Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 27
Текст из файла (страница 27)
— расстояния между разрезами, идущими в одну сторону. При этом точка Ао переходит в оо, А > 0 и?гпВ = ~~ 1, л=! Точки Ь; (! = 1, 2, ..., п) и !?, (в = 1, 2, ..., тп) на оси х, соответствующие вершинам В;, и ?)„явля!ется корнями уравнения а ~п (О) ь=! !'=! Как определить параметры А, В, аы Ьо сл, с(,? Показать, что если Ао переходит в точку ао ф оо, то ?(л) = ~ ~— ~?п(х — ав) — ~! — '1п(г — с ) + Ь„ ь=! !=! + !п(х — ао) + + В, (10) Б — Н А в л — аа где Н=~~! Ьы Т=~~ 1, А<0 и ?лпВ=Х,. в=1 л=! Если параметр ав или с равен оо, то в формуле (10) соответствующее слагаемое выпадает.
Указан не. Воспользоваться формулой Кристоффеля-Шварца. Гя. лХ. Яонфорленые отображения (нродояжение) 160 для определения козффициентов при логарифмических членах сравнить приращения ш при обходе (по полуокружностям) точек ао, ая, с,, вычисленные геометрически и по фор- муле для 11г). 9.33. Пусть область Р— щ-плоскость с горизонтальными разрезами, идущими налево в оо из точек В, (1 = 1,2,...,п) (рис. 51). Доказать, что функция в = Г'1г), отображающая А~ А, верхнюю полуплоскость 1щ г > О на об- ласть Р, имеет вид У() = = — Ага+ Вг+ С+~ — ~1п(г — ал), Рнс.
51 9.34. Пусть область Р есть щ-плоскость с горизонтальными разрезами, идущими в оо налево и направо (рис. 52). Доказать, что функ- Рнс. 52 ция ео = 11г), отображающая верхнюю полуплоскость 1тпг > О на об- где аь — точки на оси г, соответствующие вершинам Ая области Р, и Ьл — расстояния между разрезами. При атом точка Ао переходит в со, А > О и  — действительное число. Точки Ь1 (1 = 1,2, ...,и), соответствующие вершинам В, являются нулями производной 1'(г).
Как определить параметры А, В, С, ал, Ь;? Указание. См, указание к задаче 9.32. у 1. Формула крисглоффелл-шварца 1б1 ласть Р, имеет вид /(л) =~~~ — )п(л — аь) — ~~ — ' !п(з — с,)+ + — + В, (11) А С 77 7Г в — ас 2 — СС в=о Г=О где А > О, С > О, Ло = 1ш (Р— В,), 1о = Ке (Р! — В„), а остальные параметры (включая Ь, и 71, для вершин В; и Р,) имеют те Гке значения, что в задаче 9.32. Как определить параметры А, В, С, аь, Ь;, с, Г)7? Показать, что если оо = оо, то «-1 ОГ-1 Дз) = ~ — !п(з — ак) — р — !п(г — су) — + Аз+ В, (12) Ьь С л 77 с — св 2=1 Г=О где А > 0 и С > О.
Если параметр ав (Гс ф 0) или с, (у ф 0) равен оо, то в формуле (12) соответствующее слагаемое выпадает. Указание. См. указание к задаче 9.32. 9.35. Отобразить верхнюю полуплоскость 1птз > 0 на области в 2) А 3) с О Я 4) б) л! 172 О О 7) 9) 3) Рнс. 33 1) (АГ,В,А2,С) -+ (-1,Ь,1,оо); 2) (АГ,ВГ,А2,В27Аз,С) -+ ( — 1,-Ь,О,Ь,1,со); 11 Л.И. Вовксвыскнй н лр. ш-плоскости, указанные на рис. 53 (все размеры указаны на соот- ветствующих рисунках) при заданных условиях; найти а и Ь (а > О, Ь > 0): Гл.
(Х. Кокформные отображения (продолжение) 162 3) (Е,0,1/) -+ (-1,1,со); 4) (Е,О,Р) + (-1,1,со); 5) (Е,О,С) 1 ( 1,1 оо); 6) (Ао В,А1) 1 (ос~О 1); 7) (А1,0,С) -ь ( — 1,0, 1); 3) (Ао, Вм А1, Вг) -+ (оо, — (1+ а), — 1, О); д = Ке(В2 — В1); 9)(А,В,С,В) -+ (оо, -1,а,1); /1 = Ке( — В); Ь = 11п( — В). 8 2. Конформные отображения, осуществляемые с помопчью эллиптических функций ) Интеграл и(х,к) = ( (1) ', ~/Р-~*5Р-з'ч где подынтегральная функция равна 1 при 1 = О, называется нормальным эллиптическим интегралом 1-го рода е форме Лежандра. Параметр /с называется модулем; в дальнейшем предполагается, что 0 ( /с ( 1. Замена независимой переменной г = 81поз и подстановка = 81пч(/ приводят этот интеграл к виду Ь г,з) =г(г,з) =( (2) ~ - э." е Обратная функция (3) г = эп (и, (с) (или, в других обозначениях, ьо = аши) является одной из основных эллиптических функций Якоби и называется, вп-функцией Якоби.
Из ее определения следует, что бп (О, /с) = О. с функцией ш1 (и, У) связаны две другие функции называемые соответственно сп- и г1п -функциями Якоби. Ветви корней определяются условиями сп (О, к) = дп (О, к) = 1. Если нет необходимости в указании модуля к, то пишут просто пни, спи, 11пи. ) Свойства и преобразование эллиптических функций и интегралов, используемые в задачах этого параграфа, приведены, например, в книгах; А х неве р Н. Н.
Элементы теории эллиптических функций. — М.: Наука, 1970; У иттекер Э. Т., Ватсон Дм. Н. Курс современного анализа. Т. 2,— М.: Физматгиз, 1968; Бейт мен Г., Эрдели А. Высшие трансцендентные функции. Т. 3. Эллиптические и ввтоморфные функции, функции Ламе н Матье.— Мл Неука, 1967. Сериа "Сцрааочная математическая библиотеке". Краткая сводка соответствующих преобразований приведена в первом издании настоящего задачника и в книгах: Корм Гч Кори Т. Справочник по математике.— Мс Науке, 1968; Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф.
Специальные функции.— Мл Наука, 1964. бу. Отображения с помощью эллиптические узункпиа 1ба Из (1) †(4) следует, что депп Испи — = спи(1пи, — = — апих(пи, ди ' ди (5) Идпи = -кззп и сп и. ди Значение функции и(г,к) при г = 1 (1о = к/2), т. е. интеграл 1 = К(й), ;1 х"ь.")и:хх ) называется полным эллиптическим интегралом 1-го рода, Величи- на 1с) = х/1 — И называется дополнительным модулем. К(к) = К и К()г)) = К называются связанными эллиптическими интегралами. В задачах часто используются следующие легко доказываемые соотношения (преобразования полных эллиптических интегралов первого рода); К(-„) = й(К+1К'), (б) К~ — '„",) =Ь'К, Заметим также, что х,)ь (()-)Х)-Х ) ) =к (...,..-- (=),Х).
() ХХ ~ Х'(') К(1) = А (К + 1К) К( — '„'"') =УК'. 11' 9.36. Доказать, что образом верхней полуплоскости 1шг > О при отображении с помощью яормального эллиптического интеграла 1-го рода Ж ()- ')(' Х'() является прямоугольник с вершинами жК, жК+ 1К), соответствующими точкам ж1, ж1/Й. Продолжая это отображение по принципу симметрии, доказать, что обратная функция г = апи двоякопериодическая с периодами 4К и 2ХК'. Рассмотреть соответствие между плоскостями и и (р, где и = = Р(р,у). Указание. Применить принцип соответствия границ. Особое ди внимание обратить на изменение аргумента —, когда г пробедэ' гает действительную ось.
йе ХХ. Нонформные отоарожеяия (продолжение) 9.37. Отобразить верхнюю полуплоскость 1спг ) О иа прямоугольник в и-плоскости с вершинами жа, жа+сЬ (а ) О, Ь ) 0). 9.38. Найти образ четвертого квадранта г-плоскости при отображении с помощью эллиптического интеграла 1 аС 'О - рхге г с ц'Г Продолжая это отображение по принципу симметрии, найти образ всей г-плоскости с разрезами по лучам ( — со, — 1], [1, со), ( — Ссо, — й'/к], [й'(Ь, соо). где )сс принимает значения Й, 1()с, Й', 1/Й', сЦк', гк'[к. У к а з а и и е.
Воспользоваться формулами (6). Интеграл е Ь) /' 1 —" С олС /' 1 )г гфлф с(, Ь) (7) о о (г = лил 1о) называется нормальным эллиптическим интегралом 2-го рода е форме Лежандра. При г = 1 (у = е(2) получается полный эллиптический интеграл 2- рода ЕЯ = Е = /'~/ йС. 1 — С о (8) Введя обозначение Е(Ь') = Е', легко получить соотиошеиил Проверить, что обратной будет г = сп (и, й), и доказать, что оиа двоякопериодическая с периодами 4К, 2К+ 2сК'. 9.39. Найти образ четвертого квадранта г-плоскости при отображении с помощью эллиптического интеграла 1 аС и= Продолжая это отображение по принципу симметрии, найти образ всей г-плоскости с разрезами по лучам ( — оо, — )с'], [)с',со).
Проверить, что обратной фуикцией будет г = с(п(и, Ь), и доказать, что оиа двоякопериодическая с периодами 2К и 4сК'. 9.40. Найти образ первого квадранта г-плоскости при отображении с полсощью эллиптического интеграла 1-го рода и(г, Йс) = сСС ,,лг- ~')(~ - Ф ) ' ник с помощью эккиптическш функций 165 =-„'[(Е-Ь"К)- (Е'-Ь'К')), = 1 НЕ' — Из К') — 1(Š— Ь'2К)], (9) еские интегралы 1-го и 2-го рода, отвечающие дополнительным модулям Ь и Ь', связаны соотношением Лежандра ЕК' + Е'К вЂ” КК' = к/2. (10) Замена независимой переменной е = эпи в интеграле, определяющем о(е, й), приводит к функции Якоби Е(и, Ь) 6— 6 Е(и) = и(эпи, Ь) = /с(пзтдг, (11) о выражающей эллиптический интеграл 2-го рода как функцию эллиптического интеграла 1-го рода. С фушсцией Е(и) связана функция В(и), определяемая формулой В(сс) = Е(и) — — и, Е К (12) 9.41.
Найти образ первого квадранта е-плоскости при отображении с помошью нормального эллиптического интеграла 2-го рода и(е, Ьс) = ~с~ о где Йс принимает значения Й, 1/Й, к', 1/Й', й/Й', Ы'/Й. Указа ние. Воспользоваться формулами (9) и тем, что ь!ус э 1 (эта формула получается с помошью подстановки Йз1з+ Ртз = 1). 9.42*. Отобразить верхнюю полуплоскость 1спе > 0 на верхнюю полуплоскость 1спш > 0 с двумя вертикальными разрезами вдоль отрезков Вею = та, 0 < 1псш < 11 с нормировкой: со(0) = = О, со(оо) = О, ш'(со) > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
