Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Параллелограмм с вершинами ге, за+ 2ы,гв+ 2вз',ге+ 2ш+ 2вз' (ге — произвольная точка) называется параллелограммом периодов. Если Г"(г) — отличная от постоянной эллиптическая функция, то она обладает следующими свойствами (теоремы Лиувилля): 1) 7(х) имеет по крайней мере один полюс в параллелограмме периодов; 2) сумма вычетов функции г'(х) относителько всех полюсов, расположенных в параллелограмме периодов, равна нулю; 3) уравнение 7(х) = а имеет в параллелограмме периодов одинаковое число корней для любого комплексного числа а, конечного или бесконечного (это число корней называется порядком эллиптической функции); 4) разность между суммой всех нулей и суммой всех полюсов функции 1(х), расположенных в параллелограмме периодов, равна некоторому ее периоду, т.
е. ок — ~~~ (дь = 27звз+ 2ивз' (р и и — целые числа). Сигма-функцией Ввйврштрасса называется целая функция а(х) = х П (1 — -) е'7пч' Иго ~ (6) где зз = 2пиз+2твз' и произведение распространено на все 11, отличные от нуля. Функция сг(х) нечетная. ,Дзота-функцией Ввйврштрасса называется мероморфная функция (7) где суммирование распространено на все Й, отличные от нуля. Функция 1,(г) нечетная. б д Приложения и гидромеганиие 177 Функция Вейерштрасса р(г) с периодами 2ы и 2и!! (см.
с. 167) связана с т,(з) соотношением р(з) = — т,'(г). Так как Цг + 2и!) — Цз)]' = (з(г) — ез(г + 2ш) = О, то !,(г+ 2ш) — !,(з) = 2п Дз + 2и!') — !,(з) = 2т/, н, аналогично, где и и т/ — постоянные. Пользуясь нечетностью функции !,(г), легко показать, что П = т',(ит) и т/ = ь(ит'). Величины т1, т/, и! и ит' связаны соотпношением Лежандра язз — и оз = я1/2.
Обозначим ! ! П=цт, П =т1з и б+П =Ъ, ! ! Ш=Ш1, ит =итз и ш+ш =шз. Функции п1(г) определяются соотношениями пг(г) = — еи"' (Ь = 1,2,3). и( ь) (8) Соответственно ьг( )=— пь( ) пт„. (г) Функции пь(г) связаны с функцией Вейерштрасса р(з) и функциями Якоби епз, спг, йпз следующими формулами: аь(г) п(г) ' зтз(г) пз(г) спи = —, Йпи = —, !тз(г)' пз(г)' (10) ,— — — п(г) зпи = зте~ — ез— о'з(г) (11) 12 П.И. Волкоеыский и яр. где и = г~/е~ — ез и еь = 1з(ить) (см.
с. 167). При помощи п(г) и т,(г) можно выразить любую эллиптическую функцию. Если Дг) имеет в параллелограмме периодов только простые полюсы Ьь с вычетами Аь (Ь = 1, 2, ..., и), то и /(г) = ~ ~А1Дз — Ьь) + С. (12) Ь=1 Если Дз) имеет в параллелограмме периодов нули аь и полюсы Ьь (Ь = 1,2, ..., п), каждый из которых пишется столько раз, какова его з"я. Х.
Приложения и механике и физике 1Т8 кратность, то ( ) = С а(х аг)а(х аз)"'а(х а") а(х — Ь;)а(х — Ьз).. а(х — Ьн) ' (13) где Ь; = ~~~ ае — ~~' Ьь. Ь=з Тета-функциями Якоби называются функции д („), ~,- ( Ц ) -з/2)',)2 -4).4. л= — ее ее ( — 1)"г/~е4 г/2) 8)п(2п+ 1)ко, дз(и) = дг(и+ -), дз(о) = г) ' е 4"дг(о+ — + -), д4(о) = -зг) / е 4"дг (о+ -), (Рб) где 4) = е'", т = из'/га. Тета-функции связаны с сигма-функциями соотношениями вида гг(х) 2г ~геЯ~з )/)2аг) ( ) ~0) ' (16) и (х) = сгегз )/г~ ') ии (з = 1,2,3), д',,(0) (17) 10.47.
Показать, что функция /(и) = — г,(и — а)+ Си является М 2к комплексным потенциалом двоякопериодического течения с одним диполем (гз;М) (з)з — момент диполя) в параллелограмме периодов. рассмотреть, в частности, случаи; 1) гг = 0 и линии 1ши = ж1зпез' являются линиями тока; построить схематически линии тока и эквипотенциальные линии; исследо- где х = 2ыгш Преимущества тета-функций заключаются в быстрой сходимости рядов, их определяющих. Пользуясь формулой (16), представление (13) можно записать в виде Л4 . (-.:) ( —.:) '('.:-) '(' ")'( — ',.') '(',.') Пользуясь формулами (11), (16) и (17), можно записать выражения для функций Якоби апх, сох, г)ох через тета-функции. В дальнейшем предполагается, что иг — действительное число, иг' — чисто мнимое, т. е. параллелограммы периодов являются прямоугольниками.
д1. Приложекик к гидромолакике 179 вать конформное отображение, осуществляемое функцией 1 = 1(и); 2) Г(и+ 2ы) = 1(и); построить схематически линии тока и эквипотенциальные линии, исследовать конформное отображение г =,г'(и). 10.48. Показать, что течения, определяемые комплексными потенциалами ~ь(и) (1 = 1,2,3), сводятся к течениям задачи 10.47 (при С = 0) с помощью сдвигов в плоскостях и и ~.
Указание. Воспользоваться формулами (8) и (9). 10.49. Показать, что течения, определнемые комплексными потенциалами д~( — )/дг( — ) (к = 1,2,3,4) и Я(и) (см. с. 165), сводятся к течениям задачи 10.47, 2) с помощью линейных преобразований. 10.50. Показать, что течение, определяемое комплексным потенциалом Е(и) (см. с. 165), с помощью линейных преобразований сводится к течению задачи 10.47, 1). У к а з а н и е. Доказать предварительно соотношения Е е~ ы К = (ег — ез)ы и — = + —. г7. К е — ег К 10.51.
Найти комплексный потенциал 7(и) двоякопериодического течения с двумя днполями (онЛХ), (д; Х) в параллелограмме периодов. Выяснить, в каком случае функция .7(ц) будет эллиптической и линии 1гпи = ~1ты', Неи = ~го будут нвляться линиями тока и зквипотенциальными линиями (или наоборот); построить схематически линии тока и эквипотенциальные линии. В задачах 10.52 — 10.54 исследовать двоякопериодические течения, определяемые заданными комплексными потенциалами 7(и). 10.52. зп и. 10.53. сп и. 10.54.
Йп и. 10.55. Найти комплексный потенциал г(и) двоякопериодического течения с двумя вихреисточниками (сб Я, Г), (д; — Я, — Г) в параллелограмме периодов. Рассмотреть, в частности, случаи гг = О, сг = ы, сг = ы + Оl' и Д = ы'. найти вид функции г(и), удовлетворяющей условию 1(и+ 2ы) = = 1(и). В задачах 10.56 — 10.58 исследовать течения, определяемые указанными комплекснымн потенциалами 1(и). 10.56. 1) 1п ап и; 2) 1п сп и; 3) 1п бп и. 10.57. р(и). 10.58. 1пдл(и) (и = —, й = 1,2,3,4). Для построения комплексного потенциала 1(г) в двусвязной области .0 ее обычно сначала конформно отображают на круговое кольцо Н; р < ф < 1 (гг = 1/р — модуль Р); кольцо Н с радиальным раз- 12* 1ао Гл.
Х. Прилолеения к мезонине и физике ревом [р, Ц при помощи функции 1 = е "'г отображается в свою очередь на прямоугольник с вершинами О, 2о~, 2ы+ иг', ьг' в и-плоскости м~ 1 1 так, что края разреза переходят в боковые стороны и т = — = — 1п —. ы л р Характеристики течения в прямоугольнике определятся по методу решения задачи 10.18. Так как основания прямоугольника являются линиями тока, то течение продолжается через них по принципу симметрии (см. задачу 10.20), после чего определяется комплексный потенциал Ф(и) получающегося двоякопериодического течения с периодами 2ы, 2ьг', тогда Г(з) = Ф[и(з)] (см. книгу Л. И.
Седова, указанную на с. 169). 10.59. Найти комплексный потенциал течения: 1) в круговом кольце П; гь < [л[ < гз, с циркуляциями Г вдоль граничных окружностей; 2) в произвольной ограниченной двусвязной области Р ") с циркуляциями Г вдоль граничных контуров; 3) во внешности двух кругов, лежащих вне друг друга, с циркуляциями ~Г на граничных окружностях при условии Ъ' = О; 4) в двусвязной области Р, содержащей бесконечно удаленную точку, с циркуляциями ~Г вдоль граничных контуров при условии Ъ' = О.
10.60. Построить течение в круговом кольце В: р < [д[ < 1, образованное диполем (опр) (р < а < 1) и обтекающее без циркуляции граничные контуры. Исследовать отображена 1 = ~(з) и построить схему расположения линий тока. Указание. Воспользоваться решениями задач 10.18, 1) и 10.51. 10.61. Построить течение в двусвязной области Р, содержащей бесконечно удаленную точку, обтекающее без циркуляции граничные контуры и имеющее на со скорость Ъ' = 1ге'". 10.62. Построить течение в круговом кольце В: р < [л[ < 1, образованное диполем и квадруполем, находящимися в точке л = 1, и обтекающее граничные окружности без циркуляции.
Построить линии тока и исследовать отображение 1 = 1(з). Рассмотреть, в частности, случай одного диполя. Указание. Записать комплексный потенциал 1(г) в виде ,г(з) = + — + со + с1(л 1) + ... 1)л (л Ц и выяснить, какие значения с з и с 1 возможны. 10.63. 1) В круговом кольце В: р < [з[ < 1, построить течение, образованное вихрем (а; Г) (р < а < 1) и обтекающее граничные окружности с циркуляциями Гг (по окружности [л[ = 1) и Гз (по окружности [л[ = р). Можно ли произвольно задавать Г, Гы Гз? Рассмотреть, ) Здесь и в дальнейшем предполагается, что функция, отображаклцая область 11 на кольцо, известив. Ву.
Приложения к элвктровтатвкв 1В1 в частности, случаи Гз = 0 и Гз = -Гы Исследовать отображения, осуществляемые функциями 1 = г(з), .У'= ез"ьь1г в первом случае и функциями 1 = 1(х), .У"= е ькн1~ и в = т/У:Ур (.Уо — — — е~ '"ь1г, где фо — значение фУнкции тока в кРитической точке) во втором случае. Построить в плоскости и линии тока и эквипотенциальные линии. 2) В двусвязной области Р, содержащей бесконечно удаленную точку, построить течение, обтекающее граничные контуры с циркуляциями Гь, Гз и имеющее скорость Ъ' = 1'е' . З 2. Приложения к электростатике Плоское электростатическое поле с напряженностью Е = Е„+ +1Е„= Ее' характеризуется аналитической функцией в(з) = и+ 1о, называемой комплексным потенциалом; о называется потенциальной функцией (она всегда однозначна!), а и — силовой функцией.
Линии в = сопвФ вЂ” эквилотвнциальныв линии, а и = сопв1 — силовые линии поля. При этом Е = — атвь1о = — гщ (х), Е = 1ю (х)(, о = — — — агбю (з), 2 до ди дв ди Е Еэ дх ду' " дд дх' Во всех задачах этого параграфа, где речь идет об электростатических полнх в областях, ограниченных одним или несколькими граничными контурами, предполагается, что вдоль каждого простого контура потенциальная функция постоянна (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
