Л.И. Волковыский, Г.Л. Лункц, И.Г. Араманович - Сборник задач по теории функций комплексного переменного (1118147), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Указание. Воспользоваться формулой Кристоффеля — Шварца в виде Ьь эь о)=с/ ' с*=о,сьч* — и о,ь)~ ь.ьс, о- ь(1-ь"ч где Сс — — С/кз, ш(Ы) = та, со(~Ь) = та+ ЬЬ, и составить уравнения для определения параметров Сс, /с и Ь. 1бб Гм 1Х. Конформные отображения (продолжение) 9.43. Доказать, что функция Йписпи ели производит отображение прямоугольника 0 < < с < К, 0 < и < К, расположенного в плоскости и = б + 19, на четвертый квадрант кб н11 плоскости ш с разрезом [ — —, Ь вЂ” — ~, где 2К' 2К1' кб / 6 — — есть образ точки и = ~+(К, для ко- 2К дш торой — = О.
Продолжая это отображение по ди Рнс. 54 принципу снл4метрии, показать, что образом прямоугольника 14( < К, ф < К~( будет являться вся плоскость с разрезом, изображенным на рис. 54. Примечание. 06 отображении прямоугольника на внешность креста или на внешность прямоугольника с четырьмя отростками— продолжениями сторон — см. первое издание этой книги или: П аглч1п. Боте соп(огша1 лгапз(оппа11опз 1пчо!ч1пб е111рНс Гопс11опа// Т11е Р1п1озор1п1са1 Майаз1пе. Бег.
7.— 1950.— У. 41, 1чг 312. Интеграл ш(г,и,й) = дг <1 +. Ч ЛГ- Еб - ь' Ь = П(у, и, й) (13) , и+ -"нЛ: е. Рг называется нормальным эллиптическим интегралом 3-го рода о форме Лежандра. Замена независимой переменной г = зпи приводит к формуле и ш(апи,и,й) = / (14) о Величина Пл(и,й) = ш(1,и,й) = П(к/2,и,й) называется полным эллиптическим интегралом 3-го рода.
9.44. Найти образ первого квадранта г-плоскости при отображении с помощью нормального эллиптического интеграла 3-го рода (13) для 0 < й < 1. Рассмотреть отдельно случаи, когда и принадлежит интервалам: 1) (-оо,-1); 2) (-1,-й'); 3) (-й',0); 4) (О,оо). Рассмотреть также случаи и = -1 и и = — йз. Указать области в ш-плоскости, которые получаются прн продолжении по принципу симметрии через различные интервалы действительной оси плоскости г. В каждом случае показать соответствующие области в и-плоскости, где г = апи. помощью эллиптические функций 157 (15) с дискриминантом Ь дз — 27дг ф 0 (при этом условии ес, ег, ез попарно различны) называется нормальным эллиптическим интегралом 1-го рода в форме Вейерштрасса, а функция г = 1э(ш) (16) называется р-функцией Вейерштрасса (пэ-функцией Вейерштрасса).
Это одна из основных эллиптических функций с периодами 2иг, 2ш' Р 1ш — ф О). Она удовлетворяет дифференциальному уравнению р' = 4р — дгр — дз = = Л(р — е1)(ю — ег)(р — ез). (17) Функция р(ш) четная, двулистная в параллелограмме периодов (рис. 55)„имеющая там полюс второго порядка в нуле и двукратные точки (р' = 0) ш, ш+ш, ш: ег — — 1э(ш), ег = р(ш+ш'), (18) ез = р(ш'). Из (17) следует, что е1+ег+ез =О, 1 езсг + егез + езез = -- дг, (19) 1 4 егегез = -дз. 4 9,45*. Исследовать отображение г-плоскости с помощью нор- Рис. 55 мального эллиптического интеграла 1-го рода в форме Иейерштрасса (15) для вещественных дг, дз и Ь > О. Рассмотреть случаи дз > О, дг < О, дз = О. Найти периоды р(ш). У к а з а н и е.
Рассмотреть отображение верхней полуплоскости 1гаг > 0 с помощью принципа соответствия границ. 9.46в. Исследовать отображение з-плоскости с помощью нормального эллиптического интеграла 1-го рода (15) для вещественных дг, дз и Ь < О. Рассмотреть, в частности, случай дг = О. Найти периоды Р(ш). Указание. Так как 71 < О, то две из величин еы ег, ез комплексно сопряженные, а одна действительная. Пусть ег — действительная величина, ег = а+1В, ез = а — Ц (В > 0). Рассмотреть Га.
1Х. )тонуормные отобранеенип (продопнеение) 158 отобРажение полУкРУга )л — ел) = (е~ — ел(, 1т л > 0 с помоп1ью пРин- г) '% '6 о к ф к: ф~~~ ~~~~ф 5) 'Я а Мй б) 7) Мъ~ 'О Ь, 9] 10) ' ~~~\ 'М М 12) н 1 4) 15) ~~\' а й, Рне. 55 ципа соответствия границ и продолжить это отображение по принципу симметрии. 9.4Т. Найти отображения на верхнюю полуплоскость 1п1ю > 0 треугольников АВС при указанных условиях: 1) (А = О, В = м > О, С = ы(1 + 1)) -1 (со, -1, 0); 2) (А=О, В=а>0, С= — еее7 ~ -+(со,— 1,1); аГзе 1 2 3) (А=О, В=а>0, С= — еьу ~ -+(оо, -1,0).
.Л 1..~ 2 1) ,Й®, 'Я 1" 1 ° "Ф М с помощью эллиптических функций Г69 зоваться решениями задач 9.45 (случай дз = О). ласти 1)-15), расположенньсе в е-плоскости и указанные на рис. 56, отобразить на круговое кольцо р7 < ]ш] < рз и определить модуль д = ~ (см. стр. 36). 7н В задачах 9.49 — 9.51 отобразить на единичный круг ]1] < 1 указанные области. 9.49. Прямоугольник ~Неи] < К, !1пти] < К' (О < й < 1). Найти положение вершин при отображении. 9.50.
Внутренность эллипса ]з — Ц + ]з + Ц = 2а 1а > 1) с разрезами [ — а,— 1], )1,а]. 9.51. Внутренность эллипса ]е — Ц + 1л+ Ц = 2а (а > 1). Найти положение фокусов при отображении. 9.52. Внешность единичного круга ]1] > 1 отобразить на области 1) — 3), расположенные в г-плоскости и указанные на рис. 57.
Ц з) Рис. 67 0 применении эллиптических функций к задачам об отображении верхней полуплоскости на внешность дуг эллипса, гиперболы и параболы, а также к отображению внешности двух произвольно расположенных прямолинейных отрезков или двух концентрических дуг на круговое кольцо см., например, книгу: Седов Л. И.
Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики.— Мс Наука, 1966. ГЛАВА Х ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ 3 1. Приложения к гидромехенике') Установившееся плоское безвихревое течение несжимаемой жидкости характеризуется аналитической функцией ю(х) = уз(х,у) + гф(х,у), (1) называемой комплексным потенциалом или характеристической функцией течения; ~р называется потенциальной функцией, гр — функцией тока. Линии чз = сонат — экаипотекциалвкые линии, ф = сопзт— линии тока.
Скорость течения Ъ' связана с ю(л) соотношениями вг = Ъ'ее~ = 'г' + з '„= ю'(л), Р = !ю'(х)!, о = — агяю'(х), (2) аг = Вгвс1 ~р. Пусть С вЂ” замкнутый контур, обход которого совершается в положительном направлении (контур С может состоять и из двух сторон дуги, пробегаемых в противоположных направлениях). Величина Г = /1',ал = /У,ах+ Репу = /дза (3) с с с называется циркуляцией вектора Ъ' по контуру С. Величина Я = / г'„гЬ = / ( — Ъ'„г(х + г; ау) = / азр с с с (4) Г + зч = /ю'(х) аз. с (5) '] К втой главе см. (3, гл. Иц н указанную там лнтеретуру. (и — внешняя нормаль к замкнутому контуру С, пробегаемому в положительном направлении) называется потоком вектора Ъ' через контур С. Аналогично поток вектора Ъ' через дугу АВ определяется как интеграл / г'„ол (направление нормали п должно быть указано).
АВ Объединяя формулы (3) и (4), получим Приложения к гидромеханике 171 Если гв'(х) определена внутри С и имеет там конечное число особых точек, то Г+ г(В = 2кт'7 геэго'(з). Если а — полюс функции иг'(х), то иг(х) имеет вблизи а разложение вида с „р 1 Г+гг2 иг(х) = + ...
+ — — + . !п(з — а) + со+ сг(х — а) + ... (х — а)п '" 2к х а 2кг Г+ гЯ Говорят, что член 1п(х — а) (Г, Я вЂ” действительные числа) 2га определяет в точке а вихрвисточник обильности (',1 и интенсивности Г, обозначаемый (а; („г, Г) ), член — — — диполь с момсп- 2 р 2кх — а том р, обозначаемый (а; р) (р — комплексное число; радиус-вектор —- р определяет направление оси диполя, проходящей через точку а в с направлении линии тока), остальные члены ь определяют (х — а)" в точке а мультиполи порядка 2Й.
Соответственно, если на со гв(х) = с„х" + ... + — х+ . !пх+ со+ — + ..., р Г+ с<1 с 2к 2кг' Г-ьгЯ то член !пз определяет на оо вихреисточник обильности 2кг и интенсивности Г, член — х — диполь с моментом р (направлер 2гг ние линий тока на со совпадает с направлением радиуса-вектора р), остальные члены сьзь — мультипвли порядка 2(с. Точки, в которых Ъг = О, следовательно, гв'(х) = О, называются критическими точками течения; из этих точек линии тока и эквипотенциальные линии выходят попеременно.
Если критическая точка является нулем производной порядка и — 1, то эти линии образуют между собой углы к/2п. Такое разветвление линий возможно и на оо. В задачах 10.1 — 10.14 по заданному комплексному потенциалу течения требуется построить эквипотенциальные линии и линии тока, определить 1х, особые и критические точки, обильность и интенсивность вихреисточников, моменты диполей и исследовать поведение течения на оо. 10.1.
иг = сх (с = а+ гД). 10.2. иг = хп (в частности, и = 2,3). Г+ гЯ 10.3. ю =, 1пх. Рассмотреть, в частности, случаи Г = 0 2кг' и (,2=0. 10.4. ю = — 1п —. Г+ Йв' х — а 2ггг х — Ь ) Если О =О, то имеем вихрь (а; Г). Если Г= О, то имеем ксгяочккк (а;121. Если интенсивность источника Г) < О, то чвгяе говорят, что имеет место сток. Гх. Х. Приложения к механике и физике 172 10.5. ге = —. Определить также скорость в точках 2 ~ г. 1 Дг юг 10.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
