Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В обоих случаях потенциалы на граничных контурах постоянны. 10.115. 1) Выразить потенциал о(з) электростатического поля, образованного в многосвязной области Р зарядами обложения 2ол п на Гв (~ дв — — 0) через гармонические меры и11(л) его граничных Л=1 контуров.
(Ва каждом контуре Гл потенциал постоянен.) Указание. Воспользоваться результатами задачи 10.109. 2) Выразить потенциал и(з), если ~~> аь = и ф 0 и имеется тол=1 чечный заряд (а; — 2о). г) То и лругое опрелеляется с помощью функции Грине; см., непример, ! 1 приложения М. Ш и ф фе р в к книге: Ку р е н т Р.
Принцип Дирнхле, конформные отображения и минимальные поверхности.: — М.: ИЛ, 1953. Гл. Х. Лрилелгеиия и механике и физике 192 2 3. Приложения и плоской задаче о распределении тепла Плоская задача о стационарном распределении температуры внутри тола характеризуется аналитической функцией из(х) = и + ги (и— температура), называемой комплексным потенциалом теплового полл. Вектор Я = — и цгаг(и = — кгв'(х) (и — коэффициент тсплопроводности, в дальнейшем постоянный) называется вектором потока тепла.
Поток тепла через контур С равен / (3„дл = — й ~ — (Ь = — 1~г(и с с с (и — внешняя нормаль к контуру С, пробегаемому в положительном направлении). Так как функция и однозначна, то для замкнутого контура С поток тепла равен также И/гп'(х) бх. Если вблизи точки а с С 1 д 1 ш(х) = [... +:+се+от(г — а)+ ...~ + — )п —, д 1 х — а 2и(с х — а ' то член — !п — определяет в точке а источник (а; д) обильнос2пй х — а ти д, а член — дублет в точке а. х — а Имеет место следующая аналогия с течением жидкости и электростатическим полем: Электростатическое поле Тепловое пале Течение жидкости гте(л) = -е + ги ез(г) = и -~. се ге(з) = и ф ге Комплексный потенциал Вектор поля ьг = ясла и = ег (л) Е = — — ягж(и и = ы'(л) Потенциальная функция Эквипетенциальные линии -е — силовая функция (.) = -Ь йгвц и = -Ьы'(г) Температура Потенциальная функции Эквипатенциельные линии Функция тока Илетермы Функция така и = сппаг У к а за н и е.
Определение потенциала и(х) + 2дд(х, а) приводится к и. 1). 10.116. Найти потенциал и(х) в круговом кольце гг <)х(< тв если на его контурах заданы заряды обложения 2дг и 2дг, причем в случае В + дг = д ф 0 имеется еще точечный зарнд (а; — 2д). У каза н не. Функцию Грина кругового кольца можно определить с помощью решения задачи 10,63, подбирая подходящие циркуляции. По ним определяются и индуцированные заряды обложения на граничных контурах, связанные с функцией Грина.
рл. Прилозеення к э*ектросгпатике 193 Линии тона Источник (ооэ) Линии тока Источнин (о;— — дт Силовые линии е сопв1 Тачечный заряд (а; — ) Диполь Дублет Тепловое поле с заданными источниками, дублетами и изотермическими граничными контурами дип~~ь Течение, определяемое комплексным потенциалом ие(л), с заданными вихрями и днполями, обтекаюшее граничные контуры Поле с заданными зарядами, диполями и зквипотенцнальными граничными кон- турами 10.117.
Сформулировать принцип симметрии для продолжения источника тепла через прямолинейный или круговой участок границы области. Найти распределение температуры в произвольной односвязной области Р, если известно, что внутри этой области находится источник (а;д) и температура на границе имеет постоянное значение С. 13 Л.И. Иолковыский и др. В задачах 10.118-10.121 найти распределение температуры в указанных областях по заданным источникам, считая, что на границе области температура постоянна.
10.118. В верхней полуплоскости 1птз > 0; источник (а;о). 10.119. В круге ф < Н; источник (а;о). 10.120. В полуполосе (х( < а, р > О с источником (гй;о) (6 > 0). 10.121. В прямоугольнике ф < а, (у( < Ь с источником (О;о). 10.122. 1) Дать интерпретацию функции Грина р(з,а) плоской области Р в терминах теории распространения тепла. 2) Считая известной функцию Грина области Р, найти распределение температуры в этой области, если известно, что в Р имеется источник (а;о) и на граничных контурах Гд (й = 1,2,...,п) температура имеет постоянные значения иа. Записать ответ с помощью гармонических мер ыл(л) граничных контуров. 10.123.
Найти распределение температуры внутри кругового кольца гз < ф < гэ, если известно, что внутри кольца имеется источник (а;о) и на граничных окружностях температура имеет постоянные значения; иь — на окружности Ц = г1 и из — на окружности ф = гг. Указание. См. аналогичные задачи 10.63 и 10.116. ГЛАВА Х1 ОБОБЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В этой главе используются обозначения, введенные н 1 5 гл.
1 для формальных производных по Коши. Соответствующие обозначения применяются и к дифференциалам: гар = — ох + — оу. ди дУ дз дд З 1. Квазикоиформиые отображения Характеристиками эллипса называют отношение р его полуосей (р > 1) и если р ~ 1 угол В (О < В < я), образуемый большой осью эллипса с осью Ох. 11.1. Показать, что уравнение эллипса с центром в начале координат, малой полуосью А и характеристиками р и В можно записать в виде тх — 2,Эху+ оу = РЬг, где о =рсоагВ+ -зш В, д= ~р — -~сов ВатВ, ~ = раш В+ — созгд, р ' р Р или в виде )х+ рл! = Х, где р — 1 гна 2Р" р= — — е ', Л= —.
р+1 ' Р+1' Величины а, д, т из задачи 11.1 также называются характеристиками эллипса. Они связаны соотношением от — Д~ = 1. Величина р называется комплексной характеристикой эллипса. Заметим, что (р(<1. Вслучаекруга Р=О, р=1, а=ч=1, В=О. 11.2. Локазать следующие соотношения между различными характеристиками эллипса: г 2) 2В = агд и+ к ( — а. < агин < л); В д Коозиконформнеде отобронеенин 195 182В =— 2,3 а 7 у- + ед — дт ддт 2Д (1 — (р(г)а = 1+ 2)гд) сов 2О+ !12~2, 4) (1 — (р(2)~3 = 2(1д(вдп2О, 1 — ),и)г) у = 1 — 2~гд~ сов 2О+ )12)г 5) — (а, У<Р; ф < — 11Р— -!. 1 1/ 11 Доказать следующие соотношения между характеристиками двух эллипсов: 6) ~рг — рд! ~ (~аг — ад~+ ~Д2 — Вд! + !уг — Ъ! ьйп!Ог — Од 1, !аг — а | < !Рг — рд~+ 1 фг дд) ~~ )рг рд(+ 1+ + Р-'Рд ~ в1п )Ог — Вд (, — Од(; ~ дг — Ъ! <!Рг -рд!+ 8) (гдг — ддд) ( ((гдг) — (1дд)( + 2д/)р~рДвдп ~Вг — Вд(; "' 3 ~ "' "' + Д(р, - оцр, - ц.и рв, - од ) и — и ) ~рг-Рд! 1 — Рйрг! Рг + рд Указание.
Для доказательства неравенств 6) — 8) полезны неравенства вида ~тг сов Лг — тд сов Л1! < )тгедд' — тдедхд( ( )тг — тд! + +2 дтгтдвдп)Лг — Лд(, Цаг+ 1Ьг( — )ад +1Ьдй < )ог — ад(+ ~Ьг — Ьд~. Отображение (преобразование) до =,1(г) = и(х, у) + до(х, у) называется оффиннььдс если и = адх+ Ьду+од, о = агх+ Ьгу+сг.
(1) Якобиан этого отображения дз = Ь . Если Ь = О, то отображеад Ьд аг Ьг ние является вырожденным. 11.3. Доказать следующие свойства аффинных отображений. 1) Аффинное отображение можно представить в виде ш = Ах + Ву + С. Выразить коэффициенты А, В и С через коэффициенты преобразо- 13' рл. Х1. Обобсцекие аналитических функций 196 ванин (1) и показать, что Ь = )А(9 — (В)з. 2) Если бс ф О, то существует обратное отображение г = Асю+ Всю+ Сы Выразить его коэффициенты через коэффициенты преобразования (1) и показать, что сзс = )Ас~з — )Вс)з = 1/с3.
3) Если с1 ф О, то отображение сохраняет параллельность прямых и преобразует эллипсы в эллипсы. Эллипсы с комплексной характеристикой р = В/А, если с3 > О и д = А/В, если с3 ( О преобразуются в окружности. Окружности преобразуютсн в окружности только при ортогональных преобразованиях ю = Аг + С или ю = Вб+ С.
4) Если с1> О, то отображение сохраняет направление обхода; если сз ( О, то отображение меняет направление обхода на обратное. 5) Если сх = О, но не все коэффициенты аы Ьы аз, Ьз равны нулю, то отображение можно представить в виде ю = 2~А~с'с +Р1Цг~соа (д+ — ) +С, 2 где ср = вгдг, а = агбА,,З = агдВ. Указать геометрический смысл этого отображения. Характеристиками аффинного отображения называются характеристики (р,О), (сс,(1,т) и комплексная характеристика и эллипсов, преобразуемых в круги (см. задачу 11.3, 3)). Характеристиками непрерывно дифференцируемого отображения ю = и(х, у) + со(х, у) с якобианом Г > О называются характеристики р(г), 0(г); сс(г), /з(з), у(г) и комплексная характеристика р(г) аффинного отображения с1и = и, с1х + и„с1у, сЬ = о, дх + о„с1у или йю = ю, с(г + юг Нб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
