Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 29
Текст из файла (страница 29)
1) гл = х+ —; 2) и = х — —. 10.7. иг = —. е х' гг 10.8. ги = 1п (хг — аг) (а > 0). Определить также скорость в точках хго. г 10.9. ги = 1и (а > О). 10.10. ги = — 1и 1х — -1. х'+ иг 2л ( х) 10.11. щ = 1п (1+ —,). 10.12. ги = 1п (хг — —;). 10.13. щ = ах+ — 1пх (а > О, 1г > 0). Я 2л 10.14. щ = ах+ — 1п х (о > О, Г > 0). Г 2лг 10.15. Исследовать характер течения в области ф > В, если В~х Г ги = а(х + — ) + — 1п х (о > О, Г > 0). 2лг Рассмотреть случаи: Г с 4лоЛ, Г = 4лаВ, Г > 4лаК. 10.16. Найти комплексный потенциал щ(х) течения во всей плоскости, образованного в ихреисточ никам и ((оы чгы Гг) ) (Й = 1, 2, ...., и) и имеющего на бесконечности заданную скорость гх = Ъ'ег .
10.17. Может лн выходить линия тока из точки, являющейся: 1) вихрем; 2) диполем; 3) вихрем и диполем вместе? 10.18. Найти закон изменения вихреисточника, диполя и мульти- поля, находящихся в точке о или на со, при следующих однолистных конформных отображениях окрестности этих точек (сг р': О, с г ~ 0): 1) г, = а + сг (х — а) + ...; 2) (' = а + — + ...; 3) ~= +со+".' 4) ~ =сгх+со+ " 10.19. Найти закон изменения вихреисточника при и-листных отображениях; ь = а+ с„(х — а)" + ..., с„~ О; ь = а +:" + ..., с „~ О.
хн 10.20. Доказать, что течение можно продолжить по принципу симметрии через прямолинейный или круговой участок линии тока или эквипотенциальной линии, причем вихреисточник переходит в вихреисточник, диполь — в диполь, мультиполь, — вообще говоря, в набор мультиполей до того же порядка включительно. Найти закон изменения обильности и интенсивности вихреисточника и момента диполя. Э1. Приложения к гидролгезанике 173 П р и ме чан не. В задаче 10.20 устанавливается принцип силглгелгрии, который, наряду с конформными отображениями, широко используется для построения течений (см.
задачи 10.22-10.30). Из принципа симметрии следует, что при наличии прямолинейного или кругового участка на линии тока или эквипотенциальной линии течение должно быть симметричным относительно этой линии. Это накладывает известные ограничения не только на особенности течения вне указанных линий, но и на этих линиях или на их концах (если они имеются).
10.21. Течение в г-плоскости образовано конечным числом источников, вихрей и диполей. 1) Найти необходимое и достаточное услоние для того, чтобы окружность ~г~ = Н являлась линией тока, если источники, вихри, диполи: а) не расположены на этой окружности; б) все расположены на ней; в) частично расположены на ней, частично нет.
2) В этих же предположениях найти условия того, чтобы окружность ~г~ = В являлась эквипотенциальной линией. 10.22. Найти комплексные потенциалы течений в верхней полу- плоскости 1тл г > О по заданным особенностям и скорости 1г : 1) Скорость Ъ' = Ъ'.
2) Вихрь (а;Г) и скорость К = О. 3) Источник (гб Я) и скорость 1г = О. 4) диполь (а;р) и скорость 1г = О. 5) Вихренсточники ((ае; Яе, Гг)) (к = 1,2,...,п), диполь (а;р) и скорость Ъ' = $'. Что можно сказать о поведении течения на со? 6) Внхреисточннк (О;1д;Г) и диполь (О;р); Ъ' = О. Какие значения может принимать момент диполя р? Всегда ли возможно течение, если Г ф О? 10.23.
В круге (г~ (?? построить течения, имеющие соответственно: 1) вихрь (а; Г); 2) диполь (а;р). 10.24. Найти условия возможности построения течений в круге )г( ( Н, если: 1) имеются только источники ((аь;Яь)) (?г = 1,2,...,п), расположенные внутри круга; 2) в дополнение в источникам и. 1) имеются источники ((а'„;1д'„)) (?г = 1,2,...,7п), расположенные на окружности (г( =??.
В обоих случаях найти комплексные потенциалы течений. 10.25. В области ф > Л построить течения, имеющие соответственно: 1) вихрь (а; Г), скорость К„, = 0 и циркуляцию на бесконечности Г,„=О; 174 Гл.Х. Приложения к механике и физике 2) диполь (о;р), скорость Ъх„= 0 и циркуляцию Г = 0; 3) скорость 1х = 1эе' и циркуляцию Г =0; 4) скорость Ъ'о = Ъ'еэа и циркуляцию Г вокруг окружности )х) = В.
Примечание. Последние два примера задачи 10,23 дают обтекание круга с заданной скоростью на бесконечности, без циркуляции и с циркулнцией (см., например, [3, гл. П1, п. 49)). В задачах 10.26-10.29 пользуясь принципом симметрии, построить течения по заданным особенностям (на бесконечности и в угловых точках скорость равна нулю). 10.26. В области (х) > 1, 1щх > О, с вихрем (1а; Г), а > О. 10.27.
В угле О < агбх < к/3, с источником (ае' 7е;Я), а > О. 10.28. В первом квадранте Пег > О, 1тх > О, с источником (1Я). 10.29. 1) В первом квадранте Вез > О, 1тх > О, с источником (1;Я) и стоком (г; — Я). 2) В первом квадранте Вях > О, 1п1г > О, с источником (1+ г;Ч) и стоком (О; — ~). 10.30. Построить течение во всей х-плоскости, если известно, что в верхней полуплоскости 1го х > 0 оно имеет вихреисточники ((аы Яы Гя)) (1 = 1, 2, ..., и) и диполь (а; р), ось х является эквипотенциальной линией и скорость Ъ' = Ъ'е' . Всегда ли такое течение возможно? 10.31. Построить течение во всей х-плосьости, если известно, что в круге ф < Л оно имеет вихреисточниьи ((ал; (7ы Гь)) (?с = 1, 2, ...
...,и) и диполь (а;р), окружность ф =?? является эквипотенциальной линией и скорость Ф' = 1'е' . Всегда ли такое течение возможно? 10.32. В односвязной области 17, ограниченной контуром С, построить течение с линией тока С, имеющее вихреисточники ((оь; Яы Гь)) (й = 1,2,...,и). Всегда ли такое течение возможно? 10.33. В области П, ограниченной контуром С и содержащей бесконечно удаленную точку, построить течение с линией тока С, имеющее вихреисточники ((ая; ьгыГе)) (й = 1,2, ...,и) и заданную скорость Ъ' = 1'е' . Всегда ли такое течение возможно? В задачах 10.34-10.41 рассматривается обтекание ограниченных и неограниченных контуров (они должны являться линиями тока).
Задачи решаются с помощью конформного отображения на внешность круга, верхнюю полуплоскость и прямолинейную полосу. 10.34. Построить обтекание ограниченного контура С с заданной циркуляцией Г и скоростью Ъ~ = ~'еэ . Какое отображение осуществляет комплексный потенциал эо(х) в случае Г = О? 41. Приложения и гидроменанине 175 г 10.35. Построить обтекание эллипса — + — = 1: иг Ьг 1) с заданной скоростью Ъ', без циркуляции; 2) с заданной скоростью Ъ' и циркуляцией Г. 10.36. Построить обтекание пластинки (х~ < С, у = 0: 1) с заданной скоростью $', без циркуляции; 2) с заданной скоростью Ъ' и циркуляцией Г, определяемой из условия, чтобы один из концов пластинки являлся точкой схода потока (постулат Жуковского-Чаплыгина).
10.37. Построить обтекание профиля Жуковскогоз) с заданной скоростью К и циркуляцией Г, определяемой с помошью постулата Жуковского-Чаплыгина (острый конец профиля должен являться точкой схода). В задачах 10.38-10.41 построить обтекание заданных контуров. 10.38. Параболы уг = 2рх (извне и изнутри). 10.39. Правой ветви гиперболы — — — = 1 (извне и изнутри, х у и2 Ь2 со скоростью Ъ', = 0). 10.40. Полупрямых — со < х < — 1, у = ~я.
10.41. Полупрямых 1 < )х! < со, у = О. В задачах 10.42 — 10.46 рассматриваются периодические течения (Ъ'(г + ы) = Ъ'(г)) и течения в криволинейных полосах (каналах). Для построения этих течений криволинейные полосы следует конформно отобразить на прямолинейные полосы, затем продолжить течения по принципу симметрии и использовать разложения мероморфных функций в ряды простых дробей.
В задачах 10.42, 10.43 исследовать особенности, построить схематически линии тока и эквипотенциальные линии и определить скорость на оо в полосе периодов для периодических течений с заданными комплексными потенциалами. 10.42. 1) и = — 1псйпг; 2) ю = — 1па1пг. 2а 2яг 10.43. ш = — с18 г (О < агбр < -). 2н 2 10.44. В прямолинейной полосе г-плоскости о: 0 < х < ы, построить течение, образованное внхреисточником (а; С~, Г), а Е Я, имеющее заданные скоРости 1г(х+Ьоо) = а1', У(х — Ьоо) = т"гы Всегда ли такое течение возможно? Построить схематически линии тока и эквнпотенциальные линии, если Г = 0 или аг = О. Указание. Продолжить течение по принципу симметрии и воспользоваться результатом задачи 10.42. а) См, задачу 2Л21 н отеет к нея.
176 Гл. Х. Прилокеения к механике н физике 10.45. В прямолинейной полосе х-плоскости Я: 0 ( х с из, построить течение, образованное диполем (а;р), а й Я, имеющее заданную скорость Ъ~(х ~ зсо) = 1Ъ'. Построить схематически линии тока и эквипотенциальные линии. 10.46. В криволинейной полосе х-плоскости 5, ограниченной контурами С1, Сг, построить течение, обтекающее С1, Сг, имеющее заданные вихреисточники, диполи в я и заданные скорости К, Ъгг в бесконечно удаленных точках Й1,111 полосы Я. Указать достаточные условия для существования такого теченил. Течение называется двояквпвриодическим, осли его скорость ш'(х) является эллиптической функцией. Эллиптической функцией называется дввяквпвриодичвская меро! морфная функция, с периодами 2ш и 2вз', причем 1ш — ф 0 (в даль! нейшем принято, что 1ш — > 0). Из этого определения следует, что г(г+ 2твз+ 2пвз') = г(г), где гп и и — любые целые числа или нули.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
