;р). 10.83. Во внешности отрезка (х! < Л, у = О, диполем (оо;р). 10.84. Во внешности эллипса — + — = 1, диполем (со;р). х и аэ Ьэ 10.85. В прямоугольнике )х( < а, (у/ < Ь, диполем (О;р) (рэ'= ре' ), 10.86. Доказать, что электростатическое поле, образованное диполем (а;р) в произвольной односвязной области Р, определяется комплексным потенциалом ш = Г'(х), где функции 1(з) отображает область Р на внешность горизонтального отрезка так, что р(а) = оо, и главнан часть 1(з) в точке а равна †, если а ф со, и 1кз, ест э — а лн атос.
Найти 1(з), если известна функции 1(г), отображающая область Р: 1) на внутренность единичного круга, если а~со, причем т(а) = =О, 6(а)>0; 2) на внешность круга !С! > Л, если а = оо, причем е(оо) = оо и Ь'(со) = 1. 1В4 рз. Х. Приеекзеник к механике и физике 10.87. В односвязной области Р построить электростатическое поле, образованное точечными зарядами ((азб2дь)) (к = 1,2,...,п) и диполем (а;р).
Пусть д((', з) — функция Грина области Р (см. с. 127), граница которой Г состоит из кусочно гладких простых контуров Гы Гз, ..., Г„; пусть, далее, и — внутренняя нормаль к Г и обход Г совершается в положительном направлении по отношению к Р. Если и(з) — функция, гармоническая в области Р и непрерывная на Г, то из формулы Грина следует 1 дд(ь,з) и(з) = †/ и(~) ' з(е г г Если область Р содержит бесконечно удаленную точку и функция и(з) в ней гармонична, то к правым частям приведенных формул надо добавить и(со).
При этом в окрестности бесконечно удаленной точки функция Грина д(з,оо) может быть предстанлена в виде д(з, оо) = 1п1з~ + 7 + о( — ). !4 ' Величина 7 = !пп [д(з, оо) — 1п Щ называется постоянной Робена замкнутого множества, представляющего дополнение Р на з-плоскости; величина е л называется емкостью этого множества.
10.88. Доказать следующие утверждения (и — внутренняя нормаль): 1) д(з,а) = 1п — — Г ' 1п — Ие, если а ~ оо; 1 1 г дд(С,а) 1 !з — а) 2л дп (~ — з! г 2) д(з,оо) = г — — / ' 1и зЬ, если еЕР и область Р 2к.Г дн (~ — г( г содержит бесконечно удаленную точку; 3) — ЗГ ' 1п — ~Ь = 7, если з ф Р и область Р соДеР- 1 г дд(~, оо) 1 2л l дн г жит бесконечно удаленную точку; 4) — зг д ' не =1, если а ф- оо или если а = со б Р. г Указание. В п.
1) воспользоваться свойством симметрии функции Грина д(~,з) = д(з,() и интегральным представлением гармонической функции по ее граничным значениям. В и. 2) воспользоваться интегральным представлением гармонической в Р функции 93. Приложении к электростатике 1аа 1п~Ы вЂ” л(+д(ь,со) -д(ь,оо), предельным переходом и свойством симметрии д(сю, г) = д(г, оо). В и. 3) — то же, но исходя из функции 1п(~ — л) — д(~,оо) л). Функция 1 оо(л) = 291п— )л — а) называется логарифмическим потенциалом точечного заряда (о; 2д). В расширенной г-плоскости оо(г) представляет логарифмический потенциал двух точечных зарядов: (а; 29) и (оо; — 29).
Пусть контур Г удовлетворяет условиям, указанным на с. 190, а р(1,) и и(с,) действительны и непрерывны на Г. Интеграл о(г) = ~р(ь) 1п аз г называется логарифмическим потенциалом простого слоя с плотностью обложения р(1,) (в пространстве ему соответствует потенциал заряженной цилиндрической поверхности с основанием Г и поверхностной плотностью зарядов —, т. е. несущей заряд — дзз на квадрат- 2' 2 ной площадке над Ыл). Функция и(г) — непрерывная в конечной г-плоскости и гармоническая всюду вне Г, кроме точки г = оо, где она имеет логарифмическую особенность и(г) = — 291п ф + о( — ), 2д = ~р(Г) ~Ь И (это означает, что потенциалу и(г) соответствует зарнд (со; — 29)).
Интеграл и1(г) = /и(~) — 1п дл д 1 г называется логарифмическим потенциалом двойного слоя с плотностью обложения и(() (на Г распределены диполи с осями, направленными вдоль заданного направления нормали и к Г, внутренней, если Г ограничивает область; и(() — плотность распределения моментов диполей). Если д(~, г) — угол между и и вектором, идущим из Ч в г, а ачз(Ь, л) — угол, под которым виден элемент дуги дл из г то (л)=/ (ь) ~ ' л=~ ФдЯ,г) л) Смл Нева клинив Р. Однозначные аналитические функции.— Мл Гостелиздат, 1941.— Гл. т', 1 2.
18б Г*.Х. Прилоясения к механике и физике В частности, для замкнутого контура Г и р(~) = 1 ( 2я, если х внутри Г, — 1и — ~Ью ( зг, если х на Г, г ~» ~~ О, если х вне Г (см, также задачу 7.34). Функцию Грина д(х, о) области Р можно рассматривать как потенциал электростатического поля, образованного точечным зарядом (о; 1) при заземлении границы Г области Р. Задача 10.88, 1) показывает, что в случае а ф оо заземление Г эквивалентно размещению на Г заряда с плотностью обложения р(Ь) = — — ' . При 1 дд(С,а) 2п дк этом, согласно и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
